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2. 如图，A，B是函数$y=\frac{1}{x}$的图象上关于原点对称的任意两点，AC//y轴，交x轴于点C，BD//y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（
A.$S=1$
B.$S=2$
C.$1＜S＜2$
D.$S＞2$
B
）A.$S=1$
B.$S=2$
C.$1＜S＜2$
D.$S＞2$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 利用反比例函数解析式的特点，设出点A的坐标，再根据A、B关于原点对称的性质得到点B的坐标；2. 结合AC//y轴、BD//y轴的条件，得出点C、D的坐标；3. 将四边形ADBC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积之和，两个三角形同底为CD，高分别为AC、BD的长度，代入计算即可求出总面积。
【解析】
设点A的坐标为$(x,\frac{1}{x})$（$x＞0$），
∵A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为$(-x,-\frac{1}{x})$，
∵AC//y轴，交x轴于C，BD//y轴，交x轴于D，
∴$C(x,0)$，$D(-x,0)$，
∴$CD=x-(-x)=2x$，$AC=\frac{1}{x}$，$BD=\left|-\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}$，
四边形ADBC的面积$S=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD× AC=\frac{1}{2}× 2x× \frac{1}{x}=1$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}× 2x× \frac{1}{x}=1$，
∴$S=1+1=2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的性质；坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，解题的核心是利用坐标法将几何图形的边长、面积转化为代数运算，拆分不规则四边形为规则三角形计算面积的方法是这类题的常用技巧，熟练掌握反比例函数和中心对称的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 利用反比例函数解析式的特点，设出点A的坐标，再根据A、B关于原点对称的性质得到点B的坐标；2. 结合AC//y轴、BD//y轴的条件，得出点C、D的坐标；3. 将四边形ADBC的面积拆分为△ACD和△BCD的面积之和，两个三角形同底为CD，高分别为AC、BD的长度，代入计算即可求出总面积。
【解析】
设点A的坐标为$(x,\frac{1}{x})$（$x＞0$），
∵A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为$(-x,-\frac{1}{x})$，
∵AC//y轴，交x轴于C，BD//y轴，交x轴于D，
∴$C(x,0)$，$D(-x,0)$，
∴$CD=x-(-x)=2x$，$AC=\frac{1}{x}$，$BD=\left|-\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}$，
四边形ADBC的面积$S=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}$，
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD× AC=\frac{1}{2}× 2x× \frac{1}{x}=1$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× BD=\frac{1}{2}× 2x× \frac{1}{x}=1$，
∴$S=1+1=2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的性质；坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，解题的核心是利用坐标法将几何图形的边长、面积转化为代数运算，拆分不规则四边形为规则三角形计算面积的方法是这类题的常用技巧，熟练掌握反比例函数和中心对称的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的$\frac{2}{3}$，如果按如图所示放置在桌面上对桌面的压强为 200 Pa，那么翻过来放，对桌面的压强是多少帕？
答案
设下底的面积为$S_0$，则上底的面积为$\dfrac{2}{3}S_0$。由$p=\dfrac{F}{S}$且$S=S_0$时，$p=200$，$\therefore F=pS=200S_0$。$\because$ 是同一物体，$\therefore F=200S_0$是定值。$\therefore$ 当$S=\dfrac{2}{3}S_0$时，$p=\dfrac{F}{S}=\dfrac{200S_0}{\dfrac{2}{3}S_0}=300(\mathrm{Pa})$。$\therefore$ 当把圆台翻过来放时，对桌面的压强是300 Pa。
解析
【分析】
解本题的核心是明确压强公式中各量的关系：同一圆台放置在桌面上，对桌面的压力等于自身重力，是固定值，因此压强与受力面积成反比例关系。首先利用正放时的压强和下底面积求出压力大小，再将翻过来后的上底面积代入公式，即可求出对应的压强。
【解析】
设下底的面积为$S_0$，则上底的面积为$\dfrac{2}{3}S_0$。
由压强公式$p=\dfrac{F}{S}$，正放时$S=S_0$，$p=200\mathrm{Pa}$，可得压力：
$F=pS=200S_0$
同一物体重力不变，因此对桌面的压力$F=200S_0$为定值。
翻过来放置时，受力面积$S'=\dfrac{2}{3}S_0$，此时压强：
$p'=\dfrac{F}{S'}=\dfrac{200S_0}{\dfrac{2}{3}S_0}=300(\mathrm{Pa})$
【答案】
300 Pa
【知识点】
反比例函数应用，压强公式，压力的性质
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，将数学的反比例函数知识与物理的压强计算结合，解题关键是抓住压力不变这一不变量，明确压强与受力面积的反比例关系，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.7
解本题的核心是明确压强公式中各量的关系：同一圆台放置在桌面上，对桌面的压力等于自身重力，是固定值，因此压强与受力面积成反比例关系。首先利用正放时的压强和下底面积求出压力大小，再将翻过来后的上底面积代入公式，即可求出对应的压强。
【解析】
设下底的面积为$S_0$，则上底的面积为$\dfrac{2}{3}S_0$。
由压强公式$p=\dfrac{F}{S}$，正放时$S=S_0$，$p=200\mathrm{Pa}$，可得压力：
$F=pS=200S_0$
同一物体重力不变，因此对桌面的压力$F=200S_0$为定值。
翻过来放置时，受力面积$S'=\dfrac{2}{3}S_0$，此时压强：
$p'=\dfrac{F}{S'}=\dfrac{200S_0}{\dfrac{2}{3}S_0}=300(\mathrm{Pa})$
【答案】
300 Pa
【知识点】
反比例函数应用，压强公式，压力的性质
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，将数学的反比例函数知识与物理的压强计算结合，解题关键是抓住压力不变这一不变量，明确压强与受力面积的反比例关系，就能顺利求出结果。
【难度系数】
0.7
4. 量筒内一定体积的水，它的高度$h$（单位：$\mathrm{cm}$）与量筒的截面积$S$（单位：$\mathrm{cm}^2$）成反比例函数.
