登录
17.已知一次函数的图象经过点$A(2,1)$,点$B(-1,-3)$.
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与$x$轴、$y$轴的交点坐标；
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与$x$轴、$y$轴的交点坐标；
(3)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
答案
17.解:(1)设该一次函数的解析式为$y = kx + b$($k ≠ 0$),则有$\begin{cases}2k + b = 1,\\-k + b = -3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3},\\b=-\frac{5}{3},\end{cases}$故该一次函数的解析式为$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$.
(2)根据一次函数的解析式$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$可知,当$y = 0$时,$x=\frac{5}{4}$;当$x = 0$时,$y=-\frac{5}{3}$.所以与$x$轴的交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$,与$y$轴的交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$.
(3)此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为$\frac{1}{2} × \frac{5}{3} × \frac{5}{4} = \frac{25}{24}$.
(2)根据一次函数的解析式$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$可知,当$y = 0$时,$x=\frac{5}{4}$;当$x = 0$时,$y=-\frac{5}{3}$.所以与$x$轴的交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$,与$y$轴的交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$.
(3)此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为$\frac{1}{2} × \frac{5}{3} × \frac{5}{4} = \frac{25}{24}$.
解析
【分析】
(1) 一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，已知函数图象经过两个已知点，可采用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值即可确定函数解析式。
(2) 一次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，与$y$轴交点的横坐标为0，因此分别令解析式中$y=0$、$x=0$，求出对应的$x$、$y$值，就能得到两个交点的坐标。
(3) 一次函数与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别是图象与$x$轴交点横坐标的绝对值、与$y$轴交点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y = kx + b$($k ≠ 0$)，
将点$A(2,1)$、$B(-1,-3)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}2k + b = 1\\-k + b = -3\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=4$，解得$k=\frac{4}{3}$，
将$k=\frac{4}{3}$代入$2k + b =1$，得$\frac{8}{3}+b=1$，解得$b=-\frac{5}{3}$，
因此该一次函数的解析式为$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$。
(2) 求与$x$轴的交点坐标：令$y=0$，则$\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}=0$，解得$x=\frac{5}{4}$，即与$x$轴的交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$；
求与$y$轴的交点坐标：令$x=0$，则$y=-\frac{5}{3}$，即与$y$轴的交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$。
(3) 一次函数与两坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为$\left|\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}$、$\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得：
$S=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × \frac{5}{3} = \frac{25}{24}$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$；
(2) 与$x$轴交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$；
(3) $\frac{25}{24}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，综合考查了一次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用，明确一次函数与坐标轴交点的坐标特征，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.75
(1) 一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，已知函数图象经过两个已知点，可采用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值即可确定函数解析式。
(2) 一次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，与$y$轴交点的横坐标为0，因此分别令解析式中$y=0$、$x=0$，求出对应的$x$、$y$值，就能得到两个交点的坐标。
(3) 一次函数与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别是图象与$x$轴交点横坐标的绝对值、与$y$轴交点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y = kx + b$($k ≠ 0$)，
将点$A(2,1)$、$B(-1,-3)$代入解析式，可得：
$\begin{cases}2k + b = 1\\-k + b = -3\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$3k=4$，解得$k=\frac{4}{3}$，
将$k=\frac{4}{3}$代入$2k + b =1$，得$\frac{8}{3}+b=1$，解得$b=-\frac{5}{3}$，
因此该一次函数的解析式为$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$。
(2) 求与$x$轴的交点坐标：令$y=0$，则$\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}=0$，解得$x=\frac{5}{4}$，即与$x$轴的交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$；
求与$y$轴的交点坐标：令$x=0$，则$y=-\frac{5}{3}$，即与$y$轴的交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$。
(3) 一次函数与两坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为$\left|\frac{5}{4}\right|=\frac{5}{4}$、$\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得：
$S=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × \frac{5}{3} = \frac{25}{24}$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$；
(2) 与$x$轴交点坐标为$(\frac{5}{4},0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,-\frac{5}{3})$；
(3) $\frac{25}{24}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，综合考查了一次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用，明确一次函数与坐标轴交点的坐标特征，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.75
18.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.
甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示.
乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时，每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时，每月在收取5 500元的基础上，超过部分每平方米收取4元.
(1)求如图所示的y与x的函数解析式;(不要求写出x的取值范围)
(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米，试通过计算说明:选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少？
甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示.
乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时，每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时，每月在收取5 500元的基础上，超过部分每平方米收取4元.
(1)求如图所示的y与x的函数解析式;(不要求写出x的取值范围)
(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米，试通过计算说明:选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少？
答案
18.解:(1)设$y = kx + b$($k ≠ 0$).将$(100,900)$,$(0,400)$代入上式,得$\begin{cases}b=400,\\100k + b = 900,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}k=5,\\b=400.\end{cases}$$\therefore$ 所求函数的解析式为$y = 5x + 400$.
(2)如果选择甲公司,费用为$5 × 1200 + 400 = 6400$(元),如果选择乙公司,费用为$5500 + 4 × (1200 - 1000) = 6300$(元),$\therefore$ 选择乙公司,每月的绿化养护费用较少.
(2)如果选择甲公司,费用为$5 × 1200 + 400 = 6400$(元),如果选择乙公司,费用为$5500 + 4 × (1200 - 1000) = 6300$(元),$\therefore$ 选择乙公司,每月的绿化养护费用较少.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，从图象中可得到函数经过的两个点坐标：(0,400)和(100,900)，将两个点的坐标代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，联立方程即可求出$k$和$b$的值，得到解析式。
(2) 要判断1200平方米时哪家公司费用更少，分别按照两家公司的收费规则，计算出1200平方米对应的养护费用，再比较两个费用的大小即可。乙公司是分段收费，1200平方米超过1000平方米，费用为基础费用加超出部分的费用。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数解析式为$y = kx + b$($k ≠ 0$)，
将点$(0,400)$、$(100,900)$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=400\\100k + b = 900\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=5\\b=400\end{cases}$
因此所求函数解析式为$y = 5x + 400$。
(2) 当绿化面积为1200平方米时：
选择甲公司的费用：$5 × 1200 + 400 = 6400$（元）
选择乙公司的费用：因为$1200＞1000$，所以费用为$5500 + 4 × (1200 - 1000) = 6300$（元）
因为$6400＞6300$，所以选择乙公司费用更少。
【答案】
(1) $y=5x+400$；(2) 选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数实际应用，分段计费计算
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求解析式的步骤，以及准确按照分段收费规则计算费用，属于基础应用类题目，实用性较强。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，从图象中可得到函数经过的两个点坐标：(0,400)和(100,900)，将两个点的坐标代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，联立方程即可求出$k$和$b$的值，得到解析式。
(2) 要判断1200平方米时哪家公司费用更少，分别按照两家公司的收费规则，计算出1200平方米对应的养护费用，再比较两个费用的大小即可。乙公司是分段收费，1200平方米超过1000平方米，费用为基础费用加超出部分的费用。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数解析式为$y = kx + b$($k ≠ 0$)，
将点$(0,400)$、$(100,900)$代入解析式，得：
$\begin{cases}b=400\\100k + b = 900\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=5\\b=400\end{cases}$
因此所求函数解析式为$y = 5x + 400$。
(2) 当绿化面积为1200平方米时：
选择甲公司的费用：$5 × 1200 + 400 = 6400$（元）
选择乙公司的费用：因为$1200＞1000$，所以费用为$5500 + 4 × (1200 - 1000) = 6300$（元）
因为$6400＞6300$，所以选择乙公司费用更少。
【答案】
(1) $y=5x+400$；(2) 选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数实际应用，分段计费计算
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求解析式的步骤，以及准确按照分段收费规则计算费用，属于基础应用类题目，实用性较强。
【难度系数】
0.8
