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3. 一个装有$12\ \mathrm{m}^3$水的水槽，如果从排水管中每小时流出$x$(单位：$\mathrm{m}^3$)的水，那么经过$y$(单位：h)就可以把水放完.
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2) 当$x=6$时，求$y$的值.
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2) 当$x=6$时，求$y$的值.
答案
(1) $y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$ (2) 2
解析
【分析】
解题思路：(1) 首先根据排水问题的基本等量关系：总水量=每小时排水量×排水时间，结合已知总水量为12$\mathrm{m}^3$，列出关于x、y的等式，再变形为y关于x的函数形式，同时结合实际意义确定x的取值范围；(2) 第二问直接将x=6代入第一问求出的函数解析式中，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 由题意可知，排水总量等于每小时排水量乘以排水时间，因此有：
$\boldsymbol{xy=12}$
将等式变形为用x表示y的形式，可得：
$y=\dfrac{12}{x}$
结合实际意义，每小时排水量x不能为负数或0，因此x的取值范围是$x＞0$
即y与x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$
(2) 当$x=6$时，将其代入$y=\dfrac{12}{x}$中计算：
$y=\dfrac{12}{6}=2$
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$ (2) 2
【知识点】
反比例函数应用；函数解析式求解；代入求函数值
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住不变的总水量列出等量关系，要特别注意实际问题中自变量的取值范围必须符合现实意义，是巩固反比例函数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题思路：(1) 首先根据排水问题的基本等量关系：总水量=每小时排水量×排水时间，结合已知总水量为12$\mathrm{m}^3$，列出关于x、y的等式，再变形为y关于x的函数形式，同时结合实际意义确定x的取值范围；(2) 第二问直接将x=6代入第一问求出的函数解析式中，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 由题意可知，排水总量等于每小时排水量乘以排水时间，因此有：
$\boldsymbol{xy=12}$
将等式变形为用x表示y的形式，可得：
$y=\dfrac{12}{x}$
结合实际意义，每小时排水量x不能为负数或0，因此x的取值范围是$x＞0$
即y与x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$
(2) 当$x=6$时，将其代入$y=\dfrac{12}{x}$中计算：
$y=\dfrac{12}{6}=2$
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$ (2) 2
【知识点】
反比例函数应用；函数解析式求解；代入求函数值
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住不变的总水量列出等量关系，要特别注意实际问题中自变量的取值范围必须符合现实意义，是巩固反比例函数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
4. 眼镜度数$ y $(单位：度)与镜片焦距$ x $(单位：m)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，求眼镜度数$ y $与镜片焦距$ x $之间的函数解析式.
答案
$y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0)$
解析
【分析】
已知眼镜度数$y$和镜片焦距$x$成反比例关系，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时先设出该解析式，再将题目给出的$x、y$的对应值代入，求出常数$k$的值，最后结合镜片焦距的实际意义，确定自变量$x$的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 眼镜度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=0.25$，$y=400$代入解析式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=400×0.25=100$。
将$k=100$代入所设解析式，结合镜片焦距为正数的实际要求，最终得到函数解析式。
【答案】
$ y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0) $
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在生活中的基础应用，核心考查反比例函数的概念和待定系数法的运用，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不要漏写限制条件。
【难度系数】
0.8
已知眼镜度数$y$和镜片焦距$x$成反比例关系，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时先设出该解析式，再将题目给出的$x、y$的对应值代入，求出常数$k$的值，最后结合镜片焦距的实际意义，确定自变量$x$的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 眼镜度数$y$与镜片焦距$x$成反比例，
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=0.25$，$y=400$代入解析式，得：
$400=\frac{k}{0.25}$
解得$k=400×0.25=100$。
将$k=100$代入所设解析式，结合镜片焦距为正数的实际要求，最终得到函数解析式。
【答案】
$ y=\dfrac{100}{x}\ (x＞0) $
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在生活中的基础应用，核心考查反比例函数的概念和待定系数法的运用，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，不要漏写限制条件。
【难度系数】
0.8
5. 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，我们观察到$x$的值由4增加到6时，$y$的值减少了3. 和同学们交流一下，你能求出函数解析式吗？若能，请求出解析式；若不能，请说明理由.
