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2. 在下列各问题中，其中函数关系为一次函数的有
① 正方形的面积$ S $与边长$ x $的函数关系；
② 面积为常数的长方形的长与宽之间的函数关系；
③ 一本500页的书，每天看15页，$ x $天后尚未看的页数与天数之间的函数关系；
④ 一年期的存款利率为$ a $，到期后的利息与存入金额之间的函数关系.
2
个，正比例函数有1
个，反比例函数有1
个.① 正方形的面积$ S $与边长$ x $的函数关系；
② 面积为常数的长方形的长与宽之间的函数关系；
③ 一本500页的书，每天看15页，$ x $天后尚未看的页数与天数之间的函数关系；
④ 一年期的存款利率为$ a $，到期后的利息与存入金额之间的函数关系.
答案
2 1 1
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数、正比例函数、反比例函数的定义，再依次写出4个问题对应的函数关系式，结合定义逐一判断所属函数类型，最后统计对应函数的个数即可。
【解析】
首先明确三类函数的定义：
一次函数：形如$y=kx+b$（$k\ne0$，$k$、$b$为常数）的函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne0$）为正比例函数，是特殊的一次函数；
反比例函数：形如$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$，$k$为常数）的函数。
逐个分析4个问题：
① 正方形面积$S=x^2$，是二次函数，不属于题干要求的三类函数；
② 设长方形面积为常数$S$，长为$y$，宽为$x$，则$y=\frac{S}{x}$（$S\ne0$），属于反比例函数；
③ 设$x$天后尚未看的页数为$y$，则$y=500-15x$，即$y=-15x+500$，符合一次函数定义，属于一次函数；
④ 设存入金额为$x$，到期利息为$y$，则$y=ax$（$a\ne0$），符合正比例函数定义，属于正比例函数，也属于一次函数。
综上，一次函数有③、④共2个，正比例函数有④共1个，反比例函数有②共1个。
【答案】
2；1；1
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题重点考查三类基本函数的定义辨析，解题的核心是先根据实际问题的数量关系列出函数表达式，再对照定义判断，需注意正比例函数属于特殊的一次函数，统计一次函数个数时不要漏算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一次函数、正比例函数、反比例函数的定义，再依次写出4个问题对应的函数关系式，结合定义逐一判断所属函数类型，最后统计对应函数的个数即可。
【解析】
首先明确三类函数的定义：
一次函数：形如$y=kx+b$（$k\ne0$，$k$、$b$为常数）的函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k\ne0$）为正比例函数，是特殊的一次函数；
反比例函数：形如$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$，$k$为常数）的函数。
逐个分析4个问题：
① 正方形面积$S=x^2$，是二次函数，不属于题干要求的三类函数；
② 设长方形面积为常数$S$，长为$y$，宽为$x$，则$y=\frac{S}{x}$（$S\ne0$），属于反比例函数；
③ 设$x$天后尚未看的页数为$y$，则$y=500-15x$，即$y=-15x+500$，符合一次函数定义，属于一次函数；
④ 设存入金额为$x$，到期利息为$y$，则$y=ax$（$a\ne0$），符合正比例函数定义，属于正比例函数，也属于一次函数。
综上，一次函数有③、④共2个，正比例函数有④共1个，反比例函数有②共1个。
【答案】
2；1；1
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题重点考查三类基本函数的定义辨析，解题的核心是先根据实际问题的数量关系列出函数表达式，再对照定义判断，需注意正比例函数属于特殊的一次函数，统计一次函数个数时不要漏算。
【难度系数】
0.7
3. 某中学要在校园内划出一块面积是$100\ \mathrm{m}^2$的矩形土地做花圃，若设这个矩形的相邻两边的长分别为$x\ \mathrm{m}$和$y\ \mathrm{m}$，则$y$关于$x$的函数解析式是
$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$
。答案
$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆矩形的面积计算公式：矩形面积等于相邻两边长的乘积。已知矩形面积固定为$100\ \mathrm{m}^2$，相邻两边长为$x$和$y$，我们可以先列出$x$与$y$的等量关系，再通过等式变形将$y$用含$x$的式子表示，最后结合实际问题中边长必须为正数的要求，确定自变量$x$的取值范围，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据矩形面积公式可得：
$xy=100$
将等式变形，把$y$单独整理到等号左侧，得：
$y=\dfrac{100}{x}$
由于$x$是矩形的边长，长度必须为正数，因此$x$的取值范围为$x＞0$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$。
【答案】
$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$
【知识点】
