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10.某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元。已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为
$\frac{26}{x}+8$
$=\frac{50}{(1+20\%)x}$
。答案
10.$\frac{26}{x}+8=\frac{50}{(1+20\%)x}$
解析
【分析】
要列方程首先需找到题目核心等量关系：今年5月份的用水量 = 去年12月份的用水量 + 8立方米。接下来根据“用水量=总水费÷水价”的关系，用含x的代数式分别表示两个时间段的用水量：已知去年水价为x元/立方米，今年水价上涨20%，因此今年水价为(1+20%)x元/立方米，分别代入总水费即可得到对应用水量，最后结合等量关系列等式即可。
【解析】
1. 表示今年的用水价格：
已知去年居民用水价格为x元/立方米，今年每立方米水费上涨20%，因此今年用水价格为$\boldsymbol{(1+20\%)x}$元/立方米。
2. 分别表示两个时间段的用水量：
去年12月总水费为26元，因此去年12月用水量为$\boldsymbol{\frac{26}{x}}$立方米；
今年5月总水费为50元，因此今年5月用水量为$\boldsymbol{\frac{50}{(1+20\%)x}}$立方米。
3. 根据用水量的等量关系列方程：
已知今年5月用水量比去年12月多8立方米，即“去年12月用水量+8=今年5月用水量”，代入对应代数式可得：
$\frac{26}{x}+8=\frac{50}{(1+20\%)x}$
【答案】
$\frac{26}{x}+8=\frac{50}{(1+20\%)x}$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 增长率问题
3. 列代数式
【点评】
本题属于生活常见的计费类应用题，解题核心是找准“用水量、水费、单价”三者的数量关系，抓住题目给出的用水量差这一关键等量关系即可顺利列方程，需注意准确表示涨价后的水价，避免出错。
【难度系数】
0.8
要列方程首先需找到题目核心等量关系：今年5月份的用水量 = 去年12月份的用水量 + 8立方米。接下来根据“用水量=总水费÷水价”的关系，用含x的代数式分别表示两个时间段的用水量：已知去年水价为x元/立方米，今年水价上涨20%，因此今年水价为(1+20%)x元/立方米，分别代入总水费即可得到对应用水量，最后结合等量关系列等式即可。
【解析】
1. 表示今年的用水价格：
已知去年居民用水价格为x元/立方米，今年每立方米水费上涨20%，因此今年用水价格为$\boldsymbol{(1+20\%)x}$元/立方米。
2. 分别表示两个时间段的用水量：
去年12月总水费为26元，因此去年12月用水量为$\boldsymbol{\frac{26}{x}}$立方米；
今年5月总水费为50元，因此今年5月用水量为$\boldsymbol{\frac{50}{(1+20\%)x}}$立方米。
3. 根据用水量的等量关系列方程：
已知今年5月用水量比去年12月多8立方米，即“去年12月用水量+8=今年5月用水量”，代入对应代数式可得：
$\frac{26}{x}+8=\frac{50}{(1+20\%)x}$
【答案】
$\frac{26}{x}+8=\frac{50}{(1+20\%)x}$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 增长率问题
3. 列代数式
【点评】
本题属于生活常见的计费类应用题，解题核心是找准“用水量、水费、单价”三者的数量关系，抓住题目给出的用水量差这一关键等量关系即可顺利列方程，需注意准确表示涨价后的水价，避免出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.解下列分式方程：
(1) $\frac{2}{x-1} - $
$ = \frac{x+3}{x^2 -1}$；
(2) $\frac{x-2}{2x-1} $
$ = \frac{1.5}{1-2x}$；
(3) $\frac{x+1}{4x^2 -1} = $
$ - \frac{4}{4x-2}$；
(4) $\frac{x-5}{x-4} $
$ \frac{4}{x-4} = -5$；
11.解下列分式方程：
(1) $\frac{2}{x-1} - $
$ = \frac{x+3}{x^2 -1}$；(2) $\frac{x-2}{2x-1} $
$ = \frac{1.5}{1-2x}$；(3) $\frac{x+1}{4x^2 -1} = $
$ - \frac{4}{4x-2}$；(4) $\frac{x-5}{x-4} $
