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1. 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8 cm，ON=6 cm，则该圆玻璃镜的半径是
（第1题）
5
cm.（第1题）答案
1. 5
解析
【分析】
解题时首先观察到直角顶点O在圆周上，∠MON为90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN就是该圆的直径。再结合已知的直角边OM、ON的长度，用勾股定理计算出直径MN的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ MN是该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8cm，ON=6cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
∴ 该圆玻璃镜的半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考察几何定理的实际应用，解题的关键是准确判断出MN为圆的直径，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到直角顶点O在圆周上，∠MON为90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN就是该圆的直径。再结合已知的直角边OM、ON的长度，用勾股定理计算出直径MN的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ MN是该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8cm，ON=6cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
∴ 该圆玻璃镜的半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考察几何定理的实际应用，解题的关键是准确判断出MN为圆的直径，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(1,0)，以点P为圆心，AP长为半径作弧，与x轴交于点B，则点B的坐标为
(7,0)
。答案
2. (7,0)
解析
【分析】
解题可从圆的性质入手，已知圆心P的坐标和点A的坐标，B是圆P与x轴的交点，因此PB=PA（同圆半径相等）。方法一：过P作x轴的垂线，根据垂径定理（或等腰三角形三线合一），该垂线平分弦AB，先求出垂足到A的距离，即可推出垂足到B的距离，进而得到B的坐标；方法二：先利用两点间距离公式求出AP的长度，再设B的坐标为(x,0)，根据PB=AP列方程求解，舍去与A重合的解即可得到B的坐标。
【解析】
解法1：过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P坐标为(4,2)，
∴垂足C的坐标为(4,0)，
∵点A坐标为(1,0)，
∴AC = 4 - 1 = 3，
∵PA、PB均为⊙P的半径，
∴PA=PB，△PAB为等腰三角形，
又
∵PC⊥AB，
∴BC=AC=3（等腰三角形三线合一），
∴点B的横坐标为4 + 3 =7，纵坐标为0，即B(7,0)。
解法2：根据两点间距离公式，先计算半径AP的长度：
AP = √[(4-1)² + (2-0)²] = √(3² + 2²) = √13，
设点B的坐标为(x,0)，
∵PB是半径，
∴PB=AP=√13，
则PB = √[(4-x)² + (2-0)²] = √13，
两边平方得：(4-x)² + 4 =13，即(4-x)²=9，
解得4-x=3或4-x=-3，即x=1或x=7，
x=1对应点A，不符合题意舍去，故x=7，即B(7,0)。
【答案】
(7,0)
【知识点】
1. 圆的半径性质
2. 垂径定理
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆的性质结合的基础题，两种解题方法分别对应几何性质应用和方程思想的运用，解题关键是抓住同圆半径相等的特点，计算时注意舍去与已知点重合的解即可。
【难度系数】
0.7
解题可从圆的性质入手，已知圆心P的坐标和点A的坐标，B是圆P与x轴的交点，因此PB=PA（同圆半径相等）。方法一：过P作x轴的垂线，根据垂径定理（或等腰三角形三线合一），该垂线平分弦AB，先求出垂足到A的距离，即可推出垂足到B的距离，进而得到B的坐标；方法二：先利用两点间距离公式求出AP的长度，再设B的坐标为(x,0)，根据PB=AP列方程求解，舍去与A重合的解即可得到B的坐标。
【解析】
解法1：过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P坐标为(4,2)，
∴垂足C的坐标为(4,0)，
∵点A坐标为(1,0)，
∴AC = 4 - 1 = 3，
∵PA、PB均为⊙P的半径，
∴PA=PB，△PAB为等腰三角形，
又
∵PC⊥AB，
∴BC=AC=3（等腰三角形三线合一），
∴点B的横坐标为4 + 3 =7，纵坐标为0，即B(7,0)。
解法2：根据两点间距离公式，先计算半径AP的长度：
AP = √[(4-1)² + (2-0)²] = √(3² + 2²) = √13，
设点B的坐标为(x,0)，
∵PB是半径，
∴PB=AP=√13，
则PB = √[(4-x)² + (2-0)²] = √13，
两边平方得：(4-x)² + 4 =13，即(4-x)²=9，
解得4-x=3或4-x=-3，即x=1或x=7，
x=1对应点A，不符合题意舍去，故x=7，即B(7,0)。
【答案】
(7,0)
【知识点】
1. 圆的半径性质
2. 垂径定理
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆的性质结合的基础题，两种解题方法分别对应几何性质应用和方程思想的运用，解题关键是抓住同圆半径相等的特点，计算时注意舍去与已知点重合的解即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点A，B，C都在$\odot O$上，$∠ ACB=60°$，则$∠ AOB$的度数为
120°
.答案
3. 120°
解析
【分析】
观察图形可知，∠ACB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆周角，∠AOB是弧$AB$所对的圆心角，要求∠AOB的度数，可直接运用圆周角定理求解：同弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，代入已知的∠ACB的度数计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆周角，∠AOB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=60°$，
∴$∠ AOB=2×60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础常考题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同一段弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
观察图形可知，∠ACB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆周角，∠AOB是弧$AB$所对的圆心角，要求∠AOB的度数，可直接运用圆周角定理求解：同弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，代入已知的∠ACB的度数计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆周角，∠AOB是$\odot O$中弧$AB$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=60°$，
