5. 如图,点$A(a,1)$,$B(-1,b)$都在双曲线$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$上,$P$,$Q$分别是$x$轴、$y$轴上的动点,当四边形$PABQ$的周长取最小值时,$PQ$所在直线对应的函数解析式是 （）

A.$y=x$
B.$y=x+1$
C.$y=x+2$
D.$y=x+3$
（第5题）

5. C

【分析】
首先将点A、B代入反比例函数解析式求出两点坐标；由于四边形PABQ中AB的长度是固定值，因此要使周长最小，只需使PA+PQ+QB的和最小。根据轴对称最短路径原理，作点A关于x轴的对称点A'、点B关于y轴的对称点B'，此时PA=PA'，QB=QB'，则PA+PQ+QB=A'P+PQ+QB'，当A'、P、Q、B'四点共线时，该和最小，此时直线A'B'与x轴、y轴的交点即为所求的P、Q，最后求出直线A'B'的解析式即为PQ的解析式。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
将$A(a,1)$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$1=-\dfrac{3}{a}$，解得$a=-3$，即$A(-3,1)$；
将$B(-1,b)$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$b=-\dfrac{3}{-1}=3$，即$B(-1,3)$。
2. 作对称点转化线段：
作点A关于x轴的对称点$A'(-3,-1)$，点B关于y轴的对称点$B'(1,3)$，根据轴对称性质，$PA=PA'$，$QB=QB'$，因此$PA+PQ+QB=A'P+PQ+QB'$，当A'、P、Q、B'共线时，该和最小，对应四边形周长最小。
3. 求直线$A'B'$的解析式：
设直线$A'B'$的解析式为$y=kx+m$，将$A'(-3,-1)$、$B'(1,3)$代入得：
$\begin{cases}-3k+m=-1\\k+m=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k+m=3$得$m=2$，因此直线解析式为$y=x+2$，即PQ所在直线的解析式。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；轴对称最短路径；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何最值的综合题型，核心是利用轴对称将三条线段的和转化为两点之间的线段，体现了转化思想，是常考的类型题，需要熟练掌握最短路径的转化方法和待定系数法求函数解析式。
【难度系数】
0.6

6. 如图，$P(a,a)$是反比例函数$y=\frac{16}{x}$在第一象限内的图象上的一个点，以点$P$为顶点作等边三角形$PAB$，使点$A$，$B$落在$x$轴上，则$△ POA$的面积是（）

A.$3$
B.$4$
C.$\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$

6. D

【分析】
解题思路如下：① 先将点P(a,a)代入反比例函数解析式，求出a的值，确定点P的坐标，得到点P到x轴的距离（即△POA的高）和OH的长度（H为P向x轴作垂线的垂足）；② 过P作PH⊥x轴于H，利用等边三角形三线合一的性质，结合锐角三角函数求出等边三角形边长的一半AH的长度；③ 用OH减去AH得到OA的长度，再利用三角形面积公式计算△POA的面积即可。
【解析】
解：
∵点P(a,a)在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，
∴将P(a,a)代入解析式得：$a=\frac{16}{a}$，
解得$a^2=16$，
∵点P在第一象限，
∴$a＞0$，
∴$a=4$，即P(4,4)。
过点P作PH⊥x轴于点H，则PH=4，OH=4。
∵△PAB是等边三角形，PH⊥AB，
∴∠PAH=60°，H为AB中点，
在Rt△PHA中，$\tan∠ PAH=\frac{PH}{AH}$，
即$\tan60°=\frac{4}{AH}=\sqrt{3}$，
解得$AH=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$OA=OH - AH=4-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{12-4\sqrt{3}}{3}$，
∴$S_{△ POA}=\frac{1}{2}× OA× PH=\frac{1}{2}×\frac{12-4\sqrt{3}}{3}×4=\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的综合题，解题的关键是先确定点P的坐标，再结合等边三角形的性质求出OA的长度，既考查了函数的基本性质，也考查了学生对几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$Rt△ ABC$的顶点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$的图象上，直角边BC在x轴上，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=30°$，$OC=4$，连接OA，$∠ AOB=60°$，则k的值是（）

A.$4\sqrt{3}$
B.$-4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{3}$

7. B

【分析】
要求反比例函数中$k$的值，核心是求出反比例函数上点$A$的坐标，再根据$k=xy$计算即可。首先利用三角形外角的性质，推导得出$△ AOC$为等腰三角形，得到$OA=OC=4$；再在$Rt△ ABO$中利用特殊角的三角函数值求出$OB$、$AB$的长度，结合点$A$所在的第二象限确定坐标，最后代入反比例函数解析式即可算出$k$。
【解析】
解：$\because ∠ AOB$是$△ AOC$的外角，
$\therefore ∠ OAC=∠ AOB-∠ ACB=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ OAC=∠ ACB$，
$\therefore OA=OC=4$。
在$Rt△ ABO$中，$∠ ABO=90°$，$∠ AOB=60°$，$OA=4$，
$\therefore OB=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AB=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
$\because$点$A$在第二象限，
$\therefore A$的坐标为$(-2,2\sqrt{3})$。
将$A(-2,2\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=(-2)×2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定
【点评】
本题是反比例函数与三角形结合的典型题型，解题关键是通过角度关系推导得到线段长度，进而得到点的坐标求出$k$，解题时注意结合点所在象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7

