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1. 如图,已知直线$y=\frac{1}{2}x$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$交于A,B两点,点B的坐标为$(-4,-2)$,C为双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上一点,且在第一象限内,若$△ AOC$的面积为6,则点C的坐标为
(2,4)或(8,1)
.答案
1. (2,4)或(8,1)
解析
【分析】
解题思路分三步：①先将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k值，确定反比例函数的表达式；②根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，得到点A的坐标；③设出点C的坐标，利用割补法表示出△AOC的面积，结合面积为6列方程求解，注意分点C在直线OA上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$B(-4,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=(-4)×(-2)=8$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
2. 求点A坐标：
直线$y=\frac{1}{2}x$与双曲线$y=\frac{8}{x}$的交点A、B关于原点对称，已知$B(-4,-2)$，故A点坐标为$(4,2)$。
3. 设点C坐标并列方程求解：
设第一象限内点C的坐标为$(a,\frac{8}{a})$（$a＞0$），过C作$CD⊥ x$轴，交直线OA于点D。
直线OA解析式为$y=\frac{1}{2}x$，因此D点坐标为$(a,\frac{1}{2}a)$，则$CD=|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|$。
△AOC的面积可拆分为△OCD和△ACD的面积和：
$S_{△ AOC}=S_{△ OCD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· CD· a + \frac{1}{2}· CD· (4-a)=\frac{1}{2}· CD·4=2CD$
已知$S_{△ AOC}=6$，因此$2·|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|=6$，即$|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|=3$。
分两种情况讨论：
① 当$\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a=3$时，两边同乘$2a$（$a＞0$）得$16-a^2=6a$，整理得$a^2+6a-16=0$，解得$a=2$（$a=-8$舍去，不符合$a＞0$），此时$\frac{8}{a}=4$，即$C(2,4)$。
② 当$\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a=-3$时，两边同乘$2a$得$16-a^2=-6a$，整理得$a^2-6a-16=0$，解得$a=8$（$a=-2$舍去），此时$\frac{8}{a}=1$，即$C(8,1)$。
【答案】
(2,4)或(8,1)
【知识点】
反比例函数性质，坐标系面积计算，分式方程求解
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题时可利用函数交点的对称性简化计算，用割补法计算不规则三角形面积更简便，同时要注意分情况讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：①先将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k值，确定反比例函数的表达式；②根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，得到点A的坐标；③设出点C的坐标，利用割补法表示出△AOC的面积，结合面积为6列方程求解，注意分点C在直线OA上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$B(-4,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=(-4)×(-2)=8$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
2. 求点A坐标：
直线$y=\frac{1}{2}x$与双曲线$y=\frac{8}{x}$的交点A、B关于原点对称，已知$B(-4,-2)$，故A点坐标为$(4,2)$。
3. 设点C坐标并列方程求解：
设第一象限内点C的坐标为$(a,\frac{8}{a})$（$a＞0$），过C作$CD⊥ x$轴，交直线OA于点D。
直线OA解析式为$y=\frac{1}{2}x$，因此D点坐标为$(a,\frac{1}{2}a)$，则$CD=|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|$。
△AOC的面积可拆分为△OCD和△ACD的面积和：
$S_{△ AOC}=S_{△ OCD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· CD· a + \frac{1}{2}· CD· (4-a)=\frac{1}{2}· CD·4=2CD$
已知$S_{△ AOC}=6$，因此$2·|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|=6$，即$|\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a|=3$。
分两种情况讨论：
① 当$\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a=3$时，两边同乘$2a$（$a＞0$）得$16-a^2=6a$，整理得$a^2+6a-16=0$，解得$a=2$（$a=-8$舍去，不符合$a＞0$），此时$\frac{8}{a}=4$，即$C(2,4)$。
② 当$\frac{8}{a}-\frac{1}{2}a=-3$时，两边同乘$2a$得$16-a^2=-6a$，整理得$a^2-6a-16=0$，解得$a=8$（$a=-2$舍去），此时$\frac{8}{a}=1$，即$C(8,1)$。
【答案】
(2,4)或(8,1)
【知识点】
反比例函数性质，坐标系面积计算，分式方程求解
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题时可利用函数交点的对称性简化计算，用割补法计算不规则三角形面积更简便，同时要注意分情况讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，一次函数$y=kx+b$($k$，$b$为常数，且$k≠0$)和反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$($x＞0$)的图象交于$A$，$B$两点，利用函数图象直接写出不等式$\dfrac{4}{x}＜kx+b$的解集是
$1＜x＜4$
。答案
2. $1＜x＜4$
解析
【分析】
要解决不等式$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$的解集，首先明确该不等式的几何意义：在自变量$x＞0$的范围内，反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的函数值小于一次函数$y=kx+b$的函数值，对应图象中反比例函数的图象位于一次函数图象下方的区域。首先从图象中读取两个交点的横坐标：A点横坐标为1，B点横坐标为4，再观察两函数的上下位置关系，即可确定满足条件的x的取值范围。
【解析】
