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1. 下列各式一定是二次根式的是(
A.$\sqrt[3]{5}$
B.$\sqrt{-3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{a}$
C
)A.$\sqrt[3]{5}$
B.$\sqrt{-3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{a}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数（即大于等于0），两个条件同时满足才是二次根式。我们只需要对照这两个标准逐一分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，判定需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
选项A：$\sqrt[3]{5}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{-3}$的被开方数是-3，为负数，式子无意义，不是二次根式；
选项C：$\sqrt{6}$的根指数为2，被开方数6＞0，满足二次根式的全部判定条件，一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{a}$中字母$a$的取值范围未明确，若$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次根式定义的掌握，解题关键是牢记二次根式的两个判定要素，不要忽略被开方数必须非负的要求，同时注意区分不同根指数的根式。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数（即大于等于0），两个条件同时满足才是二次根式。我们只需要对照这两个标准逐一分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，判定需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
选项A：$\sqrt[3]{5}$的根指数是3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{-3}$的被开方数是-3，为负数，式子无意义，不是二次根式；
选项C：$\sqrt{6}$的根指数为2，被开方数6＞0，满足二次根式的全部判定条件，一定是二次根式；
选项D：$\sqrt{a}$中字母$a$的取值范围未明确，若$a＜0$时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次根式定义的掌握，解题关键是牢记二次根式的两个判定要素，不要忽略被开方数必须非负的要求，同时注意区分不同根指数的根式。
【难度系数】
0.9
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$
C
）A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{5}$的被开方数5是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$的被开方数含有分母，且分子4是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定规则，熟练掌握二次根式的化简方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{5}$的被开方数5是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$的被开方数含有分母，且分子4是能开得尽方的因数，化简得$\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式。
【答案】
C
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定规则，熟练掌握二次根式的化简方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$
B.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=6$
C.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=3$
D.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D
)A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$
B.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=6$
C.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=3$
D.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题时需根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比后排除错误选项，最终选出正确答案。二次根式加减的核心是先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算可直接将被开方数相乘除，最后化简结果即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同类二次根式相加，系数相加、根号部分不变，$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，故A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠6$，故B错误；
