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6. 已知长方形的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，它的长为$y\ \mathrm{cm}$，宽为$x\ \mathrm{cm}$.
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）当$x$分别为$1\ \mathrm{cm}$，$1.5\ \mathrm{cm}$，$2\ \mathrm{cm}$，$2.5\ \mathrm{cm}$时，求长方形的周长；
（3）这样的长方形的周长是否存在最小值？如果有，最小值是多少？如果没有，请说明理由.
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）当$x$分别为$1\ \mathrm{cm}$，$1.5\ \mathrm{cm}$，$2\ \mathrm{cm}$，$2.5\ \mathrm{cm}$时，求长方形的周长；
（3）这样的长方形的周长是否存在最小值？如果有，最小值是多少？如果没有，请说明理由.
答案
(1) $y=\dfrac{4}{x}$ (2) 当$x$分别为1 cm，1.5 cm，2 cm，2.5 cm时，长方形的周长分别为10 cm，$\dfrac{25}{3}$ cm，8 cm，$\dfrac{41}{5}$ cm。(3) 这样的长方形的周长存在最小值，最小值为8 cm。
解析
【分析】
（1）第一问可根据长方形面积公式“面积=长×宽”建立x与y的等量关系，变形后即可得到y关于x的函数解析式，注意x作为长方形的宽，取值范围为正数。
（2）第二问先写出长方形周长的计算公式，再将不同的x值和对应的y值（或直接代入第一问的函数式）代入周长公式计算即可。
（3）第三问可先将周长表示为关于x的代数式，再利用完全平方公式的非负性推导代数式的最小值，即可判断周长是否存在最小值及最小值的大小。
【解析】
（1）由长方形面积公式得：$x· y = 4$，整理得$y = \dfrac{4}{x}$，其中$x＞0$。
（2）长方形的周长$C = 2(x + y)$，将$y=\dfrac{4}{x}$代入得$C=2(x+\dfrac{4}{x})$。
当$x=1\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(1+\dfrac{4}{1})=10\ \mathrm{cm}$；
当$x=1.5\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(1.5+\dfrac{4}{1.5})=2×(\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{3})=\dfrac{25}{3}\ \mathrm{cm}$；
当$x=2\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(2+\dfrac{4}{2})=8\ \mathrm{cm}$；
当$x=2.5\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(2.5+\dfrac{4}{2.5})=2×(\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{5})=\dfrac{41}{5}\ \mathrm{cm}$。
（3）存在最小值，推导如下：
设长方形周长为$C$，则$C=2(x+\dfrac{4}{x})\ (x＞0)$。
根据完全平方公式的非负性：$(\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}})^2 ≥ 0$，展开得$x + \dfrac{4}{x} - 4 ≥ 0$，即$x+\dfrac{4}{x}≥ 4$，当且仅当$\sqrt{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$（即$x=2$）时等号成立。
因此$C=2(x+\dfrac{4}{x})≥ 2× 4=8\ \mathrm{cm}$，即周长的最小值为$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x}$
(2) 当$x$分别为1 cm，1.5 cm，2 cm，2.5 cm时，长方形的周长分别为10 cm，$\dfrac{25}{3}$ cm，8 cm，$\dfrac{41}{5}$ cm。
