1. 如图，点C是线段AB靠近点B的黄金分割点，则下列等式不正确的是（）


A.$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
B.$\frac{AC}{AB}\approx0.618$
C.$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$

1.D

2.如图，在$△ ABC$中，已知$AB=AC=3$，$BC=4$，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则$△ ADE$的面积为。

2. $10-4\sqrt{5}$ 【点拨】作$AH⊥BC$于点H.$\because AB=AC,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=2$. 在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$AH=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$.
$\because E$是边BC的“黄金分割”点，$\therefore BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC=2(\sqrt{5}-1)=2\sqrt{5}-2$.
$\therefore HE=BE-BH=2\sqrt{5}-2-2=2\sqrt{5}-4$.
同理可得$DH=2\sqrt{5}-4$.
$\therefore DE=4\sqrt{5}-8$.
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=10-4\sqrt{5}$.

3. 新考向数学文化 古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高165 cm，肚脐到脚底的长度为100 cm，为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为（）

A.3 cm
B.5 cm
C.7 cm
D.10 cm

3.B

4. 新趋势跨学科 黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且$AB// NP$,“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,若$NP=2\ \mathrm{cm}$,则BC的长为 cm（结果保留根号）.

4.$(\sqrt{5}-1)$

5. 新考法数形结合法 实数$a,n,m,b$满足$a＜n＜m＜b$,这四个数在数轴上对应的点分别为$A,N,M,B$(如).若$AM^2=BM· AB,BN^2=AN· AB$,则称$m$为$a,b$的“大黄金数”,$n$为$a,b$的“小黄金数”.当$b-a=2$时,$m-n=$.

5.$2\sqrt{5}-4$ 【点拨】由题意得$AB=b-a=2$,设$AM=x$,则$BM=2-x$,$\therefore x^2=2(2-x)$,解得$x_1=\sqrt{5}-1$,$x_2=-1-\sqrt{5}$(不合题意,舍去),$\therefore AM=\sqrt{5}-1$. 易知$AM=BN$,$\therefore BN=\sqrt{5}-1$. $\therefore MN=m-n=AM+BN-AB=2×(\sqrt{5}-1)-2=2\sqrt{5}-4$.

6.如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金分割点,且$AE＞EB$,以 AE 为边作正方形 AEHF,F 在 AD 上,延长 EH 交 CD 于点 I,连接 BF 交 EI于点 G,连接 BI,则$S_{△ BCI}:S_{△ FGH}$的值为.

6.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 【点拨】$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore BC=CD=DA=AB$. $\because$点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点,且$AE＞EB$,$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. $\because$四边形AEHF是正方形,$\therefore EH=HF=FA=AE$,$FH// AE$,
$\therefore$易证$△ FHG ∽ △ BEG$,$\therefore \frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$,$\therefore \frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$. 易知$∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$,
$\therefore$四边形BCIE是矩形,$\therefore IC=BE$,$\therefore S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC· IC}{\frac{1}{2}FH· HG}=\frac{AB· BE}{AE· HG}=\frac{BE}{AE}· \frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}× \frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

7. ★★ 新视角动手操作题 (1)在图①中按下列步骤作图:
第一步:过点 C 画 $CD⊥AC$,使 $CD=\frac{1}{2}AC$;
第二步:连接 AD,以点 D 为圆心,DC 的长为半径画弧,交 AD 于点 E;
第三步:以点 A 为圆心,AE 的长为半径画弧,交 AC 于点 B.
(2)在所画图中,点 B 是线段 AC 的黄金分割点吗?请说明理由.
(3)如果一等腰三角形的底边长与腰长的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫作黄金三角形.请你在图②中以线段 AB 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 ABC.(不写作法,保留作图痕迹)

7.【解】(1)
(2)点 B 是线段 AC 的黄金分割点.
理由:设$AC=a$,则$CD=\frac{1}{2}a$.
$\because DE=DC,\therefore DE=\frac{1}{2}a$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$,
$\therefore AE=AD-DE=\frac{\sqrt{5}}{2}a-\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$.
$\because AE=AB,\therefore AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$,即$AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AC$.
$\therefore$点 B 是线段 AC 的黄金分割点.
(3),$△ ABC$即为所求.