$ \frac{4}{x-4} = -5$；答案
11.(1)无解 (2)无解 (3)$x=6$ (4)$x=\frac{29}{6}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤如下：第一步先观察各分式的分母，因式分解后找到最简公分母；第二步方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；第三步按解整式方程的方法求出未知数的值；第四步必须检验：把求得的未知数代入最简公分母，若最简公分母为0，说明该值是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，该值就是原方程的解，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
(1) 分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$去分母得：$2(x+1)-3(x-1)=x+3$
展开得：$2x+2-3x+3=x+3$
移项合并同类项得：$-2x=-2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x-1)(x+1)=0$，$x=1$是增根，原方程无解。
(2) 分母$1-2x=-(2x-1)$，最简公分母为$2x-1$。
方程两边同乘$2x-1$去分母得：$x-2+(2x-1)=-1.5$
合并同类项得：$3x-3=-1.5$，解得$x=0.5$
检验：当$x=0.5$时，$2x-1=0$，$x=0.5$是增根，原方程无解。
(3) 因式分解分母：$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$，$4x-2=2(2x-1)$，最简公分母为$2(2x-1)(2x+1)$。
方程两边同乘最简公分母去分母得：$2(x+1)=6(2x-1)-4(2x+1)$
展开得：$2x+2=12x-6-8x-4$
移项合并同类项得：$-2x=-12$，解得$x=6$
检验：当$x=6$时，最简公分母$2(2×6-1)(2×6+1)≠0$，$x=6$是原方程的解。
(4) 最简公分母为$x-4$。
方程两边同乘$x-4$去分母得：$x-5-4=-5(x-4)$
展开得：$x-9=-5x+20$
移项合并同类项得：$6x=29$，解得$x=\frac{29}{6}$
检验：当$x=\frac{29}{6}$时，$x-4=\frac{5}{6}≠0$，$x=\frac{29}{6}$是原方程的解。
【答案】
11.(1)无解 (2)无解 (3)$x=6$ (4)$x=\frac{29}{6}$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是忘记检验增根，求解时遇到互为相反数的分母可以先统一符号再找公分母，能简化计算过程。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤如下：第一步先观察各分式的分母，因式分解后找到最简公分母；第二步方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；第三步按解整式方程的方法求出未知数的值；第四步必须检验：把求得的未知数代入最简公分母，若最简公分母为0，说明该值是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，该值就是原方程的解，注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【解析】
(1) 分母$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$。
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$去分母得：$2(x+1)-3(x-1)=x+3$
展开得：$2x+2-3x+3=x+3$
移项合并同类项得：$-2x=-2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x-1)(x+1)=0$，$x=1$是增根，原方程无解。
(2) 分母$1-2x=-(2x-1)$，最简公分母为$2x-1$。
方程两边同乘$2x-1$去分母得：$x-2+(2x-1)=-1.5$
合并同类项得：$3x-3=-1.5$，解得$x=0.5$
检验：当$x=0.5$时，$2x-1=0$，$x=0.5$是增根，原方程无解。
(3) 因式分解分母：$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$，$4x-2=2(2x-1)$，最简公分母为$2(2x-1)(2x+1)$。
