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15.如图,从一个大正方形中截去面积为15 cm²和27 cm²的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为
$18\sqrt{5}$
cm².答案
15.$18\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式求出两个白色小正方形的边长，观察图形可知阴影部分是两个完全相同的长方形，长方形的长为面积27cm²的正方形的边长，宽为面积15cm²的正方形的边长，求出单个长方形面积再乘2即可得到阴影总面积；也可以先计算大正方形的面积，再减去两个白色小正方形的面积得到阴影面积。
【解析】
步骤1：求两个白色小正方形的边长
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$可得：
面积为$15\mathrm{cm}^2$的小正方形边长$a=\sqrt{15}\mathrm{cm}$，
面积为$27\mathrm{cm}^2$的小正方形边长$b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
步骤2：计算阴影部分面积
观察图形可得，阴影部分是2个长为$b$、宽为$a$的完全相同的长方形：
单个长方形面积$=a× b=\sqrt{15}×3\sqrt{3}=3\sqrt{45}=3×3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$，
阴影总面积$=2×9\sqrt{5}=18\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$。
（或用大正方形面积计算：大正方形边长为$a+b$，大正方形面积$=(\sqrt{15}+3\sqrt{3})^2=15+6\sqrt{45}+27=42+18\sqrt{5}$，减去两个小正方形面积和$15+27=42$，得阴影面积$=42+18\sqrt{5}-42=18\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$）
【答案】
$18\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形面积计算和二次根式运算结合，解题关键是准确识别阴影部分的图形形状、找到各边长的对应关系，运算过程中要注意二次根式的化简规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形面积公式求出两个白色小正方形的边长，观察图形可知阴影部分是两个完全相同的长方形，长方形的长为面积27cm²的正方形的边长，宽为面积15cm²的正方形的边长，求出单个长方形面积再乘2即可得到阴影总面积；也可以先计算大正方形的面积，再减去两个白色小正方形的面积得到阴影面积。
【解析】
步骤1：求两个白色小正方形的边长
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$可得：
面积为$15\mathrm{cm}^2$的小正方形边长$a=\sqrt{15}\mathrm{cm}$，
面积为$27\mathrm{cm}^2$的小正方形边长$b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
步骤2：计算阴影部分面积
观察图形可得，阴影部分是2个长为$b$、宽为$a$的完全相同的长方形：
单个长方形面积$=a× b=\sqrt{15}×3\sqrt{3}=3\sqrt{45}=3×3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$，
阴影总面积$=2×9\sqrt{5}=18\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$。
（或用大正方形面积计算：大正方形边长为$a+b$，大正方形面积$=(\sqrt{15}+3\sqrt{3})^2=15+6\sqrt{45}+27=42+18\sqrt{5}$，减去两个小正方形面积和$15+27=42$，得阴影面积$=42+18\sqrt{5}-42=18\sqrt{5}\mathrm{cm}^2$）
【答案】
$18\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形面积计算和二次根式运算结合，解题关键是准确识别阴影部分的图形形状、找到各边长的对应关系，运算过程中要注意二次根式的化简规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
16.先化简,再找一个你喜欢的数值代入进行计算:$\dfrac{x^2 -1}{x^2 +4x +4} ÷ (x -1) · \dfrac{x +2}{x +1}.$
答案
[解]原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \dfrac{1}{x-1} · \dfrac{x+2}{x+1}$
$=\dfrac{1}{x+2}.$
当$x=0$时,原式$=\dfrac{1}{2}.$
(注意 $x$ 的取值不能为$-2,-1,1$)
$=\dfrac{1}{x+2}.$
当$x=0$时,原式$=\dfrac{1}{2}.$
(注意 $x$ 的取值不能为$-2,-1,1$)
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步处理运算规则，分式乘除混合运算中，要先把除法转化为乘法（除以一个整式等于乘这个整式的倒数）；第二步对分子分母中的多项式进行因式分解，$x^2-1$用平方差公式分解，$x^2+4x+4$用完全平方公式分解；第三步约掉分子分母的公因式得到最简结果，最后选取$x$的数值时，要保证原式中所有分式的分母不为0，且除式$(x-1)$也不为0，避免原式无意义。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \dfrac{1}{x-1} · \dfrac{x+2}{x+1}$
约去分子分母的公因式$(x+1)(x-1)(x+2)$，得：
$=\dfrac{1}{x+2}$
根据分式有意义的条件，可得$x+2≠0$，$x+1≠0$，$x-1≠0$，即$x$不能取$-2,-1,1$。
选取$x=0$代入，原式$=\dfrac{1}{0+2}=\dfrac{1}{2}$。
（注：选取其他合法数值代入计算结果正确也可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x+2}$，当$x=0$时，计算结果为$\dfrac{1}{2}$（$x$取值不能为$-2,-1,1$）