矩形面积计算、反比例函数解析式、自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握常见几何图形的面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写$x$的取值范围导致失分。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆矩形的面积计算公式：矩形面积等于相邻两边长的乘积。已知矩形面积固定为$100\ \mathrm{m}^2$，相邻两边长为$x$和$y$，我们可以先列出$x$与$y$的等量关系，再通过等式变形将$y$用含$x$的式子表示，最后结合实际问题中边长必须为正数的要求，确定自变量$x$的取值范围，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据矩形面积公式可得：
$xy=100$
将等式变形，把$y$单独整理到等号左侧，得：
$y=\dfrac{100}{x}$
由于$x$是矩形的边长，长度必须为正数，因此$x$的取值范围为$x＞0$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$。
【答案】
$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$
【知识点】
矩形面积计算、反比例函数解析式、自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在几何实际问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握常见几何图形的面积公式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏写$x$的取值范围导致失分。
【难度系数】
0.9
4. 当路程$s$一定时，速度$v$与时间$t$之间的函数关系是 （
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
B
）A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系，再结合各类函数的定义进行判断：第一步，根据路程、速度、时间的关系写出等式；第二步，将等式变形为用t表示v的形式；第三步，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义，判断v和t的函数类型即可。
【解析】
根据行程问题的基本公式可得：$s=vt$，
已知路程$s$一定，且$s＞0$，将等式变形为$v=\frac{s}{t}$，
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，本题中$s$是不为0的常数，符合反比例函数的形式，因此速度$v$与时间$t$是反比例函数关系。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，行程问题数量关系，函数类型判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，结合常见的行程场景设置问题，只要熟练掌握各类函数的定义和行程基本公式，就能快速得出答案，出错的原因多是混淆了正比例和反比例函数的定义。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系，再结合各类函数的定义进行判断：第一步，根据路程、速度、时间的关系写出等式；第二步，将等式变形为用t表示v的形式；第三步，对照正比例函数、反比例函数、一次函数的定义，判断v和t的函数类型即可。
【解析】
根据行程问题的基本公式可得：$s=vt$，
已知路程$s$一定，且$s＞0$，将等式变形为$v=\frac{s}{t}$，
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，本题中$s$是不为0的常数，符合反比例函数的形式，因此速度$v$与时间$t$是反比例函数关系。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，行程问题数量关系，函数类型判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，结合常见的行程场景设置问题，只要熟练掌握各类函数的定义和行程基本公式，就能快速得出答案，出错的原因多是混淆了正比例和反比例函数的定义。
【难度系数】
0.9
1. 学校有一块边长为10 m的正方形草地，现准备将它的一边增加x m，而另一相邻的边长减少2 m，改成长方形。改变后草地的周长C和面积S与x有什么关系？试写出相应的函数解析式。当x为多少时，周长与原来的一样？当x为多少时，面积与原来的一样？
答案
$C=2x+36$，$S=8x+80$；当$x=2$时，周长与原来一样，当$x=2.5$时，面积与原来的一样。
解析
【分析】
解题时首先确定改造后长方形的两条邻边长度：一条为增加x m后的(10+x)m，另一条为减少2 m后的8 m。接下来结合长方形周长、面积公式，分别推导周长C、面积S关于x的函数解析式；若要周长与原正方形相等，先计算原正方形周长，再令C等于原周长列一元一次方程求解即可；同理，若要面积与原正方形相等，先计算原正方形面积，令S等于原面积解方程即可得到对应的x值。
【解析】
1. 求函数解析式：
改造后长方形的长为$(10+x)\mathrm{m}$，宽为$10-2=8(\mathrm{m})$
根据长方形周长公式：$C=2×(长+宽)$，代入得：
$C=2[(10+x)+8]=2(18+x)=2x+36$
根据长方形面积公式：$S=长×宽$，代入得：
$S=(10+x)×8=8x+80$
2. 求周长和原来相等时的x值：
原正方形周长为$4×10=40(\mathrm{m})$
令$C=40$，即$2x+36=40$
解得：$2x=4$，$x=2$
3. 求面积和原来相等时的x值：
原正方形面积为$10×10=100(\mathrm{m}^2)$
令$S=100$，即$8x+80=100$
解得：$8x=20$，$x=2.5$
【答案】