方程两边同乘最简公分母去分母得：$2(x+1)=6(2x-1)-4(2x+1)$
展开得：$2x+2=12x-6-8x-4$
移项合并同类项得：$-2x=-12$，解得$x=6$
检验：当$x=6$时，最简公分母$2(2×6-1)(2×6+1)≠0$，$x=6$是原方程的解。
(4) 最简公分母为$x-4$。
方程两边同乘$x-4$去分母得：$x-5-4=-5(x-4)$
展开得：$x-9=-5x+20$
移项合并同类项得：$6x=29$，解得$x=\frac{29}{6}$
检验：当$x=\frac{29}{6}$时，$x-4=\frac{5}{6}≠0$，$x=\frac{29}{6}$是原方程的解。
【答案】
11.(1)无解 (2)无解 (3)$x=6$ (4)$x=\frac{29}{6}$
【知识点】
分式方程解法，增根检验，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是忘记检验增根，求解时遇到互为相反数的分母可以先统一符号再找公分母，能简化计算过程。
【难度系数】
0.6
12.某车行经营的某种山地自行车去年的销售总额为50 000元，今年的销售总额比去年减少20％，每辆山地自行车售价比去年降低400元.若这两年卖出的数量相同，今年这种山地自行车每辆的售价是多少元？
答案
12. 1 600元
解析
【分析】
解题的核心是抓住题中等量关系：两年卖出的山地自行车数量相同，而销售数量=销售总额÷每辆售价。我们可以先设今年每辆山地自行车的售价为未知数，再用含未知数的式子表示出去年的售价、今年的销售总额，最后根据“两年销量相等”列方程求解即可，求解后注意检验根的合理性。
【解析】
解：设今年这种山地自行车每辆的售价是x元，则去年每辆售价为(x+400)元。
今年的销售总额为：$50000×(1-20\%)=40000$（元）
由两年卖出的数量相同，可列方程：
$\frac{50000}{x+400}=\frac{40000}{x}$
交叉相乘得：$50000x=40000(x+400)$
化简得：$5x=4(x+400)$
展开计算：$5x=4x+1600$
解得：$x=1600$
检验：当$x=1600$时，$x(x+400)=1600×2000≠0$，所以$x=1600$是原方程的解，且符合实际题意。
【答案】
1600元
【知识点】
分式方程的应用、销售问题数量关系
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是找准等量关系建立方程，求解后要注意检验解是否满足分式有意义且符合实际情况，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住题中等量关系：两年卖出的山地自行车数量相同，而销售数量=销售总额÷每辆售价。我们可以先设今年每辆山地自行车的售价为未知数，再用含未知数的式子表示出去年的售价、今年的销售总额，最后根据“两年销量相等”列方程求解即可，求解后注意检验根的合理性。
【解析】
解：设今年这种山地自行车每辆的售价是x元，则去年每辆售价为(x+400)元。
今年的销售总额为：$50000×(1-20\%)=40000$（元）
由两年卖出的数量相同，可列方程：
$\frac{50000}{x+400}=\frac{40000}{x}$
交叉相乘得：$50000x=40000(x+400)$
化简得：$5x=4(x+400)$
展开计算：$5x=4x+1600$
解得：$x=1600$
检验：当$x=1600$时，$x(x+400)=1600×2000≠0$，所以$x=1600$是原方程的解，且符合实际题意。
【答案】
1600元
【知识点】
分式方程的应用、销售问题数量关系
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是找准等量关系建立方程，求解后要注意检验解是否满足分式有意义且符合实际情况，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
13.现有A,B两种商品,已知A商品的单价比B商品少30元,用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同.
(1)A,B两种商品的单价各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过380元,且不低于300元,有几种购买方案?哪种方案费用最低?
(1)A,B两种商品的单价各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过380元,且不低于300元,有几种购买方案?哪种方案费用最低?
答案
13.(1)A种商品每件20元,B种商品每件50元；
(2)3种方案.
购买A种商品6件,B种商品4件费用最低.
(2)3种方案.
购买A种商品6件,B种商品4件费用最低.
