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1. 如图所示的扇形半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是 （
A.$3π$ cm
B.$4π$ cm
C.$5π$ cm
D.$6π$ cm
D
）A.$3π$ cm
B.$4π$ cm
C.$5π$ cm
D.$6π$ cm
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确扇形围成圆锥时各量的对应关系：扇形的半径就是圆锥的母线长，圆锥的母线、高、底面圆的半径构成直角三角形，满足勾股定理。解题时先通过勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再代入圆的周长公式计算即可得到底面周长。
【解析】
解：
∵扇形的半径为5 cm，
∴围成圆锥的母线长$ l=5\ \mathrm{cm} $。
已知圆锥的高$ h=4\ \mathrm{cm} $，设圆锥底面圆的半径为$ r $，
根据圆锥母线、高、底面半径满足勾股定理，可得：
$ r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm} $
圆锥底面周长$ C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{cm} $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是理清扇形和圆锥各部分量的对应关系，结合勾股定理求出底面半径即可求解，只要熟记相关概念和公式就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确扇形围成圆锥时各量的对应关系：扇形的半径就是圆锥的母线长，圆锥的母线、高、底面圆的半径构成直角三角形，满足勾股定理。解题时先通过勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再代入圆的周长公式计算即可得到底面周长。
【解析】
解：
∵扇形的半径为5 cm，
∴围成圆锥的母线长$ l=5\ \mathrm{cm} $。
已知圆锥的高$ h=4\ \mathrm{cm} $，设圆锥底面圆的半径为$ r $，
根据圆锥母线、高、底面半径满足勾股定理，可得：
$ r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm} $
圆锥底面周长$ C=2π r=2π×3=6π\ \mathrm{cm} $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是理清扇形和圆锥各部分量的对应关系，结合勾股定理求出底面半径即可求解，只要熟记相关概念和公式就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为$90°$的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上。将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（
A.12 cm
B.6 cm
C.$3\sqrt{2}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
C
）A.12 cm
B.6 cm
C.$3\sqrt{2}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面圆的周长”这个等量关系。第一步先求扇形ABC的半径AB的长度：已知∠BAC=90°，根据圆周角定理，90°圆周角对应的弦是圆的直径，可得BC为圆形纸片的直径，再结合△ABC是等腰直角三角形，即可求出AB的长；第二步利用弧长公式计算扇形的弧长；第三步根据弧长等于底面圆周长，列方程求解底面圆半径即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，点A、B、C在⊙O上
∴BC是⊙O的直径，即BC=24cm
又
∵AB=AC，△ABC为等腰直角三角形
∴$AB=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
扇形ABC的弧长为：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×12\sqrt{2}}{180}=6\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$
设圆锥底面圆的半径为r，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长
∴$2π r=6\sqrt{2}π$
解得：$r=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于扇形与圆锥结合的常考题型，解题关键是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，同时需要熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的性质求扇形半径，整体难度不大，注重基础公式和性质的应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面圆的周长”这个等量关系。第一步先求扇形ABC的半径AB的长度：已知∠BAC=90°，根据圆周角定理，90°圆周角对应的弦是圆的直径，可得BC为圆形纸片的直径，再结合△ABC是等腰直角三角形，即可求出AB的长；第二步利用弧长公式计算扇形的弧长；第三步根据弧长等于底面圆周长，列方程求解底面圆半径即可。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，点A、B、C在⊙O上
∴BC是⊙O的直径，即BC=24cm
又
∵AB=AC，△ABC为等腰直角三角形
∴$AB=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
扇形ABC的弧长为：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×12\sqrt{2}}{180}=6\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$
设圆锥底面圆的半径为r，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长
∴$2π r=6\sqrt{2}π$
解得：$r=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，圆锥展开图性质
【点评】
本题属于扇形与圆锥结合的常考题型，解题关键是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，同时需要熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的性质求扇形半径，整体难度不大，注重基础公式和性质的应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,从一张腰长为 60 cm,顶角为 $120°$的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),圆锥的高为 （
A.10 cm
B.15 cm
C.$10\sqrt{3}$ cm
D.$20\sqrt{2}$ cm
D
）A.10 cm
B.15 cm
C.$10\sqrt{3}$ cm
D.$20\sqrt{2}$ cm
答案
3. D
解析
【分析】
要解决该问题可按三步思考：①先求最大扇形的半径：最大扇形与AB边相切，过O作AB的垂线，垂线段长度就是扇形半径，结合等腰三角形性质和30°角直角三角形的特征计算即可；②再根据扇形弧长等于圆锥底面周长，求出圆锥底面半径；③最后利用圆锥的高、底面半径、母线（即扇形半径）构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
1. 求扇形OCD的半径R
过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=(180°-120°)÷2=30°，
在Rt△AOE中，∠A=30°，斜边OA=60cm，
∴OE=½OA=30cm，即扇形半径R=30cm。
2. 求圆锥底面半径r
扇形弧长公式为$l=\frac{nπR}{180}$，代入n=120，R=30得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π \mathrm{ cm}$
∵扇形弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=l$，
∴$2πr=20π$，解得$r=10\mathrm{ cm}$。
3. 求圆锥的高h
圆锥母线长等于扇形半径30cm，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{30^2-10^2}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}\mathrm{ cm}$
【答案】D
【知识点】