∴$∠ AOB=2×60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础常考题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同一段弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
4. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,若$∠ ABC=130°$,则$∠ AOC$的度数是
（第4题）
100°
.（第4题）答案
4. 100°
解析
【分析】
要求圆心角∠AOC的度数，已知∠ABC=130°是圆周角，对应优弧AC。我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先构造圆内接四边形求出劣弧AC对应的圆周角，再根据圆周角定理（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）求出∠AOC的度数；也可以先通过圆周角与对应弧的度数关系求出优弧AC的度数，再推导劣弧AC的度数，得到圆心角∠AOC的度数。
【解析】
解法一：在优弧AC上任取一点D，连接AD、CD。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵ ∠ABC = 130°，
∴ ∠ADC = 180° - 130° = 50°。
∵ ∠AOC是劣弧AC所对的圆心角，∠ADC是劣弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AOC = 2∠ADC = 2×50° = 100°（圆周角定理）。
解法二：
∵ ∠ABC是优弧AC所对的圆周角，
∴ 优弧AC的度数 = 2×∠ABC = 2×130° = 260°。
∵ 圆周的总度数为360°，
∴ 劣弧AC的度数 = 360° - 260° = 100°。
∵ 圆心角的度数等于它所对弧的度数，
∴ ∠AOC = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础考查题，解题关键是明确圆周角与圆心角、弧的度数的对应关系，通过构造辅助线或利用弧的度数关系实现角度的转化，是圆中角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
要求圆心角∠AOC的度数，已知∠ABC=130°是圆周角，对应优弧AC。我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先构造圆内接四边形求出劣弧AC对应的圆周角，再根据圆周角定理（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）求出∠AOC的度数；也可以先通过圆周角与对应弧的度数关系求出优弧AC的度数，再推导劣弧AC的度数，得到圆心角∠AOC的度数。
【解析】
解法一：在优弧AC上任取一点D，连接AD、CD。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵ ∠ABC = 130°，
∴ ∠ADC = 180° - 130° = 50°。
∵ ∠AOC是劣弧AC所对的圆心角，∠ADC是劣弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AOC = 2∠ADC = 2×50° = 100°（圆周角定理）。
解法二：
∵ ∠ABC是优弧AC所对的圆周角，
∴ 优弧AC的度数 = 2×∠ABC = 2×130° = 260°。
∵ 圆周的总度数为360°，
∴ 劣弧AC的度数 = 360° - 260° = 100°。
∵ 圆心角的度数等于它所对弧的度数，
∴ ∠AOC = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础考查题，解题关键是明确圆周角与圆心角、弧的度数的对应关系，通过构造辅助线或利用弧的度数关系实现角度的转化，是圆中角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB为$\odot O$直径，已知圆周角$∠ BCD=30°$，则$∠ ABD$的度数为
60°
.答案
5. 60°
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察题目条件，AB是$\odot O$的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得对应直角三角形；已知$∠ BCD$是圆周角，找和它同弧所对的圆周角，利用同弧所对圆周角相等得到该角的相等角，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=30°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础常规考题，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是快速识别直径对应的直角、同弧对应的相等圆周角这两个隐含条件，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察题目条件，AB是$\odot O$的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得对应直角三角形；已知$∠ BCD$是圆周角，找和它同弧所对的圆周角，利用同弧所对圆周角相等得到该角的相等角，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BCD$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=30°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础常规考题，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是快速识别直径对应的直角、同弧对应的相等圆周角这两个隐含条件，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
6. 如图，点A，B，C，D是$\odot O$上的四个点，已知$∠ BCD=110°$，小丽推断出$∠ BAD$的度数为$70°$，则她判断的依据是
圆内接四边形的对角互补
。答案
6. 圆内接四边形的对角互补
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：点A、B、C、D都在同一个圆上，可确定四边形ABCD是圆内接四边形；已知的∠BCD和要求的∠BAD是该四边形的一组对角，回忆圆内接四边形的相关性质，即可找到判断依据：圆内接四边形的对角互补，代入角度计算即可得到∠BAD=70°。
【解析】
∵点A，B，C，D均在⊙O上，
∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180°-110°=70°$，
因此小丽判断的依据是圆内接四边形的对角互补。
【答案】
圆内接四边形的对角互补
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查圆内接四边形的核心性质，只要能准确识别圆内接四边形，熟记其对角互补的特点即可快速作答，是圆相关基础知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形特征：点A、B、C、D都在同一个圆上，可确定四边形ABCD是圆内接四边形；已知的∠BCD和要求的∠BAD是该四边形的一组对角，回忆圆内接四边形的相关性质，即可找到判断依据：圆内接四边形的对角互补，代入角度计算即可得到∠BAD=70°。
【解析】
∵点A，B，C，D均在⊙O上，
∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180°-110°=70°$，
因此小丽判断的依据是圆内接四边形的对角互补。
【答案】
圆内接四边形的对角互补