解析
【分析】
(1) 本题第一问的核心等量关系是“用160元买A商品的数量=用400元买B商品的数量”，解题时可先设A商品单价为未知数，结合A比B单价少30元的条件，用含未知数的式子表示B的单价，再根据“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问的核心是总费用的范围限制，可设购买A商品的数量为未知数，用总件数10表示出B商品的数量，再根据总费用不低于300元、不超过380元列一元一次不等式组，求出未知数的整数取值得到所有方案，再对比各方案费用找到最低费用的方案。
【解析】
(1) 设A商品的单价为$ x $元，则B商品的单价为$ (x+30) $元。
根据题意列方程：$\frac{160}{x} = \frac{400}{x+30}$
交叉相乘得：$160(x+30) = 400x$
展开得：$160x + 4800 = 400x$
移项合并同类项得：$240x = 4800$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x(x+30)=20×50=1000≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则B商品单价为$20+30=50$（元）。
(2) 设购买A商品$ m $件，则购买B商品$ (10-m) $件，总费用为$ 20m + 50(10-m) $元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}20m + 50(10-m) ≥ 300 \\20m + 50(10-m) ≤ 380 \end{cases}$
化简总费用表达式得：$20m + 500 - 50m = 500 - 30m$
解第一个不等式：$500 - 30m ≥ 300$，移项得$-30m ≥ -200$，解得$m ≤ \frac{20}{3}\approx6.67$
解第二个不等式：$500 - 30m ≤ 380$，移项得$-30m ≤ -120$，解得$m ≥ 4$
因为$ m $为正整数，所以$ m $的取值为4、5、6，共3种购买方案：
方案1：购买A商品4件，B商品6件，总费用$500 - 30×4=380$元；
方案2：购买A商品5件，B商品5件，总费用$500 - 30×5=350$元；
方案3：购买A商品6件，B商品4件，总费用$500 - 30×6=320$元。
对比可知，购买A商品6件、B商品4件时费用最低。
【答案】
(1)A种商品每件20元，B种商品每件50元；
(2)3种购买方案，购买A种商品6件、B种商品4件时费用最低。
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.一元一次不等式组的实际应用
3.方案优化问题
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，将分式方程与不等式组结合考查，解题时需准确提取题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程要检验根的合理性，实际问题中未知数的取值需为正整数，整体难度适中，贴合生活场景，能较好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题第一问的核心等量关系是“用160元买A商品的数量=用400元买B商品的数量”，解题时可先设A商品单价为未知数，结合A比B单价少30元的条件，用含未知数的式子表示B的单价，再根据“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问的核心是总费用的范围限制，可设购买A商品的数量为未知数，用总件数10表示出B商品的数量，再根据总费用不低于300元、不超过380元列一元一次不等式组，求出未知数的整数取值得到所有方案，再对比各方案费用找到最低费用的方案。
【解析】
(1) 设A商品的单价为$ x $元，则B商品的单价为$ (x+30) $元。
根据题意列方程：$\frac{160}{x} = \frac{400}{x+30}$
交叉相乘得：$160(x+30) = 400x$
展开得：$160x + 4800 = 400x$
移项合并同类项得：$240x = 4800$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x(x+30)=20×50=1000≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则B商品单价为$20+30=50$（元）。
(2) 设购买A商品$ m $件，则购买B商品$ (10-m) $件，总费用为$ 20m + 50(10-m) $元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}20m + 50(10-m) ≥ 300 \\20m + 50(10-m) ≤ 380 \end{cases}$
化简总费用表达式得：$20m + 500 - 50m = 500 - 30m$
解第一个不等式：$500 - 30m ≥ 300$，移项得$-30m ≥ -200$，解得$m ≤ \frac{20}{3}\approx6.67$
解第二个不等式：$500 - 30m ≤ 380$，移项得$-30m ≤ -120$，解得$m ≥ 4$
因为$ m $为正整数，所以$ m $的取值为4、5、6，共3种购买方案：
方案1：购买A商品4件，B商品6件，总费用$500 - 30×4=380$元；
方案2：购买A商品5件，B商品5件，总费用$500 - 30×5=350$元；
方案3：购买A商品6件，B商品4件，总费用$500 - 30×6=320$元。
对比可知，购买A商品6件、B商品4件时费用最低。
【答案】
(1)A种商品每件20元，B种商品每件50元；
(2)3种购买方案，购买A种商品6件、B种商品4件时费用最低。
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.一元一次不等式组的实际应用
3.方案优化问题
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，将分式方程与不等式组结合考查，解题时需准确提取题干中的等量关系与不等关系，注意分式方程要检验根的合理性，实际问题中未知数的取值需为正整数，整体难度适中，贴合生活场景，能较好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
