3. 如图,点A在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,且$OA=4$,过点A作$AB ⊥ x$轴于点B,则$△ ABO$的周长为.
（第3题）

3. $4+2\sqrt{6}$

【分析】
要求$△ ABO$的周长，周长为$OB+AB+OA$，已知$OA=4$，因此只需求出$OB+AB$的值即可。设点A坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），根据反比例函数的性质可得$xy=4$；由$AB⊥ x$轴可知$OB=x$、$AB=y$，结合勾股定理可得$x^2+y^2=OA^2=16$；再利用完全平方公式将$x^2+y^2$和$xy$的值代入，求出$x+y$的值，最后即可得到三角形的周长。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0$，$y＞0$。
1. 因为点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，所以$xy=4$。
2. 因为$AB⊥ x$轴，所以$OB=x$，$AB=y$，$△ ABO$为直角三角形。
3. 在$Rt△ ABO$中，$OA=4$，由勾股定理得：
$OB^2+AB^2=OA^2$，即$x^2+y^2=4^2=16$。
4. 根据完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x^2+y^2=16$、$xy=4$得：
$(x+y)^2=16+2×4=24$。
因为$x＞0$，$y＞0$，所以$x+y=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
5. $△ ABO$的周长为$OB+AB+OA=x+y+4=2\sqrt{6}+4=4+2\sqrt{6}$。
【答案】
$4+2\sqrt{6}$
【知识点】
反比例函数的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题时不需要单独求出$x$、$y$的具体值，利用整体思想计算$x+y$的和可以简化计算过程，核心是结合反比例函数的坐标特征和几何公式建立数量关系。
【难度系数】
0.7

4. 如图，已知点A在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，点B在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，且$AB// x$轴，则$△ OAB$的面积等于。

4. $\dfrac{3}{2}$

【分析】
已知AB平行于x轴，因此A、B两点纵坐标相同。求解△OAB的面积可利用反比例函数k的几何意义简化计算：延长BA交y轴于点C，可得BC垂直于y轴，此时△OBC和△OAC的面积可直接通过反比例函数的k值求出，两个三角形的面积差即为△OAB的面积。
【解析】
延长BA，交y轴于点C。
∵AB//x轴，
∴BC⊥y轴。
∵点A在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，由反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×|5|=\frac{5}{2}$
同理，点B在双曲线$y=\frac{8}{x}$上，可得：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×|8|=4$
∴$S_{△ OAB}=S_{△ OBC}-S_{△ OAC}=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型基础题，解题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，利用割补法求三角形面积，可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7

5. 如图，直线AB交双曲线$y=\frac{k}{x}$于点A，B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作$BM⊥ x$轴于点M，连接OA。若$OM=2MC$，$S_{△ OAC}=12$，则k的值为。

5. 8

【分析】
解题时我们可以先根据线段比例关系设参数表示各点横坐标，再结合B是AC中点的性质，利用中点坐标公式和反比例函数的坐标特征表示出A点的纵坐标，最后代入三角形OAC的面积公式建立方程求解，计算过程中参数会自动消去，不需要求出参数的具体值。
【解析】
设$MC=a$，
$\because OM=2MC$，$\therefore OM=2a$，$OC=OM+MC=3a$。
$\because BM ⊥ x$轴，$\therefore$点$B$的横坐标为$2a$，又$\because$点$B$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore B(2a,\frac{k}{2a})$。
$\because B$是线段$AC$的中点，点$C$坐标为$(3a,0)$，设$A(x_A,y_A)$，根据中点坐标公式：
横坐标：$\frac{x_A+3a}{2}=2a$，解得$x_A=a$；
纵坐标：$\frac{y_A+0}{2}=\frac{k}{2a}$，解得$y_A=\frac{k}{a}$。
$△ OAC$的底为$OC=3a$，高为$A$点的纵坐标$y_A=\frac{k}{a}$，已知$S_{△ OAC}=12$，
$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × y_A=\frac{1}{2} × 3a × \frac{k}{a}=\frac{3k}{2}=12$，
解得$k=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用中点性质和反比例函数的坐标特征表示相关点的坐标，结合面积关系建立方程求解，计算中参数会自然消去，降低了解题难度。
【难度系数】
0.65

6. 如图，直线$ l ⊥ x $轴于点$ P $，且与反比例函数$ y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0) $和$ y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0) $的图象分别交于$ A,B $两点，连接$ OA,OB $，已知三角形$ OAB $的面积为2，则$ k_1 - k_2 = $。

6. 4

【分析】
本题可利用反比例函数中k的几何意义求解。首先回忆：对于第一象限内的反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，过图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}k$。观察图形可知，$△ OAB$的面积等于$△ OAP$的面积减去$△ OBP$的面积，结合已知的$△ OAB$面积即可建立关于$k_1$、$k_2$的等式，求出$k_1-k_2$的值。
【解析】
∵ 直线$l⊥ x$轴于点$P$，$A$在$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$的图象上，$B$在$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上，且两个反比例函数图象均在第一象限，
∴$k_1＞0$，$k_2＞0$。
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}k_2$。
又
∵$S_{△ OAB}=S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=2$，
∴ $\frac{1}{2}k_1 - \frac{1}{2}k_2 = 2$，
两边同乘2得：$k_1 - k_2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题型，解题的核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，准确找到待求图形面积与两个反比例函数k值的关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7

7. 如图,已知点$(1,3)$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,长方形$ABCD$的边$BC$在$x$轴上,函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象又经过点$A$,$A$的纵坐标为$\frac{6}{m}$,且$OB:BC=1:2$.
(1) 求$k$的值;
(2) 求$△ OCD$的面积;
(3) 当$∠ ABD=45°$时,求$m$的值.