C选项：先化简再计算，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠3$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式四则运算的法则应用，解题时要注意先将二次根式化为最简形式再进行加减运算，乘除运算要牢记被开方数的非负性要求，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题时需根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比后排除错误选项，最终选出正确答案。二次根式加减的核心是先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除运算可直接将被开方数相乘除，最后化简结果即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同类二次根式相加，系数相加、根号部分不变，$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，故A错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠6$，故B错误；
C选项：先化简再计算，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠3$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式四则运算的法则应用，解题时要注意先将二次根式化为最简形式再进行加减运算，乘除运算要牢记被开方数的非负性要求，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4.如图，$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，则$∠ A$的度数是(
A.$120°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
C
)A.$120°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
答案
4.C
解析
【分析】首先观察图形可发现∠ACD是△ABC的外角，我们可以利用三角形外角的性质求解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知外角∠ACD和其中一个不相邻的内角∠B，将数值代入公式即可求出∠A的度数。
【解析】解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴$∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
已知$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，代入得：
$∠ A = 120° - 20° = 100°$
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】本题属于基础题，考查三角形外角性质的直接应用，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴$∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
已知$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，代入得：
$∠ A = 120° - 20° = 100°$
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】本题属于基础题，考查三角形外角性质的直接应用，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
5.已知$\sqrt{8n}$是整数，正整数n的最小值为（
A.2
B.3
C.4
D.8
A
）A.2
B.3
C.4
D.8
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心条件：若二次根式的计算结果是整数，则它的被开方数一定是完全平方数。我们先把被开方数中的8分解质因数，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特征，补充缺少的质因数，就能求出正整数n的最小值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{8n}$是整数，且n为正整数
∴$8n$是正的完全平方数
对8分解质因数可得：$8=2^3=2^2×2$
因此$8n=2^2×2n$
要使$8n$为完全平方数，则$2n$必须是完全平方数
满足条件的最小正整数n为2，此时$2n=4$是完全平方数，$8n=16$，$\sqrt{16}=4$符合要求
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数的特征
【点评】
本题考查二次根式为整数的相关应用，解题核心是先将被开方数分解质因数，再结合完全平方数的特征推导最小n，属于基础题型，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心条件：若二次根式的计算结果是整数，则它的被开方数一定是完全平方数。我们先把被开方数中的8分解质因数，再根据完全平方数的所有质因数的指数均为偶数的特征，补充缺少的质因数，就能求出正整数n的最小值。
【解析】
解：
∵$\sqrt{8n}$是整数，且n为正整数
∴$8n$是正的完全平方数
对8分解质因数可得：$8=2^3=2^2×2$
因此$8n=2^2×2n$
要使$8n$为完全平方数，则$2n$必须是完全平方数
满足条件的最小正整数n为2，此时$2n=4$是完全平方数，$8n=16$，$\sqrt{16}=4$符合要求
故选：A
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数的特征
【点评】
本题考查二次根式为整数的相关应用，解题核心是先将被开方数分解质因数，再结合完全平方数的特征推导最小n，属于基础题型，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.已知$\sqrt{x+3}=0$，则$x$的值为(
A.$x＞-3$
B.$x＜-3$
C.$x=-3$
D.$x=3$
C
)A.$x＞-3$
B.$x＜-3$
C.$x=-3$
D.$x=3$
答案
6.C
解析
【分析】
这道题考查算术平方根的性质，解题思路如下：首先明确算术平方根的结果是非负数，若一个算术平方根等于0，那么它的被开方数一定为0，同时要保证被开方数是非负的。解题时先令根号内的表达式等于0，解出x后再验证是否满足被开方数非负的要求即可。
【解析】
解：已知$\sqrt{x+3}=0$，根据算术平方根的性质：0的算术平方根是0，且算术平方根的被开方数必须是非负数，可得被开方数$x+3=0$，
解该方程得：$x=-3$。