8. 如图，位于第一象限的点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点.若$EO=EF$，$△ EOF$的面积等于2，则k的值为 （）

A.4
B.2
C.1
D.$-2$

8. B

【分析】
首先观察到△EOF是等腰三角形（EO=EF），可利用等腰三角形三线合一的性质，过点E作x轴的垂线，得到垂足是OF的中点；再结合反比例函数上点的坐标特征，即横纵坐标的乘积等于k，通过三角形面积公式建立等式即可求出k的值。
【解析】
过点E作EG⊥x轴，垂足为G。
∵EO=EF，EG⊥OF，
∴G是OF的中点（等腰三角形三线合一）。
设E的坐标为(x,y)（x＞0，y＞0，因E在第一象限），则OG=x，OF=2OG=2x，EG=y。
根据三角形面积公式，$S_{△ EOF}=\frac{1}{2}× OF× EG$，已知面积为2，代入得：
$\frac{1}{2}× 2x × y = xy = 2$
∵点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy$，又反比例函数图象在第一象限，k＞0，
∴k=2。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题型，核心是通过等腰三角形的性质沟通三角形的底与点E横坐标的关系，再结合反比例函数中k的几何意义求解，能有效考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图,反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于A,B两点,点A的坐标为$(2,6)$,点B的坐标为$(n,1)$,直线AB与y轴交于点P.E为y轴上的一个动点,若$S_{△ AEB}=5$,则点E的坐标为.

1. $(0,6)$或$(0,8)$

【分析】
解题思路可分为四步：① 先利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再代入点B的纵坐标求出点B的坐标；② 用A、B两点坐标求出一次函数AB的解析式，得到直线AB与y轴交点P的坐标；③ 设E点坐标为$(0,t)$，将$△ AEB$的面积转化为同底的$△ BEP$和$△ AEP$的面积差，列关于t的方程；④ 解方程求出t的值，即可得到E点坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式及点B坐标
∵点$A(2,6)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴代入得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，即反比例函数为$y=\frac{12}{x}$。
∵点$B(n,1)$在$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴代入得$1=\frac{12}{n}$，解得$n=12$，即点B坐标为$(12,1)$。
2. 求一次函数AB的解析式及点P坐标
将$A(2,6)$、$B(12,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=6 \\12k+b=1 \end{cases}$
两式相减得$-10k=5$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$2k+b=6$，得$-1+b=6$，解得$b=7$，
∴一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+7$，它与y轴交点P的坐标为$(0,7)$。
3. 求E点坐标
设E点坐标为$(0,t)$，则线段$PE$的长度为$|t-7|$。
$△ AEB$的面积可表示为$△ BEP$与$△ AEP$的面积差，两个三角形以PE为底，高分别为点B的横坐标12、点A的横坐标2，因此：
$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}×|t-7|×12 - \frac{1}{2}×|t-7|×2 = 5|t-7|$
已知$S_{△ AEB}=5$，代入得$5|t-7|=5$，即$|t-7|=1$，
解得$t=6$或$t=8$，即E点坐标为$(0,6)$或$(0,8)$。
【答案】
$(0,6)$或$(0,8)$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，核心解题技巧是将不规则的三角形面积转化为同底的两个三角形面积差，大大简化计算过程，解题时要注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，过点$C(2,1)$作$AC// x$轴，$BC// y$轴，点$A$，$B$都在直线$y=-x+6$上，若双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$与$△ ABC$总有公共点，则$k$的取值范围是。

2. $2≤ k≤9$

【分析】
要确定k的取值范围，需先求出△ABC三个顶点的坐标，再分析双曲线与△ABC有公共点时k的两个临界值：①k的最小值对应双曲线刚好经过点C的情况，可直接根据反比例函数$k=xy$计算；②k的最大值对应双曲线与线段AB刚好相切的情况，联立一次函数和反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式为0求出相切时的k值，再验证切点是否在线段AB上，最终结合两个临界值得到k的取值范围。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
∵$AC// x$轴，点$C(2,1)$，
∴点A的纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=-x+6$，得$1=-x+6$，解得$x=5$，即$A(5,1)$；
∵$BC// y$轴，点$C(2,1)$，
∴点B的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=-x+6$，得$y=-2+6=4$，即$B(2,4)$。
2. 求k的最小值：
当双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点$C(2,1)$时，k取得最小值，代入得$k=2×1=2$。
3. 求k的最大值：
联立双曲线与直线AB的解析式$\begin{cases}y=\dfrac{k}{x}\\y=-x+6\end{cases}$，
消去y整理得：$x^2-6x+k=0$，
当双曲线与直线AB相切时，该一元二次方程有唯一解，即判别式$\Delta=0$，
$\Delta=(-6)^2-4k=36-4k=0$，解得$k=9$，
此时方程的解为$x=3$，代入直线方程得$y=3$，即切点为$(3,3)$，
该点横坐标在2~5之间、纵坐标在1~4之间，在线段AB上，符合题意，即k的最大值为9。
综上，k的取值范围是$2≤ k≤9$。
【答案】
$2≤ k≤9$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数图象性质，函数交点问题
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，解题核心是找准k的两个临界值，需注意计算相切的最大k值时，要验证切点是否落在线段AB范围内，避免出现取值范围错误。
【难度系数】
0.6