(3) 这样的长方形的周长存在最小值，最小值为8 cm。
【知识点】
反比例函数解析式求解；长方形周长与面积计算；完全平方公式的应用
【点评】
本题结合长方形的几何性质考查反比例函数的实际应用，同时融合了代数式最值的推导，既考查了基础公式的应用能力，也锻炼了代数与几何结合的综合解题思维。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可根据长方形面积公式“面积=长×宽”建立x与y的等量关系，变形后即可得到y关于x的函数解析式，注意x作为长方形的宽，取值范围为正数。
（2）第二问先写出长方形周长的计算公式，再将不同的x值和对应的y值（或直接代入第一问的函数式）代入周长公式计算即可。
（3）第三问可先将周长表示为关于x的代数式，再利用完全平方公式的非负性推导代数式的最小值，即可判断周长是否存在最小值及最小值的大小。
【解析】
（1）由长方形面积公式得：$x· y = 4$，整理得$y = \dfrac{4}{x}$，其中$x＞0$。
（2）长方形的周长$C = 2(x + y)$，将$y=\dfrac{4}{x}$代入得$C=2(x+\dfrac{4}{x})$。
当$x=1\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(1+\dfrac{4}{1})=10\ \mathrm{cm}$；
当$x=1.5\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(1.5+\dfrac{4}{1.5})=2×(\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{3})=\dfrac{25}{3}\ \mathrm{cm}$；
当$x=2\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(2+\dfrac{4}{2})=8\ \mathrm{cm}$；
当$x=2.5\ \mathrm{cm}$时，$C=2×(2.5+\dfrac{4}{2.5})=2×(\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{5})=\dfrac{41}{5}\ \mathrm{cm}$。
（3）存在最小值，推导如下：
设长方形周长为$C$，则$C=2(x+\dfrac{4}{x})\ (x＞0)$。
根据完全平方公式的非负性：$(\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}})^2 ≥ 0$，展开得$x + \dfrac{4}{x} - 4 ≥ 0$，即$x+\dfrac{4}{x}≥ 4$，当且仅当$\sqrt{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$（即$x=2$）时等号成立。
因此$C=2(x+\dfrac{4}{x})≥ 2× 4=8\ \mathrm{cm}$，即周长的最小值为$8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x}$
(2) 当$x$分别为1 cm，1.5 cm，2 cm，2.5 cm时，长方形的周长分别为10 cm，$\dfrac{25}{3}$ cm，8 cm，$\dfrac{41}{5}$ cm。
(3) 这样的长方形的周长存在最小值，最小值为8 cm。
【知识点】
反比例函数解析式求解；长方形周长与面积计算；完全平方公式的应用
【点评】
本题结合长方形的几何性质考查反比例函数的实际应用，同时融合了代数式最值的推导，既考查了基础公式的应用能力，也锻炼了代数与几何结合的综合解题思维。
【难度系数】
0.7
7. 一幢新建宾馆的建筑工程已完工，接下来要进行装修，总装修工程经预算需用18 000工作日.
（1）求装修的天数y（单位：天）与装修工人数x（单位：人）之间的函数解析式；
（2）工程队原有工人100人，由于业主希望赶在年前开业，要求工程队不超过150天内完成任务，那么工程队至少需增加多少个工人？
（1）求装修的天数y（单位：天）与装修工人数x（单位：人）之间的函数解析式；
（2）工程队原有工人100人，由于业主希望赶在年前开业，要求工程队不超过150天内完成任务，那么工程队至少需增加多少个工人？
答案
(1) $y=\dfrac{18000}{x}$ (2) 当$y=150$时，$x=120$。工程队至少需增加20个工人。
解析
【分析】