验证：当$x=-3$时，$x+3=0$，满足被开方数非负的要求，因此x的值为-3。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查对算术平方根基本性质的掌握，只要牢记算术平方根为0时对应的被开方数为0，且被开方数具有非负性，就能快速得出正确答案，出错率较低。
【难度系数】
0.9
这道题考查算术平方根的性质，解题思路如下：首先明确算术平方根的结果是非负数，若一个算术平方根等于0，那么它的被开方数一定为0，同时要保证被开方数是非负的。解题时先令根号内的表达式等于0，解出x后再验证是否满足被开方数非负的要求即可。
【解析】
解：已知$\sqrt{x+3}=0$，根据算术平方根的性质：0的算术平方根是0，且算术平方根的被开方数必须是非负数，可得被开方数$x+3=0$，
解该方程得：$x=-3$。
验证：当$x=-3$时，$x+3=0$，满足被开方数非负的要求，因此x的值为-3。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查对算术平方根基本性质的掌握，只要牢记算术平方根为0时对应的被开方数为0，且被开方数具有非负性，就能快速得出正确答案，出错率较低。
【难度系数】
0.9
7.若最简二次根式$\sqrt{2025 - m}$与$\sqrt{27}$可以合并，则$m$的值为（
A.2 023
B.2 024
C.2 022
D.2 021
C
）A.2 023
B.2 024
C.2 022
D.2 021
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确最简二次根式可合并的条件：两个最简二次根式若能合并，化简后它们的被开方数一定相同。解题时先将不是最简形式的$\sqrt{27}$化简，得到它的被开方数，再根据被开方数相等列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{27}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，可得其化简后的被开方数为3。
第二步：根据可合并的条件列方程
因为最简二次根式$\sqrt{2025 - m}$与$\sqrt{27}$可以合并，所以二者的被开方数相等，即：
$2025 - m=3$
第三步：解方程求$m$
移项得$m=2025-3=2022$。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断与应用，解题关键是先化简已知的非最简二次根式，再结合题干给出的“最简二次根式”的条件列等式求解，无需额外考虑被开方数可继续化简的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确最简二次根式可合并的条件：两个最简二次根式若能合并，化简后它们的被开方数一定相同。解题时先将不是最简形式的$\sqrt{27}$化简，得到它的被开方数，再根据被开方数相等列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{27}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，可得其化简后的被开方数为3。
第二步：根据可合并的条件列方程
因为最简二次根式$\sqrt{2025 - m}$与$\sqrt{27}$可以合并，所以二者的被开方数相等，即：
$2025 - m=3$
第三步：解方程求$m$
移项得$m=2025-3=2022$。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断与应用，解题关键是先化简已知的非最简二次根式，再结合题干给出的“最简二次根式”的条件列等式求解，无需额外考虑被开方数可继续化简的情况。
【难度系数】
0.8
8. 二次根式 $ x\sqrt{-\dfrac{1}{x}} $ 化成最简结果为(
A.$ \sqrt{x} $
B.$ -\sqrt{-x} $
C.$ -\sqrt{x} $
D.$ \sqrt{-x} $
B
)A.$ \sqrt{x} $
B.$ -\sqrt{-x} $
C.$ -\sqrt{x} $
D.$ \sqrt{-x} $
答案
8.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次根式有意义的条件，先求出x的取值范围，判断x的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内时，要注意负数移进去要保留负号在根号外，最后结合二次根式的乘法法则化简即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{x}≥0$且$x≠0$，解得$x＜0$。
因为$x＜0$，所以$x=-\sqrt{x^2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}x\sqrt{-\dfrac{1}{x}}&=-\sqrt{x^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{x}}\\&=-\sqrt{x^2·(-\dfrac{1}{x})}\\&=-\sqrt{-x}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的正负性，直接将根号外的x移入根号内导致符号出错，解题的核心是先根据被开方数的非负性确定字母的取值范围，再按二次根式的运算规则化简。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次根式有意义的条件，先求出x的取值范围，判断x的正负性；再根据二次根式的性质，将根号外的因式移到根号内时，要注意负数移进去要保留负号在根号外，最后结合二次根式的乘法法则化简即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{x}≥0$且$x≠0$，解得$x＜0$。