弧长公式，圆锥与扇形的对应关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、扇形弧长计算和圆锥的相关计算，解题核心是明确扇形弧长对应圆锥底面周长、扇形半径对应圆锥母线长，是几何综合类基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决该问题可按三步思考：①先求最大扇形的半径：最大扇形与AB边相切，过O作AB的垂线，垂线段长度就是扇形半径，结合等腰三角形性质和30°角直角三角形的特征计算即可；②再根据扇形弧长等于圆锥底面周长，求出圆锥底面半径；③最后利用圆锥的高、底面半径、母线（即扇形半径）构成直角三角形，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
1. 求扇形OCD的半径R
过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=(180°-120°)÷2=30°，
在Rt△AOE中，∠A=30°，斜边OA=60cm，
∴OE=½OA=30cm，即扇形半径R=30cm。
2. 求圆锥底面半径r
扇形弧长公式为$l=\frac{nπR}{180}$，代入n=120，R=30得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π \mathrm{ cm}$
∵扇形弧长等于圆锥底面周长，即$2πr=l$，
∴$2πr=20π$，解得$r=10\mathrm{ cm}$。
3. 求圆锥的高h
圆锥母线长等于扇形半径30cm，由勾股定理可得：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{30^2-10^2}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}\mathrm{ cm}$
【答案】D
【知识点】
弧长公式，圆锥与扇形的对应关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、扇形弧长计算和圆锥的相关计算，解题核心是明确扇形弧长对应圆锥底面周长、扇形半径对应圆锥母线长，是几何综合类基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A在以BC为直径的$\odot O$内，且$AB=AC$，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若$∠ BAC=120°$，$BC=2\sqrt{3}$，这个圆锥底面圆的半径是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
4. B
解析
【分析】
要计算圆锥底面圆的半径，需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长，解题思路如下：①先利用等腰三角形的性质和已知条件求出扇形ABC的半径AC的长度；②利用弧长公式计算扇形ABC的弧长；③根据弧长等于底面圆周长的等量关系列方程，求解底面半径r。
【解析】
1. 求扇形半径AC的长度
已知$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，过点A作$AD⊥ BC$于点D：
由等腰三角形三线合一性质得，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，$∠ ABD=30°$。
在$Rt△ ABD$中，设$AD=x$，由30°角所对直角边是斜边的一半得$AB=2x$，根据勾股定理：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入得$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$，因此$AB=AC=2$。
2. 计算扇形ABC的弧长
扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，半径$R=AC=2$，代入得：
$l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
3. 求解圆锥底面半径r
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=l$，代入弧长得：
$2π r=\frac{4π}{3}$
解得$r=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，弧长计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题解题核心是掌握圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系：扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合等腰三角形性质求出扇形半径是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥底面圆的半径，需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长，解题思路如下：①先利用等腰三角形的性质和已知条件求出扇形ABC的半径AC的长度；②利用弧长公式计算扇形ABC的弧长；③根据弧长等于底面圆周长的等量关系列方程，求解底面半径r。
【解析】
1. 求扇形半径AC的长度
已知$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，过点A作$AD⊥ BC$于点D：
由等腰三角形三线合一性质得，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$，$∠ ABD=30°$。
在$Rt△ ABD$中，设$AD=x$，由30°角所对直角边是斜边的一半得$AB=2x$，根据勾股定理：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入得$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，解得$x=1$，因此$AB=AC=2$。
2. 计算扇形ABC的弧长
扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，半径$R=AC=2$，代入得：
$l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
3. 求解圆锥底面半径r
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，即$2π r=l$，代入弧长得：
$2π r=\frac{4π}{3}$
解得$r=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，弧长计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题解题核心是掌握圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系：扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合等腰三角形性质求出扇形半径是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为 （
A.6
B.7
C.8
D.9
D
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先抓住铁丝长度不变这一关键不变量：首先变形后扇形的半径等于正方形的边长，再求出扇形的弧长等于正方形中BC、CD两条边的长度和，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为3，因此正方形各边长度均为3，即$AB=BC=CD=DA=3$。
铁丝框变形过程中总长度不变，因此扇形DAB的半径$r=AB=3$，弧BD的长度$l=BC+CD=3+3=6$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径），代入数值可得：
$S_{扇形DAB}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，转化思想
【点评】
本题考查图形变形类问题的求解，核心是找到变形前后的不变量，只要准确得出扇形的弧长和半径，结合扇形面积公式即可轻松解题，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
解题时先抓住铁丝长度不变这一关键不变量：首先变形后扇形的半径等于正方形的边长，再求出扇形的弧长等于正方形中BC、CD两条边的长度和，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为3，因此正方形各边长度均为3，即$AB=BC=CD=DA=3$。
铁丝框变形过程中总长度不变，因此扇形DAB的半径$r=AB=3$，弧BD的长度$l=BC+CD=3+3=6$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（$l$为扇形弧长，$r$为扇形半径），代入数值可得：
$S_{扇形DAB}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，转化思想
【点评】
本题考查图形变形类问题的求解，核心是找到变形前后的不变量，只要准确得出扇形的弧长和半径，结合扇形面积公式即可轻松解题，侧重对基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
6. 在一个长 18,宽 12 的矩形 ABCD 内画出一个扇形,扇形的圆心 O 在 AB 上,扇形的半径是矩形的宽,若把扇形剪下后卷成一个圆锥,求圆锥底面半径.