（1）本题核心等量关系为：总装修工作日=装修工人数×装修天数，已知总工作日固定为18000，因此装修天数和工人数成反比例关系，将等量关系变形即可得到函数解析式，注意工人数x为正整数。
（2）要求工期不超过150天，即y≤150，将该条件代入第一问得到的反比例函数解析式，结合k＞0时反比例函数x越大y越小的性质，解不等式求出最少需要的工人数，减去原有工人数即可得到需要增加的人数。
【解析】
（1）根据“总工作日=工人数×装修天数”可得：$x· y=18000$，其中x为正整数，变形后得函数解析式：
$y=\dfrac{18000}{x}$（x为正整数）
（2）由题意得装修天数满足$y≤150$，代入解析式得：
$\dfrac{18000}{x}≤150$
$\because x$代表人数，取值为正，不等式两边同时乘x不等号方向不变，可得：
$18000≤150x$
解得$x≥120$
原有工人100人，因此至少需要增加的人数为$120-100=20$人。
【答案】
(1) $y=\dfrac{18000}{x}$
(2) 工程队至少需增加20个工人。
【知识点】
反比例函数应用，解一元一次不等式，反比例函数性质
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是抓住总工作量不变的核心等量关系建立函数模型，难度适中，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）本题核心等量关系为：总装修工作日=装修工人数×装修天数，已知总工作日固定为18000，因此装修天数和工人数成反比例关系，将等量关系变形即可得到函数解析式，注意工人数x为正整数。
（2）要求工期不超过150天，即y≤150，将该条件代入第一问得到的反比例函数解析式，结合k＞0时反比例函数x越大y越小的性质，解不等式求出最少需要的工人数，减去原有工人数即可得到需要增加的人数。
【解析】
（1）根据“总工作日=工人数×装修天数”可得：$x· y=18000$，其中x为正整数，变形后得函数解析式：
$y=\dfrac{18000}{x}$（x为正整数）
（2）由题意得装修天数满足$y≤150$，代入解析式得：
$\dfrac{18000}{x}≤150$
$\because x$代表人数，取值为正，不等式两边同时乘x不等号方向不变，可得：
$18000≤150x$
解得$x≥120$
原有工人100人，因此至少需要增加的人数为$120-100=20$人。
【答案】
(1) $y=\dfrac{18000}{x}$
(2) 工程队至少需增加20个工人。
【知识点】
反比例函数应用，解一元一次不等式，反比例函数性质
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是抓住总工作量不变的核心等量关系建立函数模型，难度适中，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
8. 球迷协会组织150名球迷租乘汽车赴比赛场地为中国球队加油助威，租用了$y$辆限载客$x$人的汽车.
（1）写出$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）若租用的汽车限载客24人，需租多少辆车？
（3）若为了节省开支，只租了4辆限载客36人的汽车，那么还需安排多少人坐公交车赶赴比赛场地？
（4）若可租用的汽车有两种：一种每辆限载客18人，另一种每辆限载客12人，则有几种租车方案？（要求租用的车不超载，不留空座）
（1）写出$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）若租用的汽车限载客24人，需租多少辆车？
（3）若为了节省开支，只租了4辆限载客36人的汽车，那么还需安排多少人坐公交车赶赴比赛场地？
（4）若可租用的汽车有两种：一种每辆限载客18人，另一种每辆限载客12人，则有几种租车方案？（要求租用的车不超载，不留空座）
答案
(1) $y=\dfrac{150}{x}$ (2) 当$x=24$时，$y=6.25$，应租7辆车。(3) $150-4×36=6$(人)，$\therefore$ 还需安排6人去坐公交车。(4) 设租用限载客18人的汽车$m$辆，限载客12人的汽车$n$辆，则$18m+12n=150$，即$3m+2n=25$。则解有$(1,11),(3,8),(5,5),(7,2)$，共有4种租车方案。
解析
【分析】
本题是结合实际场景的函数与方程应用题，解题思路如下：
（1）根据“每辆车限载人数×租车数量=总球迷人数”的等量关系，代入已知总人数150，变形即可得到y与x的函数解析式，注意x为正整数；