因为$x＜0$，所以$x=-\sqrt{x^2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}x\sqrt{-\dfrac{1}{x}}&=-\sqrt{x^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{x}}\\&=-\sqrt{x^2·(-\dfrac{1}{x})}\\&=-\sqrt{-x}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，易错点是忽略x的正负性，直接将根号外的x移入根号内导致符号出错，解题的核心是先根据被开方数的非负性确定字母的取值范围，再按二次根式的运算规则化简。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x-1}+2=-\frac{3}{1-x}$的解为正数，则非负整数$m$可取值的个数为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先按分式方程的求解步骤将方程化为整式方程，用含m的代数式表示出x；再根据“解为正数”和“分式分母不为0（避免增根）”两个条件列出不等式，求出m的取值范围；最后在范围内找出所有非负整数m，统计个数即可。
【解析】
第一步：化简求解分式方程
原方程为$\frac{m}{x-1}+2=-\frac{3}{1-x}$，先整理右边的分式：$-\frac{3}{1-x}=\frac{3}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），去分母得：
$m + 2(x-1) = 3$
展开并移项整理：
$m + 2x - 2 = 3$
$2x = 5 - m$
解得$x=\frac{5-m}{2}$
第二步：根据条件列不等式求m范围
1. 方程的解为正数，即$\frac{5-m}{2}＞0$，解得：$m＜5$
2. 分式分母不为0，即$x≠1$，代入得$\frac{5-m}{2}≠1$，解得：$m≠3$
第三步：筛选非负整数m
m是非负整数，即$m≥0$且m为整数，结合$m＜5$且$m≠3$，可得m的可取值为0、1、2、4，共4个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，解题的易错点是容易遗漏“分母不能为0”的隐含条件，导致多算不符合要求的参数取值，求解后一定要验证参数是否会使原方程产生增根。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先按分式方程的求解步骤将方程化为整式方程，用含m的代数式表示出x；再根据“解为正数”和“分式分母不为0（避免增根）”两个条件列出不等式，求出m的取值范围；最后在范围内找出所有非负整数m，统计个数即可。
【解析】
第一步：化简求解分式方程
原方程为$\frac{m}{x-1}+2=-\frac{3}{1-x}$，先整理右边的分式：$-\frac{3}{1-x}=\frac{3}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（此时$x≠1$），去分母得：
$m + 2(x-1) = 3$
展开并移项整理：
$m + 2x - 2 = 3$
$2x = 5 - m$
解得$x=\frac{5-m}{2}$
第二步：根据条件列不等式求m范围
1. 方程的解为正数，即$\frac{5-m}{2}＞0$，解得：$m＜5$
2. 分式分母不为0，即$x≠1$，代入得$\frac{5-m}{2}≠1$，解得：$m≠3$
第三步：筛选非负整数m
m是非负整数，即$m≥0$且m为整数，结合$m＜5$且$m≠3$，可得m的可取值为0、1、2、4，共4个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，解题的易错点是容易遗漏“分母不能为0”的隐含条件，导致多算不符合要求的参数取值，求解后一定要验证参数是否会使原方程产生增根。
【难度系数】
0.6
10.若$a=\sqrt{5}+1$，则$a^2 - 2a -4$的值为（
A.0
B.1
C.-1
D.2
A
）A.0
B.1
C.-1
D.2
答案
10.A
解析
【分析】
本题是已知含二次根式的a的值，求多项式的值的问题，解题时可先观察所求多项式的结构，发现前两项符合完全平方公式的部分特征，因此优先选择配方的方法对多项式变形，再代入a的值计算，既可以简化计算过程，也能避免直接代入展开计算可能出现的错误，也可直接代入a的值展开计算得到结果。
【解析】
解法一（配方法）：
先对所求多项式进行配方变形：
$a^2 - 2a -4 = (a^2 - 2a +1) -1 -4 = (a-1)^2 -5$
已知$a=\sqrt{5}+1$，则$a-1=\sqrt{5}$，将其代入上式：
原式$= (\sqrt{5})^2 -5 = 5 -5 = 0$
解法二（直接代入法）：
将$a=\sqrt{5}+1$直接代入多项式计算：
$a^2 - 2a -4 = (\sqrt{5}+1)^2 - 2(\sqrt{5}+1) -4$
根据完全平方公式展开得：$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×1 +1^2 = 6+2\sqrt{5}$
计算乘法项得：$2(\sqrt{5}+1)=2\sqrt{5}+2$
代入原式合并计算：
$6+2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} -2 -4 = 0$
综上，结果为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式求值的常用技巧，通过配方变形可以大幅简化计算，降低出错概率，是处理整式和二次根式混合求值类问题的常用思路，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.8
本题是已知含二次根式的a的值，求多项式的值的问题，解题时可先观察所求多项式的结构，发现前两项符合完全平方公式的部分特征，因此优先选择配方的方法对多项式变形，再代入a的值计算，既可以简化计算过程，也能避免直接代入展开计算可能出现的错误，也可直接代入a的值展开计算得到结果。
【解析】
解法一（配方法）：
先对所求多项式进行配方变形：
$a^2 - 2a -4 = (a^2 - 2a +1) -1 -4 = (a-1)^2 -5$
已知$a=\sqrt{5}+1$，则$a-1=\sqrt{5}$，将其代入上式：
原式$= (\sqrt{5})^2 -5 = 5 -5 = 0$
解法二（直接代入法）：
将$a=\sqrt{5}+1$直接代入多项式计算：
$a^2 - 2a -4 = (\sqrt{5}+1)^2 - 2(\sqrt{5}+1) -4$
根据完全平方公式展开得：$(\sqrt{5}+1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×1 +1^2 = 6+2\sqrt{5}$
计算乘法项得：$2(\sqrt{5}+1)=2\sqrt{5}+2$
代入原式合并计算：