由图象可得，一次函数与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的交点A的横坐标为1，交点B的横坐标为4。
不等式$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$的含义是反比例函数的函数值小于一次函数的函数值，对应图象中反比例函数图象在一次函数图象下方的部分。
结合反比例函数自变量$x＞0$的限制，观察图象可知：当$1 ＜ x ＜ 4$时，$y=\dfrac{4}{x}$的图象在$y=kx+b$图象下方，满足$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
反比例函数图象，一次函数图象，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是将函数值的大小关系转化为图象的上下位置关系，无需计算函数解析式，直接观察图象即可得到结果，是函数结合不等式的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决不等式$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$的解集，首先明确该不等式的几何意义：在自变量$x＞0$的范围内，反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的函数值小于一次函数$y=kx+b$的函数值，对应图象中反比例函数的图象位于一次函数图象下方的区域。首先从图象中读取两个交点的横坐标：A点横坐标为1，B点横坐标为4，再观察两函数的上下位置关系，即可确定满足条件的x的取值范围。
【解析】
由图象可得，一次函数与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的交点A的横坐标为1，交点B的横坐标为4。
不等式$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$的含义是反比例函数的函数值小于一次函数的函数值，对应图象中反比例函数图象在一次函数图象下方的部分。
结合反比例函数自变量$x＞0$的限制，观察图象可知：当$1 ＜ x ＜ 4$时，$y=\dfrac{4}{x}$的图象在$y=kx+b$图象下方，满足$\dfrac{4}{x} ＜ kx+b$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
反比例函数图象，一次函数图象，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是将函数值的大小关系转化为图象的上下位置关系，无需计算函数解析式，直接观察图象即可得到结果，是函数结合不等式的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，$BC=2AB$，A，B两点的坐标分别是$(-1,0),(0,2)$，C，D两点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，则k的值是
$-12$
。答案
3. $-12$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，设出点C的坐标，通过坐标平移规律表示出点D的坐标；再结合C、D都在反比例函数图象上，横纵坐标乘积相等，得到点C横纵坐标的关系式；然后计算AB的长度，根据BC=2AB的条件，利用两点间距离公式列出第二个方程，联立两个方程求解得到点C的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求出k的值，注意x的取值范围为负，要舍去正根。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(-1,0)，B(0,2)，由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，故$BC=2AB=2\sqrt{5}$。
2. 设点C的坐标为$(x,y)$（$x＜0$），因为四边形ABCD是平行四边形，AB边向右平移1个单位、向上平移2个单位得到DC边，所以点D的坐标为$(x-1,y-2)$。
3. 由于C、D均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此两点横纵坐标的乘积相等，即：
$xy=(x-1)(y-2)$
展开右边并化简：$xy=xy-2x-y+2$，消去$xy$后得$2x+y=2$，即$y=2-2x$。
4. 结合$BC=2\sqrt{5}$，B点坐标为(0,2)，由两点间距离公式得：
$\sqrt{x^2+(y-2)^2}=2\sqrt{5}$，两边平方得$x^2+(y-2)^2=20$。
5. 将$y=2-2x$代入上式，得$y-2=-2x$，因此：
$x^2+(-2x)^2=20$，即$5x^2=20$，解得$x^2=4$。
因为$x＜0$，所以$x=-2$，代入$y=2-2x$得$y=2-2×(-2)=6$。
6. 点C坐标为$(-2,6)$，代入反比例函数得$k=xy=(-2)×6=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的综合题，核心是利用平行四边形的坐标平移规律表示未知点坐标，再结合函数性质和几何条件联立方程求解，要求学生熟练掌握几何性质与代数计算的结合方法，锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，设出点C的坐标，通过坐标平移规律表示出点D的坐标；再结合C、D都在反比例函数图象上，横纵坐标乘积相等，得到点C横纵坐标的关系式；然后计算AB的长度，根据BC=2AB的条件，利用两点间距离公式列出第二个方程，联立两个方程求解得到点C的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求出k的值，注意x的取值范围为负，要舍去正根。
【解析】
1. 计算AB的长度：已知A(-1,0)，B(0,2)，由两点间距离公式得：
$AB=\sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，故$BC=2AB=2\sqrt{5}$。
2. 设点C的坐标为$(x,y)$（$x＜0$），因为四边形ABCD是平行四边形，AB边向右平移1个单位、向上平移2个单位得到DC边，所以点D的坐标为$(x-1,y-2)$。
3. 由于C、D均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此两点横纵坐标的乘积相等，即：
$xy=(x-1)(y-2)$
展开右边并化简：$xy=xy-2x-y+2$，消去$xy$后得$2x+y=2$，即$y=2-2x$。
4. 结合$BC=2\sqrt{5}$，B点坐标为(0,2)，由两点间距离公式得：
$\sqrt{x^2+(y-2)^2}=2\sqrt{5}$，两边平方得$x^2+(y-2)^2=20$。
5. 将$y=2-2x$代入上式，得$y-2=-2x$，因此：
$x^2+(-2x)^2=20$，即$5x^2=20$，解得$x^2=4$。
因为$x＜0$，所以$x=-2$，代入$y=2-2x$得$y=2-2×(-2)=6$。
6. 点C坐标为$(-2,6)$，代入反比例函数得$k=xy=(-2)×6=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
平行四边形的性质，反比例函数的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的综合题，核心是利用平行四边形的坐标平移规律表示未知点坐标，再结合函数性质和几何条件联立方程求解，要求学生熟练掌握几何性质与代数计算的结合方法，锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
4. 函数$y=x$的图象与函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象在第一象限内交于点$B$，$C$是函数$y=\dfrac{4}{x}$在第一象限图象上的一个动点，当$△ OBC$的面积为3时，点$C$的横坐标是________.