（2）将x=24代入第一问得到的函数解析式，计算得y=6.25，由于车辆数必须为正整数，6辆车无法承载全部150人，因此需用进一法取整得到需要租车的数量；
（3）先计算4辆限载36人的汽车可承载的总人数，用总球迷人数减去该数值，即可得到需要乘坐公交的人数；
（4）设两种车型的租用数量分别为m、n（均为非负整数），根据总人数列二元一次方程，化简后根据m、n均为非负整数的要求枚举所有符合条件的解，解的个数即为租车方案数。
【解析】
（1）由题意得，总人数为150，故$x · y = 150$，变形得$y$与$x$的函数解析式为：$y=\dfrac{150}{x}$（$x$为正整数）；
（2）当$x=24$时，代入解析式得：$y=\dfrac{150}{24}=6.25$，
由于车辆数为正整数，6辆车仅可承载$6 × 24 = 144$人，剩余6人仍需1辆车，因此需租7辆车；
（3）4辆限载客36人的汽车可承载人数为：$4 × 36 = 144$人，
需乘坐公交的人数为：$150 - 144 = 6$人；
（4）设租用限载客18人的汽车$m$辆，限载客12人的汽车$n$辆，$m、n$均为非负整数，
由题意得：$18m + 12n = 150$，
两边同时除以6化简得：$3m + 2n = 25$，变形得$n = \dfrac{25 - 3m}{2}$，
由于$n$为非负整数，故$25 - 3m$需为非负偶数，即$m$为奇数且$3m ≤ 25$，
因此$m$可取1、3、5、7，对应$n$的值为11、8、5、2，
即符合条件的租车方案为$(1,11),(3,8),(5,5),(7,2)$，共4种。
【答案】
(1) $y=\dfrac{150}{x}$
(2) 需租7辆车
(3) 还需安排6人坐公交车
(4) 共有4种租车方案
【知识点】
反比例函数应用，二元一次方程整数解，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查数学知识的实际应用，解题时需特别注意实际问题中变量的取值范围要符合现实逻辑，避免出现车辆数为小数、负数的错误，整体难度适中，能有效锻炼学生的应用实践能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合实际场景的函数与方程应用题，解题思路如下：
（1）根据“每辆车限载人数×租车数量=总球迷人数”的等量关系，代入已知总人数150，变形即可得到y与x的函数解析式，注意x为正整数；
（2）将x=24代入第一问得到的函数解析式，计算得y=6.25，由于车辆数必须为正整数，6辆车无法承载全部150人，因此需用进一法取整得到需要租车的数量；
（3）先计算4辆限载36人的汽车可承载的总人数，用总球迷人数减去该数值，即可得到需要乘坐公交的人数；
（4）设两种车型的租用数量分别为m、n（均为非负整数），根据总人数列二元一次方程，化简后根据m、n均为非负整数的要求枚举所有符合条件的解，解的个数即为租车方案数。
【解析】
（1）由题意得，总人数为150，故$x · y = 150$，变形得$y$与$x$的函数解析式为：$y=\dfrac{150}{x}$（$x$为正整数）；
（2）当$x=24$时，代入解析式得：$y=\dfrac{150}{24}=6.25$，
由于车辆数为正整数，6辆车仅可承载$6 × 24 = 144$人，剩余6人仍需1辆车，因此需租7辆车；
（3）4辆限载客36人的汽车可承载人数为：$4 × 36 = 144$人，
需乘坐公交的人数为：$150 - 144 = 6$人；
（4）设租用限载客18人的汽车$m$辆，限载客12人的汽车$n$辆，$m、n$均为非负整数，
由题意得：$18m + 12n = 150$，
两边同时除以6化简得：$3m + 2n = 25$，变形得$n = \dfrac{25 - 3m}{2}$，
由于$n$为非负整数，故$25 - 3m$需为非负偶数，即$m$为奇数且$3m ≤ 25$，
因此$m$可取1、3、5、7，对应$n$的值为11、8、5、2，
即符合条件的租车方案为$(1,11),(3,8),(5,5),(7,2)$，共4种。
【答案】
(1) $y=\dfrac{150}{x}$
(2) 需租7辆车
(3) 还需安排6人坐公交车
(4) 共有4种租车方案
【知识点】
反比例函数应用，二元一次方程整数解，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查数学知识的实际应用，解题时需特别注意实际问题中变量的取值范围要符合现实逻辑，避免出现车辆数为小数、负数的错误，整体难度适中，能有效锻炼学生的应用实践能力。
【难度系数】
0.7
