9. 如图,在△ABC中,AC=4,BC=2,点D是边AB上一点,CD将△ABC分成△ACD和△BCD,若△ACD是以AC为底的等腰三角形,且△BCD与△BAC相似,则CD的长为.

9.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 【点拨】$\because △ACD$是以AC为底的等腰三角形,
$\therefore AD=CD. \because △BCD$与$△BAC$相似,$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}.$设$CD=x,BD=y$,则$AD=x,\therefore AB=x+y. \therefore \frac{2}{x+y}=\frac{y}{2}=\frac{x}{4}. \therefore \begin{cases}xy+y^2=4,\\4y=2x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{4\sqrt{3}}{3},\\y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{cases}$(负值已舍去),
$\therefore CD=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

10. 如图，四边形ABCD，四边形CDEF，四边形EFGH是三个相连的正方形，连接AC，AF，AG。若∠BGA=18°，则∠BFA的度数为。

10.$27°$ 【点拨】如图,设正方形的边长是1,则$AB=BC=CF=FG=1$,
$\therefore CG=BF=2,BG=3.$
由勾股定理得$AC=\sqrt{2},AF=\sqrt{5},AG=\sqrt{10},$
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AF}{AG}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{AC}{CG}=\frac{AF}{AG}.\therefore △ACF∽ △GCA.$
$\therefore ∠1=∠FAC.$
$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠3=45°.\therefore ∠2+∠FAC=∠3=45°.$
$\therefore ∠1+∠2=45°.$
$\because ∠1=18°,$
$\therefore ∠2=45°-∠1=27°$,即$∠BFA=27°.$

11. 如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F，连接BF，如果$\frac{AF}{BF}=\frac{DF}{AD}$，求证：EF=EP。

11.【证明】如图,$\because$ 四边形ABCD为正方形,
$\therefore AB=AD,∠BAD=90°.$
$\because BE⊥AP,DF⊥AP,$
$\therefore ∠BEA=∠AFD=90°,$
$\therefore ∠1+∠2=∠2+∠3=90°,$
$\therefore ∠1=∠3.$
在$△ABE$和$△DAF$中,$\begin{cases}∠BEA=∠AFD,\\∠1=∠3,\\AB=DA,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌ △DAF,$
$\therefore BE=AF.$
又$\because \frac{AF}{BF}=\frac{DF}{AD},$
$\therefore \frac{BE}{BF}=\frac{DF}{AD},\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{BF}{AD},$
$\therefore$ 结合勾股定理易知$\frac{BE}{DF}=\frac{BF}{AD}=\frac{EF}{AF},$
$\therefore △BEF∽ △DFA,\therefore ∠4=∠3.$
又$\because ∠1=∠3,\therefore ∠4=∠1.$
$\because ∠1+∠APB=∠5+∠APB=90°,$
$\therefore ∠5=∠1,\therefore ∠4=∠5.$
$\because BE⊥EP,$
$\therefore$ 易得$△BEP≌ △BEF,$
$\therefore EF=EP.$

12. 我们把顶点都在格点上的三角形叫作格点三角形，如图①，△ABC就是格点三角形，设每个小正方形的边长均为1.
(1)在图②中，有格点D，E，再找一个格点P，使这三点所构成的△PDE与△ABC相似；
(2)在图③中，有格点M，N，再找一个格点Q，使这三点所构成的△QMN与△ABC相似，且△QMN的面积最大.

12.【解】(1)由题意得$AC=\sqrt{2},BC=2,AB=\sqrt{10},DE=2\sqrt{2}.$若$△PDE∽ △ABC$,则$DE:BC=PE:AC=PD:AB$,即$2\sqrt{2}:2=PE:\sqrt{2} = PD:\sqrt{10}.\therefore PE=2,PD=2\sqrt{5}.$如图①,点P即为所求.(答案不唯一)

(2)由题意,得$MN=4.$若$△QMN$的面积最大,则MN与AC对应,则$MN:AC=QM:BC=QN:AB=4:\sqrt{2}=2\sqrt{2}:1.$
$\because BC=2,AB=\sqrt{10},\therefore QM=4\sqrt{2},QN=4\sqrt{5}.$
如图②,点Q即为所求.