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查圆内接四边形的核心性质，只要能准确识别圆内接四边形，熟记其对角互补的特点即可快速作答，是圆相关基础知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.9
7. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠B=135°$,则$∠AOC$的度数为
90°
.答案
7. 90°
解析
【分析】
要解决这道题我们可以分两步思考：第一步，利用圆内接四边形的性质求∠D的度数，圆内接四边形对角互补，已知∠B的度数，即可求出它的对角∠D的度数；第二步，根据圆周角定理求∠AOC的度数，∠AOC和∠D都是弧AC对应的角，其中∠AOC是圆心角，∠D是圆周角，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，用∠D的度数乘2即可得到∠AOC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ D = 180°$（圆内接四边形对角互补），
又
∵ $∠ B=135°$，
∴ $∠ D = 180° - 135° = 45°$。
∵ $∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ D$是弧$AC$所对的圆周角，
∴ $∠ AOC = 2∠ D$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴ $∠ AOC = 2 × 45° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆相关性质定理的直接应用，掌握核心定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题我们可以分两步思考：第一步，利用圆内接四边形的性质求∠D的度数，圆内接四边形对角互补，已知∠B的度数，即可求出它的对角∠D的度数；第二步，根据圆周角定理求∠AOC的度数，∠AOC和∠D都是弧AC对应的角，其中∠AOC是圆心角，∠D是圆周角，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，用∠D的度数乘2即可得到∠AOC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ D = 180°$（圆内接四边形对角互补），
又
∵ $∠ B=135°$，
∴ $∠ D = 180° - 135° = 45°$。
∵ $∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$∠ D$是弧$AC$所对的圆周角，
∴ $∠ AOC = 2∠ D$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴ $∠ AOC = 2 × 45° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆相关性质定理的直接应用，掌握核心定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
8. 如图，点A，B，C，D，E，F均在$\odot O$上.若$∠ ADF=20°$，$∠ FEC=35°$，则$∠ ABC$的大小为________度.
答案
8. 55
解析
【分析】
解题时先明确圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。观察所求∠ABC，可将其拆分为∠ABF与∠FBC的和，其中∠ABF和已知∠ADF是同弧AF所对的圆周角，二者相等；∠FBC和已知∠FEC是同弧FC所对的圆周角，二者相等，将两个已知角度相加即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：根据同弧所对的圆周角相等的性质：
∠ABF与∠ADF均为弧AF所对的圆周角，故∠ABF=∠ADF=20°，
∠FBC与∠FEC均为弧FC所对的圆周角，故∠FBC=∠FEC=35°，
因此$∠ ABC=∠ ABF+∠ FBC=20°+35°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心是利用同弧所对圆周角相等的性质建立已知角和未知角的联系，解题时要准确找到对应角所对的同一段弧。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。观察所求∠ABC，可将其拆分为∠ABF与∠FBC的和，其中∠ABF和已知∠ADF是同弧AF所对的圆周角，二者相等；∠FBC和已知∠FEC是同弧FC所对的圆周角，二者相等，将两个已知角度相加即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：根据同弧所对的圆周角相等的性质：
∠ABF与∠ADF均为弧AF所对的圆周角，故∠ABF=∠ADF=20°，
∠FBC与∠FEC均为弧FC所对的圆周角，故∠FBC=∠FEC=35°，
因此$∠ ABC=∠ ABF+∠ FBC=20°+35°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心是利用同弧所对圆周角相等的性质建立已知角和未知角的联系，解题时要准确找到对应角所对的同一段弧。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在长方形ABCD中，AB=16，裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合)，则此圆锥的底面半径为
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
解题时先明确两个核心关系：1. 扇形ABE的顶点为A，在长方形中∠A=90°，扇形半径等于AB的长度16；2. 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。我们可以先利用弧长公式求出弧BE的长度，再结合圆的周长公式列方程求解圆锥的底面半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=90°，扇形ABE的半径$R=AB=16$。
根据弧长公式，弧BE的长度为：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×16}{180}=8π$
设圆锥底面半径为r，扇形围成圆锥时弧长等于底面圆的周长，即$2π r=l_{\overset{\frown}{BE}}$，代入得：
$2π r=8π$
解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是理解扇形围成圆锥过程中的等量关系，即弧长等于底面周长，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心关系：1. 扇形ABE的顶点为A，在长方形中∠A=90°，扇形半径等于AB的长度16；2. 扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。我们可以先利用弧长公式求出弧BE的长度，再结合圆的周长公式列方程求解圆锥的底面半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=90°，扇形ABE的半径$R=AB=16$。
根据弧长公式，弧BE的长度为：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×16}{180}=8π$
设圆锥底面半径为r，扇形围成圆锥时弧长等于底面圆的周长，即$2π r=l_{\overset{\frown}{BE}}$，代入得：
$2π r=8π$
解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧长计算、圆锥展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是理解扇形围成圆锥过程中的等量关系，即弧长等于底面周长，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