（1）当体积为$1\ \mathrm{cm}^3$时，求$h$与$S$之间的函数解析式；
（2）当把$1\ \mathrm{cm}^3$的水滴入截面积分别为$1\ \mathrm{cm}^2$，$5\ \mathrm{cm}^2$的量筒中，量筒中液面的高度分别为多少厘米？
（3）你认为（2）中体积相同而截面积不同的两种量筒中哪种量筒读数时更方便？
（1）当体积为$1\ \mathrm{cm}^3$时，求$h$与$S$之间的函数解析式；
（2）当把$1\ \mathrm{cm}^3$的水滴入截面积分别为$1\ \mathrm{cm}^2$，$5\ \mathrm{cm}^2$的量筒中，量筒中液面的高度分别为多少厘米？
（3）你认为（2）中体积相同而截面积不同的两种量筒中哪种量筒读数时更方便？
答案
(1) $h=\dfrac{1}{S}$ (2) 当$S=1\ \mathrm{cm}^2$时，$h=1\ \mathrm{cm}$；当$S=5\ \mathrm{cm}^2$时，$h=0.2\ \mathrm{cm}$。(3) 截面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的量筒截面积小，读数更方便。
解析
【分析】
这道题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，解题思路清晰：1. 第一问先明确体积、截面积、高度的关系为$V=S· h$，题目已知h与S成反比例，且固定体积为$1\ \mathrm{cm}^3$，代入公式变形即可得到h关于S的函数解析式；2. 第二问是反比例函数的求值问题，把两个给定的S值分别代入第一问得到的解析式，就能算出对应的液面高度；3. 第三问结合实际读数的需求，液面高度越高，刻度间隔越大，读数误差越小，据此判断即可。
【解析】
（1）由体积计算公式可得$V = S· h$，已知$V=1\ \mathrm{cm}^3$，代入得$1 = S· h$，变形后得到h与S的函数解析式：$h=\dfrac{1}{S}\ (S＞0)$；
（2）把$S=1\ \mathrm{cm}^2$代入$h=\dfrac{1}{S}$，得$h=\dfrac{1}{1}=1\ \mathrm{cm}$；
把$S=5\ \mathrm{cm}^2$代入$h=\dfrac{1}{S}$，得$h=\dfrac{1}{5}=0.2\ \mathrm{cm}$；
（3）体积相同的情况下，量筒截面积越小，液面高度越高，刻度的间隔越大，读数时误差更小，因此截面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的量筒读数更方便。
【答案】
(1) $h=\dfrac{1}{S}$
(2) 当$S=1\ \mathrm{cm}^2$时，$h=1\ \mathrm{cm}$；当$S=5\ \mathrm{cm}^2$时，$h=0.2\ \mathrm{cm}$
(3) 截面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的量筒读数更方便
【知识点】
反比例函数实际应用、反比例函数解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合量筒使用的生活场景考查反比例函数的基础内容，解题核心是找准数量关系建立反比例函数模型，能将数学结论和实际应用结合分析，整体考查偏向基础，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
这道题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，解题思路清晰：1. 第一问先明确体积、截面积、高度的关系为$V=S· h$，题目已知h与S成反比例，且固定体积为$1\ \mathrm{cm}^3$，代入公式变形即可得到h关于S的函数解析式；2. 第二问是反比例函数的求值问题，把两个给定的S值分别代入第一问得到的解析式，就能算出对应的液面高度；3. 第三问结合实际读数的需求，液面高度越高，刻度间隔越大，读数误差越小，据此判断即可。
【解析】
（1）由体积计算公式可得$V = S· h$，已知$V=1\ \mathrm{cm}^3$，代入得$1 = S· h$，变形后得到h与S的函数解析式：$h=\dfrac{1}{S}\ (S＞0)$；
（2）把$S=1\ \mathrm{cm}^2$代入$h=\dfrac{1}{S}$，得$h=\dfrac{1}{1}=1\ \mathrm{cm}$；
把$S=5\ \mathrm{cm}^2$代入$h=\dfrac{1}{S}$，得$h=\dfrac{1}{5}=0.2\ \mathrm{cm}$；
（3）体积相同的情况下，量筒截面积越小，液面高度越高，刻度的间隔越大，读数时误差更小，因此截面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的量筒读数更方便。
【答案】
(1) $h=\dfrac{1}{S}$
(2) 当$S=1\ \mathrm{cm}^2$时，$h=1\ \mathrm{cm}$；当$S=5\ \mathrm{cm}^2$时，$h=0.2\ \mathrm{cm}$
(3) 截面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的量筒读数更方便
【知识点】
反比例函数实际应用、反比例函数解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合量筒使用的生活场景考查反比例函数的基础内容，解题核心是找准数量关系建立反比例函数模型，能将数学结论和实际应用结合分析，整体考查偏向基础，注重知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. 反比例函数$y=\frac{4}{x}$在第一象限内的图象如图所示，$P_1,P_2$是图象上的两个动点，过点$P_1$，$P_2$分别作$x$轴的垂线，垂足分别为$D_1,D_2$，试比较$S_{△ OP_1Q}$与$S_{四边形QD_1D_2P_2}$的大小。