$C=2x+36$，$S=8x+80$；当$x=2$时，周长与原来一样，当$x=2.5$时，面积与原来的一样。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，图形周长面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心是准确表示出改造后长方形的邻边长度，再结合对应公式列式计算，解题过程需要注意计算的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先确定改造后长方形的两条邻边长度：一条为增加x m后的(10+x)m，另一条为减少2 m后的8 m。接下来结合长方形周长、面积公式，分别推导周长C、面积S关于x的函数解析式；若要周长与原正方形相等，先计算原正方形周长，再令C等于原周长列一元一次方程求解即可；同理，若要面积与原正方形相等，先计算原正方形面积，令S等于原面积解方程即可得到对应的x值。
【解析】
1. 求函数解析式：
改造后长方形的长为$(10+x)\mathrm{m}$，宽为$10-2=8(\mathrm{m})$
根据长方形周长公式：$C=2×(长+宽)$，代入得：
$C=2[(10+x)+8]=2(18+x)=2x+36$
根据长方形面积公式：$S=长×宽$，代入得：
$S=(10+x)×8=8x+80$
2. 求周长和原来相等时的x值：
原正方形周长为$4×10=40(\mathrm{m})$
令$C=40$，即$2x+36=40$
解得：$2x=4$，$x=2$
3. 求面积和原来相等时的x值：
原正方形面积为$10×10=100(\mathrm{m}^2)$
令$S=100$，即$8x+80=100$
解得：$8x=20$，$x=2.5$
【答案】
$C=2x+36$，$S=8x+80$；当$x=2$时，周长与原来一样，当$x=2.5$时，面积与原来的一样。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，图形周长面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心是准确表示出改造后长方形的邻边长度，再结合对应公式列式计算，解题过程需要注意计算的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 某地区上年度每千瓦时电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将每千瓦时电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若每千瓦时电价调至x元，则本年度新增用电量y(单位：亿千瓦时)与$(x-0.4)$元成反比例，当$x=0.65$时，$y=0.8$.求y与x之间的函数解析式.
答案
$y=\dfrac{1}{5x-2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据题目中“y与$(x-0.4)$成反比例”的条件，结合反比例函数的定义，可设出带待定系数k的反比例函数解析式；再将已知的$x=0.65$、$y=0.8$代入所设解析式，求出待定系数k的值；最后将k代回解析式并化简，即可得到最终的函数解析式，同时注意自变量x的取值要符合题目给出的电价范围。
【解析】
解：
∵ 本年度新增用电量y（单位：亿千瓦时）与$(x-0.4)$元成反比例，
∴ 设$y=\dfrac{k}{x-0.4}$（$k≠0$）。
把$x=0.65$，$y=0.8$代入上述解析式，得：
$0.8=\dfrac{k}{0.65-0.4}$
计算分母得$0.65-0.4=0.25$，解得：
$k=0.8×0.25=0.2$
将$k=0.2$代入所设解析式，得：
$y=\dfrac{0.2}{x-0.4}$
对解析式化简，分子分母同乘10后约分：
$y=\dfrac{0.2×10}{10(x-0.4)}=\dfrac{2}{10x-4}=\dfrac{1}{5x-2}$
结合题意，x的取值范围为$0.55≤ x≤0.75$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{5x-2}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，解题关键是准确理解“两个量成反比例”的含义，正确设出带待定系数的函数解析式，代入已知条件计算即可，计算过程中注意解析式的化简，自变量取值要符合实际要求。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据题目中“y与$(x-0.4)$成反比例”的条件，结合反比例函数的定义，可设出带待定系数k的反比例函数解析式；再将已知的$x=0.65$、$y=0.8$代入所设解析式，求出待定系数k的值；最后将k代回解析式并化简，即可得到最终的函数解析式，同时注意自变量x的取值要符合题目给出的电价范围。
【解析】
解：
∵ 本年度新增用电量y（单位：亿千瓦时）与$(x-0.4)$元成反比例，
∴ 设$y=\dfrac{k}{x-0.4}$（$k≠0$）。
把$x=0.65$，$y=0.8$代入上述解析式，得：
$0.8=\dfrac{k}{0.65-0.4}$
计算分母得$0.65-0.4=0.25$，解得：
$k=0.8×0.25=0.2$
将$k=0.2$代入所设解析式，得：
$y=\dfrac{0.2}{x-0.4}$
对解析式化简，分子分母同乘10后约分：
$y=\dfrac{0.2×10}{10(x-0.4)}=\dfrac{2}{10x-4}=\dfrac{1}{5x-2}$
结合题意，x的取值范围为$0.55≤ x≤0.75$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{5x-2}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，解题关键是准确理解“两个量成反比例”的含义，正确设出带待定系数的函数解析式，代入已知条件计算即可，计算过程中注意解析式的化简，自变量取值要符合实际要求。
【难度系数】
0.8
