1. 如图，已知 $ l_1 // l_2 // l_3 $，直线 $ l_1, l_2, l_3 $ 分别交直线 $ l_4 $ 于点 $ A,B,C $，交直线 $ l_5 $ 于点 $ D,E,F $，那么下列比例式正确的是 （）

A.$ \frac{AC}{BC} = \frac{DF}{EF} $
B.$ \frac{AB}{DE} = \frac{BE}{AD} $
C.$ \frac{AB}{BC} = \frac{DF}{EF} $
D.$ \frac{DF}{EF} = \frac{CF}{BE} $

1.A

2. 新趋势跨学科 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上。若线段$AB=3$，则线段$BC$的长是（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$

2.C 【点拨】如图，过点 A 作平行横线的垂线，交点 B 所在的平行横线于点 D，交点 C 所在的平行横线于点 E，则$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{3}{BC}=2$，解得$BC=\frac{3}{2}$。

3.如图,四条平行直线$l_1,l_2,l_3,l_4$被直线$l_5,l_6$所截，$AB:BC:CD=1:2:3$，若$FG=3$，则线段$EF$和线段$GH$的长度之和是。

3.6 【点拨】$\because l_1// l_2// l_3,\therefore EF:FG=AB:BC.$ 又$\because FG=3,\therefore EF:3=1:2,$解得$EF=\frac{3}{2}.\because l_2// l_3// l_4,\therefore FG:GH=BC:CD,$即$3:GH=2:3,$解得$GH=\frac{9}{2},$则线段EF和线段GH的长度之和为$\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6.$

4. 新视角操作题 在$△ ABC$中，点$M$在边$AB$上，且$AM=\dfrac{2}{5}AB$，根据如图所示的作图痕迹，一定可以推出的结论是（）

A.$\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{3}{5}$

4.A

5.[2025河南]如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

5.B 【点拨】如图，取格点G,H,由网格的性质可知，$EG// CH,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{AE}{AC}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\therefore D,E$分别是AB,AC的中点，$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=1,$故选B。

6. 新考法 等比转换法 如图，$DE// BC$，$EF// CG$，$AD:AB=1:3$，$AE=4$。
(1)求$EC$的值；
(2)求证:$AD· AG=AF· AB$。

6.(1)【解】$\because DE// BC,\therefore AE:AC=AD:AB.$
$\because AD:AB=1:3,AE=4,\therefore 4:AC=1:3,\therefore AC=12,$
$\therefore EC=AC-AE=12-4=8.$
(2)【证明】$\because EF// CG,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AG}.$
又$\because \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB},\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG},$
$\therefore AD· AG=AF· AB.$

7.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线$l_1,l_3,l_4$，$l_2$上，若直线$l_1// l_2// l_3$且相邻两直线间距离相等。若$AB=6$，$BC=4$，则$l_2,l_3$之间的距离为 （）

A.5
B.$\frac{6}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

7.C 【点拨】过A点作$AN⊥ l_3$于点N,交$l_2$于点M,如图.$\because$在矩形ABCD中,$BC=4,\therefore AD=BC=4,∠ BAD=90°.$ $\because$直线$l_1// l_2// l_3$且相邻两直线间距离相等,$AN⊥ l_3,\therefore AM=NM,\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AM}{NM}=1.$
$\because AB=6,\therefore AE=EB=\frac{1}{2}AB=3,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ EAD$中,$ED=\sqrt{AE^2+AD^2}=$
$\because S_{△ EAD}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}AM· ED,\therefore AM=\frac{AE· AD}{ED}=\frac{12}{5},\therefore MN=AM=\frac{12}{5}.$ 故选C。

8. 新考法分类讨论法 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，点$D$在边$AB$所在的直线上，且$AD=2$，过点$D$作$DE// BC$交边$AC$所在直线于点$E$，则$CE$的长为________.

8.6或12 【点拨】如图①,当点D在边AB上时,$\because AB=6,AD=2,\therefore BD=4. \because DE// BC,\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC},$即$\frac{4}{6}=\frac{CE}{9},$解得$CE=6;$如图②,当点D在边BA的延长线上时,$\because AB=6,AD=2,\therefore BD=8. \because DE// BC,\therefore$易得$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC},$即$\frac{8}{6}=\frac{CE}{9},$解得$CE=12.$ 综上所述,CE的长为6或12。