答案
$\because S_{△ OP_1D_1}=\dfrac{1}{2}OD_1· P_1D_1=\dfrac{1}{2}|k|=2$，$S_{△ OP_2D_2}=\dfrac{1}{2}OD_2· P_2D_2=\dfrac{1}{2}|k|=2$，$\therefore S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_1Q}+S_{△ QD_1}$，$S_{△ OP_2D_2}=S_{△ OQD_1}+S_{四边形QD_1D_2P_2}$。$\because S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_2D_2}$，$\therefore S_{△ OP_1Q}=S_{四边形QD_1D_2P_2}$。
解析
【分析】
要比较$△ OP_1Q$和四边形$QD_1D_2P_2$的面积大小，首先回忆反比例函数的性质：过反比例函数图象上任意一点向$x$轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，据此可先求出$△ OP_1D_1$和$△ OP_2D_2$的面积，发现二者相等；再观察两个三角形的面积组成，二者都包含公共部分$△ OQD_1$，将两个相等的面积同时减去公共部分的面积，剩余部分的面积仍然相等，剩余部分恰好是要比较的两个图形的面积，即可得出结论。
【解析】
解：
∵点$P_1$、$P_2$都在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的第一象限图象上，
根据反比例函数$k$的几何意义，可得：
$S_{△ OP_1D_1}=\dfrac{1}{2}OD_1· P_1D_1=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，
$S_{△ OP_2D_2}=\dfrac{1}{2}OD_2· P_2D_2=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_2D_2}$。
又
∵$S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_1Q}+S_{△ OQD_1}$，
$S_{△ OP_2D_2}=S_{△ OQD_1}+S_{四边形QD_1D_2P_2}$，
两个等式同时减去公共部分$S_{△ OQD_1}$，可得：
$S_{△ OP_1Q}=S_{四边形QD_1D_2P_2}$。
【答案】
$\boldsymbol{S_{△ OP_1Q}=S_{四边形QD_1D_2P_2}}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义；2.面积和差关系
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型考法，解题核心是利用反比例函数$k$的几何意义得到两个等面积的直角三角形，再通过减去公共面积简化比较过程，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
要比较$△ OP_1Q$和四边形$QD_1D_2P_2$的面积大小，首先回忆反比例函数的性质：过反比例函数图象上任意一点向$x$轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，据此可先求出$△ OP_1D_1$和$△ OP_2D_2$的面积，发现二者相等；再观察两个三角形的面积组成，二者都包含公共部分$△ OQD_1$，将两个相等的面积同时减去公共部分的面积，剩余部分的面积仍然相等，剩余部分恰好是要比较的两个图形的面积，即可得出结论。
【解析】
解：
∵点$P_1$、$P_2$都在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的第一象限图象上，
根据反比例函数$k$的几何意义，可得：
$S_{△ OP_1D_1}=\dfrac{1}{2}OD_1· P_1D_1=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，
$S_{△ OP_2D_2}=\dfrac{1}{2}OD_2· P_2D_2=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_2D_2}$。
又
∵$S_{△ OP_1D_1}=S_{△ OP_1Q}+S_{△ OQD_1}$，
$S_{△ OP_2D_2}=S_{△ OQD_1}+S_{四边形QD_1D_2P_2}$，
两个等式同时减去公共部分$S_{△ OQD_1}$，可得：
$S_{△ OP_1Q}=S_{四边形QD_1D_2P_2}$。
【答案】
$\boldsymbol{S_{△ OP_1Q}=S_{四边形QD_1D_2P_2}}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义；2.面积和差关系
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型考法，解题核心是利用反比例函数$k$的几何意义得到两个等面积的直角三角形，再通过减去公共面积简化比较过程，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