答案
6. 在$\mathrm{Rt}△AOF$中,$OF=12,AO=AB-OB=18-12=6$,
$\therefore ∠AFO=30°,∴∠AOF=60°,∴∠BOF=120°,$
∴扇形$OFB$的弧长$=\dfrac{120}{180}π×12=8π.$
∵扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,$∴8π=2πr,∴r=4,$
∴圆锥底面半径长为4.
$\therefore ∠AFO=30°,∴∠AOF=60°,∴∠BOF=120°,$
∴扇形$OFB$的弧长$=\dfrac{120}{180}π×12=8π.$
∵扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,$∴8π=2πr,∴r=4,$
∴圆锥底面半径长为4.
解析
【分析】
要求圆锥底面半径，需先明确“圆锥底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，因此解题步骤如下：第一步先求扇形的圆心角度数：已知扇形半径为矩形的宽12，因此OB=OF=12，结合AB长为18可求出AO的长度，在Rt△AOF中利用直角三角形的边角关系即可求出∠AOF的度数，进而得到扇形的圆心角；第二步代入弧长公式计算扇形弧长；第三步结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥底面半径。
【解析】
解：由题意得扇形半径$OF=OB=12$，
$\because AB=18$，$\therefore AO=AB-OB=18-12=6$，
在$\mathrm{Rt}△AOF$中，$AO=\frac{1}{2}OF$，
$\therefore ∠AFO=30°$，$\therefore ∠AOF=90°-30°=60°$，
$\therefore$ 扇形的圆心角$∠ BOF=180°-60°=120°$，
$\therefore$ 扇形弧长$l=\frac{120π×12}{180}=8π$，
设圆锥底面半径为$r$，$\because$ 扇形弧长等于圆锥底面圆周长，
$\therefore 2π r=8π$，解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查矩形、直角三角形、扇形和圆锥的相关知识，解题的关键是抓住圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的等量关系，同时能结合直角三角形的性质求出扇形圆心角，是几何综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求圆锥底面半径，需先明确“圆锥底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一核心等量关系，因此解题步骤如下：第一步先求扇形的圆心角度数：已知扇形半径为矩形的宽12，因此OB=OF=12，结合AB长为18可求出AO的长度，在Rt△AOF中利用直角三角形的边角关系即可求出∠AOF的度数，进而得到扇形的圆心角；第二步代入弧长公式计算扇形弧长；第三步结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥底面半径。
【解析】
解：由题意得扇形半径$OF=OB=12$，
$\because AB=18$，$\therefore AO=AB-OB=18-12=6$，
在$\mathrm{Rt}△AOF$中，$AO=\frac{1}{2}OF$，
$\therefore ∠AFO=30°$，$\therefore ∠AOF=90°-30°=60°$，
$\therefore$ 扇形的圆心角$∠ BOF=180°-60°=120°$，
$\therefore$ 扇形弧长$l=\frac{120π×12}{180}=8π$，
设圆锥底面半径为$r$，$\because$ 扇形弧长等于圆锥底面圆周长，
$\therefore 2π r=8π$，解得$r=4$。
【答案】
4
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查矩形、直角三角形、扇形和圆锥的相关知识，解题的关键是抓住圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的等量关系，同时能结合直角三角形的性质求出扇形圆心角，是几何综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