答案
4. 4或1
解析
【分析】
首先联立一次函数与反比例函数的解析式，求出第一象限内交点B的坐标；再设点C的横坐标为t，可得C点坐标为$(t,\dfrac{4}{t})$（$t＞0$），通过作x轴垂线用割补法表示$△ OBC$的面积，注意分点C在点B左侧、右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可得到t的值。
【解析】
1. 求交点B的坐标：
联立$\begin{cases}y=x \\ y=\dfrac{4}{x}\end{cases}$，得$x=\dfrac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因为交点B在第一象限，所以$x=2$，$y=2$，即$B(2,2)$。
2. 设点C的横坐标为$t$（$t＞0$），则$C(t,\dfrac{4}{t})$。
分别过点B、C作$BM⊥ x$轴于M，$CN⊥ x$轴于N，则$M(2,0)$，$N(t,0)$。
由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ OBM}=\dfrac{1}{2}×|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，$S_{△ OCN}=\dfrac{1}{2}×|k|=2$。
3. 分情况讨论：
情况1：$t＞2$（点C在B右侧）
此时$S_{△ OBC}=S_{\mathrm{梯形}BMNC}=3$，梯形上底$BM=2$，下底$CN=\dfrac{4}{t}$，高$MN=t-2$，则：
$\dfrac{1}{2}×(2+\dfrac{4}{t})×(t-2)=3$
化简得：$t-\dfrac{4}{t}=3$，两边乘$t$得$t^2-3t-4=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-1$（舍去，因为$t＞0$）。
情况2：$0＜t＜2$（点C在B左侧）
此时$S_{△ OBC}=S_{\mathrm{梯形}CNMB}=3$，梯形上底$CN=\dfrac{4}{t}$，下底$BM=2$，高$MN=2-t$，则：
$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{4}{t}+2)×(2-t)=3$
化简得：$\dfrac{4}{t}-t=3$，两边乘$t$得$t^2+3t-4=0$，解得$t_1=1$，$t_2=-4$（舍去，因为$t＞0$）。
综上，点C的横坐标为1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
函数交点求解，反比例函数k的几何意义，坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题核心是用割补法将不规则三角形面积转化为易计算的梯形面积，解题时要注意分类讨论点C的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先联立一次函数与反比例函数的解析式，求出第一象限内交点B的坐标；再设点C的横坐标为t，可得C点坐标为$(t,\dfrac{4}{t})$（$t＞0$），通过作x轴垂线用割补法表示$△ OBC$的面积，注意分点C在点B左侧、右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可得到t的值。
【解析】
1. 求交点B的坐标：
联立$\begin{cases}y=x \\ y=\dfrac{4}{x}\end{cases}$，得$x=\dfrac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因为交点B在第一象限，所以$x=2$，$y=2$，即$B(2,2)$。
2. 设点C的横坐标为$t$（$t＞0$），则$C(t,\dfrac{4}{t})$。
分别过点B、C作$BM⊥ x$轴于M，$CN⊥ x$轴于N，则$M(2,0)$，$N(t,0)$。
由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ OBM}=\dfrac{1}{2}×|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，$S_{△ OCN}=\dfrac{1}{2}×|k|=2$。
3. 分情况讨论：
情况1：$t＞2$（点C在B右侧）
此时$S_{△ OBC}=S_{\mathrm{梯形}BMNC}=3$，梯形上底$BM=2$，下底$CN=\dfrac{4}{t}$，高$MN=t-2$，则：
$\dfrac{1}{2}×(2+\dfrac{4}{t})×(t-2)=3$
化简得：$t-\dfrac{4}{t}=3$，两边乘$t$得$t^2-3t-4=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-1$（舍去，因为$t＞0$）。
情况2：$0＜t＜2$（点C在B左侧）
此时$S_{△ OBC}=S_{\mathrm{梯形}CNMB}=3$，梯形上底$CN=\dfrac{4}{t}$，下底$BM=2$，高$MN=2-t$，则：
$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{4}{t}+2)×(2-t)=3$
化简得：$\dfrac{4}{t}-t=3$，两边乘$t$得$t^2+3t-4=0$，解得$t_1=1$，$t_2=-4$（舍去，因为$t＞0$）。
综上，点C的横坐标为1或4。
【答案】
1或4
【知识点】
函数交点求解，反比例函数k的几何意义，坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题核心是用割补法将不规则三角形面积转化为易计算的梯形面积，解题时要注意分类讨论点C的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