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式乘除的运算法则，运算前先将除法统一为乘法，再通过因式分解约分简化计算，需要特别注意代入的数值必须使原式的每一个分母和除式都不为0，否则会导致原式无意义。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步处理运算规则，分式乘除混合运算中，要先把除法转化为乘法（除以一个整式等于乘这个整式的倒数）；第二步对分子分母中的多项式进行因式分解，$x^2-1$用平方差公式分解，$x^2+4x+4$用完全平方公式分解；第三步约掉分子分母的公因式得到最简结果，最后选取$x$的数值时，要保证原式中所有分式的分母不为0，且除式$(x-1)$也不为0，避免原式无意义。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} · \dfrac{1}{x-1} · \dfrac{x+2}{x+1}$
约去分子分母的公因式$(x+1)(x-1)(x+2)$，得：
$=\dfrac{1}{x+2}$
根据分式有意义的条件，可得$x+2≠0$，$x+1≠0$，$x-1≠0$，即$x$不能取$-2,-1,1$。
选取$x=0$代入，原式$=\dfrac{1}{0+2}=\dfrac{1}{2}$。
（注：选取其他合法数值代入计算结果正确也可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x+2}$，当$x=0$时，计算结果为$\dfrac{1}{2}$（$x$取值不能为$-2,-1,1$）
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心是掌握分式乘除的运算法则，运算前先将除法统一为乘法，再通过因式分解约分简化计算，需要特别注意代入的数值必须使原式的每一个分母和除式都不为0，否则会导致原式无意义。
【难度系数】
0.7
17. 如图,某校有一块四边形劳动基地ABCD,现计划在劳动基地种植绿植,测得∠B=90°,AB=3米,BC=4米,CD=5米,AD=5√2米,若每平方米所种绿植需要100元,问需要投入多少钱.
答案
[解]连接AC,
因为 $AB=3$ 米,$BC=4$ 米,$∠ B=90°$,
所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$ 米.
因为 $CD=5$ 米,$AD=5\sqrt{2}$ 米,
所以 $AC^2+CD^2=50=AD^2$,
所以 $∠ ACD=90°$,
所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×5×5=18.5$(平方米),
所以 $100×18.5=1\ 850$(元),
即需要投入1 850元.
解析
【分析】
要计算总投入资金，首先需要求出四边形ABCD的总面积，再乘以每平方米100元的种植成本即可。四边形ABCD是不规则图形，已知∠B=90°，因此可通过连接AC的辅助线，将四边形分割为△ABC和△ACD两个三角形求解：首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AC的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，求和得到四边形总面积，最后计算总投入。
【解析】
解：连接AC，
因为$AB=3$米，$BC=4$米，$∠B=90°$，
所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$米。
因为$CD=5$米，$AD=5\sqrt{2}$米，
所以$AC^2+CD^2=5^2+5^2=50$，$AD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，即$AC^2+CD^2=AD^2$，
所以$∠ACD=90°$，
所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×5×5=6+12.5=18.5$(平方米)，
总投入金额为$100×18.5=1850$(元)。
【答案】
需要投入1850元。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用题型，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为直角三角形，结合勾股定理及其逆定理完成边长计算、直角判定，最终求得面积，考查学生对基础几何定理的应用能力和转化思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要计算总投入资金，首先需要求出四边形ABCD的总面积，再乘以每平方米100元的种植成本即可。四边形ABCD是不规则图形，已知∠B=90°，因此可通过连接AC的辅助线，将四边形分割为△ABC和△ACD两个三角形求解：首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AC的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，求和得到四边形总面积，最后计算总投入。
【解析】
解：连接AC，
因为$AB=3$米，$BC=4$米，$∠B=90°$，
所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$米。
因为$CD=5$米，$AD=5\sqrt{2}$米，
所以$AC^2+CD^2=5^2+5^2=50$，$AD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，即$AC^2+CD^2=AD^2$，
所以$∠ACD=90°$，
所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×5×5=6+12.5=18.5$(平方米)，
总投入金额为$100×18.5=1850$(元)。
【答案】
需要投入1850元。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用题型，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为直角三角形，结合勾股定理及其逆定理完成边长计算、直角判定，最终求得面积，考查学生对基础几何定理的应用能力和转化思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