7. (1) $\because$点$(1,3)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,$\therefore 3=\dfrac{k}{1},\therefore k=3$.
(2) $\because k=3,\therefore$反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}$.$\because$点$A$的纵坐标为$\dfrac{6}{m}$,$\therefore \dfrac{6}{m}=\dfrac{3}{x},\therefore x=\dfrac{1}{2}m,\therefore A(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{6}{m})$.$\because$四边形$ABCD$是长方形,$OB:BC=1:2$,$\therefore ∠ DCO=90°$,$B(\dfrac{1}{2}m,0),C(\dfrac{3}{2}m,0),D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{6}{m})$,$\therefore OB=\dfrac{1}{2}m,OC=\dfrac{3}{2}m,CD=\dfrac{6}{m}$,$\therefore S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· OC· CD=\dfrac{1}{2}× \dfrac{3}{2}m× \dfrac{6}{m}=\dfrac{9}{2}$.
(3) 如图,连接$BD$,$\because$四边形$ABCD$是长方形,$\therefore ∠ BAD=90°,AB=CD,AD=BC$.$\because ∠ ABD=45°$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$,$\therefore AB=AD$.$\because OB=\dfrac{1}{2}m,OC=\dfrac{3}{2}m,CD=\dfrac{6}{m}$,$\therefore AB=CD=\dfrac{6}{m},AD=BC=\dfrac{3}{2}m-\dfrac{1}{2}m=m$,$\therefore \dfrac{6}{m}=m$,$\therefore m^2=6$,$\therefore m_1=\sqrt{6},m_2=-\sqrt{6}$.$\because m＞0$,$\therefore m=\sqrt{6}$.

【分析】
(1) 求k值可直接利用待定系数法，将已知点(1,3)代入反比例函数解析式计算即可，是反比例函数的基础应用。
(2) 求△OCD的面积，先结合k值得到反比例函数解析式，代入A点纵坐标求出A点横坐标，得到OB长度；再根据OB:BC=1:2的比例关系和长方形对边相等、四个角为直角的性质，得到OC、CD的长度，最后代入三角形面积公式计算即可，计算时m会自行消去。
(3) 求m的值，连接BD后，结合矩形性质和∠ABD=45°可推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=AD的等量关系，再将AB、AD用含m的式子表示后列方程求解，最后根据m的实际意义舍去负根即可。
【解析】
(1) $\because$点$(1,3)$在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$将$x=1,y=3$代入解析式得：$3=\dfrac{k}{1}$，
解得$k=3$。
(2) $\because k=3$，$\therefore$反比例函数解析式为$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$。
$\because$点A在反比例函数图象上，且A的纵坐标为$\dfrac{6}{m}$，
$\therefore$将$y=\dfrac{6}{m}$代入$y=\dfrac{3}{x}$得：$\dfrac{6}{m}=\dfrac{3}{x}$，解得$x=\dfrac{1}{2}m$，即$A(\dfrac{1}{2}m,\dfrac{6}{m})$。
$\because$四边形$ABCD$是长方形，边$BC$在$x$轴上，$OB:BC=1:2$，
$\therefore ∠ DCO=90°$，$B(\dfrac{1}{2}m,0)$，$BC=2OB=m$，
$\therefore OC=OB+BC=\dfrac{3}{2}m$，$CD=AB=\dfrac{6}{m}$，即$C(\dfrac{3}{2}m,0)$，$D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{6}{m})$。
$\therefore S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· OC· CD=\dfrac{1}{2}× \dfrac{3}{2}m× \dfrac{6}{m}=\dfrac{9}{2}$。
(3) 如图，连接$BD$，
$\because$四边形$ABCD$是长方形，$\therefore ∠ BAD=90°,AB=CD,AD=BC$。
$\because ∠ ABD=45°$，$\therefore ∠ ADB=90°-∠ABD=45°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$，$\therefore AB=AD$。
由(2)可知：$AB=CD=\dfrac{6}{m}$，$AD=BC=m$，
$\therefore \dfrac{6}{m}=m$，整理得$m^2=6$，
解得$m_1=\sqrt{6},m_2=-\sqrt{6}$。
$\because$反比例函数自变量$x＞0$，即$\dfrac{1}{2}m＞0$，$\therefore m＞0$，
$\therefore m=\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $S_{△OCD}=\dfrac{9}{2}$；
(3) $m=\sqrt{6}$。

【知识点】
反比例函数的图象与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何综合的典型题型，既考查了待定系数法求函数解析式、坐标与线段的转化，也考查了几何图形性质的应用，解题核心是找到函数坐标和几何线段的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.65