答案
能，设图象上两点坐标分别为$(4,y),(6,y-3)$，代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$\begin{cases}y=\dfrac{k}{4},\\y-3=\dfrac{k}{6},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=36,\\y=9.\end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{36}{x}$
解析
【分析】
要确定反比例函数解析式，只需求出常数$k$的值即可。我们知道反比例函数图象上的点的坐标都满足$y=\frac{k}{x}$，题目中给出$x$取4和6时，对应的$y$值相差3，因此可以设$x=4$时对应的函数值为$y$，则$x=6$时对应的函数值为$y-3$，将两组坐标分别代入反比例函数解析式，就能得到关于$k$和$y$的二元一次方程组，解方程组求出$k$即可得到函数解析式。
【解析】
能求出函数解析式，解题步骤如下：
设当$x=4$时，对应的函数值为$y$，则当$x=6$时，对应的函数值为$y-3$。
将两点$(4,y)$、$(6,y-3)$分别代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得方程组：
$\begin{cases}y=\dfrac{k}{4} \\y-3=\dfrac{k}{6}\end{cases}$
把第一个方程$y=\dfrac{k}{4}$代入第二个方程，得：
$\dfrac{k}{4} - 3 = \dfrac{k}{6}$
两边同时乘12去分母，得$3k - 36 = 2k$，解得$k=36$。
将$k=36$代入$y=\dfrac{k}{4}$，得$y=9$，验证符合题意。
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{36}{x}$。
【答案】
能，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{36}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求反比例函数解析式
3.解二元一次方程组
【点评】
本题考查反比例函数解析式的求解，属于基础题型，解题关键是抓住函数图象上的点满足函数解析式这一性质，结合题目给出的变量变化关系列方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要确定反比例函数解析式，只需求出常数$k$的值即可。我们知道反比例函数图象上的点的坐标都满足$y=\frac{k}{x}$，题目中给出$x$取4和6时，对应的$y$值相差3，因此可以设$x=4$时对应的函数值为$y$，则$x=6$时对应的函数值为$y-3$，将两组坐标分别代入反比例函数解析式，就能得到关于$k$和$y$的二元一次方程组，解方程组求出$k$即可得到函数解析式。
【解析】
能求出函数解析式，解题步骤如下：
设当$x=4$时，对应的函数值为$y$，则当$x=6$时，对应的函数值为$y-3$。
将两点$(4,y)$、$(6,y-3)$分别代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得方程组：
$\begin{cases}y=\dfrac{k}{4} \\y-3=\dfrac{k}{6}\end{cases}$
把第一个方程$y=\dfrac{k}{4}$代入第二个方程，得：
$\dfrac{k}{4} - 3 = \dfrac{k}{6}$
两边同时乘12去分母，得$3k - 36 = 2k$，解得$k=36$。
将$k=36$代入$y=\dfrac{k}{4}$，得$y=9$，验证符合题意。
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{36}{x}$。
【答案】
能，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{36}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求反比例函数解析式
3.解二元一次方程组
【点评】
本题考查反比例函数解析式的求解，属于基础题型，解题关键是抓住函数图象上的点满足函数解析式这一性质，结合题目给出的变量变化关系列方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.75
1. 若$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都是反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的图象上的点，并且$x_1＜0＜x_2＜x_3$，则下列各式正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
B
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，先根据反比例函数的比例系数k的符号，判断函数图象所在象限及增减性；第二步，根据三个点横坐标的正负，确定点所在的象限，不同象限的点先判断y值的正负：第二象限的点y值为正，第四象限的点y值为负，由此可先确定y1是正数，比y2、y3都大；第三步，同象限内的点结合函数增减性比较y值大小，第四象限内y随x增大而增大，结合x2＜x3可得y2＜y3，最终就能推出三个y值的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，比例系数$k=-1＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜0$，
∴点$(x_1,y_1)$在第二象限，故$y_1＞0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$在第四象限，故$y_2＜0$，$y_3＜0$。
又
∵第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得：$y_2＜y_3＜y_1$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不能直接跨象限用增减性比较函数值大小，解题时要先判断点所在象限，先区分y值的正负，再比较同象限内的函数值大小。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，先根据反比例函数的比例系数k的符号，判断函数图象所在象限及增减性；第二步，根据三个点横坐标的正负，确定点所在的象限，不同象限的点先判断y值的正负：第二象限的点y值为正，第四象限的点y值为负，由此可先确定y1是正数，比y2、y3都大；第三步，同象限内的点结合函数增减性比较y值大小，第四象限内y随x增大而增大，结合x2＜x3可得y2＜y3，最终就能推出三个y值的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，比例系数$k=-1＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$x_1＜0$，
∴点$(x_1,y_1)$在第二象限，故$y_1＞0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$在第四象限，故$y_2＜0$，$y_3＜0$。
又
∵第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得：$y_2＜y_3＜y_1$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不能直接跨象限用增减性比较函数值大小，解题时要先判断点所在象限，先区分y值的正负，再比较同象限内的函数值大小。
【难度系数】
0.7