$6+2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} -2 -4 = 0$
综上，结果为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式求值的常用技巧，通过配方变形可以大幅简化计算，降低出错概率，是处理整式和二次根式混合求值类问题的常用思路，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.8
11.若代数式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，则x的取值范围是
$x≥2$
。答案
11.$x≥2$
解析
【分析】
要确定代数式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义时x的取值范围，首先需回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。因此我们只需要令被开方数$x-2$大于等于0，解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x-2≥0$
解这个不等式，移项可得：
$x≥2$
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数非负的要求，即可快速列式求解，失分率较低。
【难度系数】
0.9
要确定代数式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义时x的取值范围，首先需回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。因此我们只需要令被开方数$x-2$大于等于0，解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x-2≥0$
解这个不等式，移项可得：
$x≥2$
【答案】
$x≥2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数非负的要求，即可快速列式求解，失分率较低。
【难度系数】
0.9
12.计算：$\sqrt{3×8×6}=$
12
.答案
12.12
解析
【分析】
本题是二次根式的基础计算题，解题思路清晰：可以先计算根号内的乘法运算，得到被开方数的具体数值后，再根据算术平方根的定义求结果；也可以利用二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，将被开方数分解为完全平方数的乘积形式再开方，两种方法均符合八年级二次根式的运算要求。
【解析】
步骤1：计算被开方数的乘积
$3×8×6=24×6=144$
步骤2：求144的算术平方根
根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根为算术平方根，因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次根式运算，算术平方根
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的基础计算规则和算术平方根的概念，运算过程中细心计算被开方数的乘积即可正确得分。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的基础计算题，解题思路清晰：可以先计算根号内的乘法运算，得到被开方数的具体数值后，再根据算术平方根的定义求结果；也可以利用二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，将被开方数分解为完全平方数的乘积形式再开方，两种方法均符合八年级二次根式的运算要求。
【解析】
步骤1：计算被开方数的乘积
$3×8×6=24×6=144$
步骤2：求144的算术平方根
根据算术平方根的定义，非负数的正的平方根为算术平方根，因为$12^2=144$，所以$\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次根式运算，算术平方根
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的基础计算规则和算术平方根的概念，运算过程中细心计算被开方数的乘积即可正确得分。
【难度系数】
0.9
13.若$a＞1$，则$\sqrt{(1-a)^2}=$
$a-1$
.答案
13.$a-1$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此第一步要先将原式转化为绝对值形式，再结合题目给出的$a＞1$的条件，判断$1-a$的正负性，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，就能得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|$
$\because a＞1$
$\therefore 1-a＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|1-a|=-(1-a)=a-1$
【答案】
$a-1$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，易错点是未判断$1-a$的正负性直接开平方得到$1-a$，解题时要牢记二次根式开平方的结果是非负数，结合给出的取值范围正确去绝对值即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此第一步要先将原式转化为绝对值形式，再结合题目给出的$a＞1$的条件，判断$1-a$的正负性，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，就能得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|$
$\because a＞1$
$\therefore 1-a＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|1-a|=-(1-a)=a-1$
【答案】
$a-1$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，易错点是未判断$1-a$的正负性直接开平方得到$1-a$，解题时要牢记二次根式开平方的结果是非负数，结合给出的取值范围正确去绝对值即可。
【难度系数】
0.8
14.已知$x+y=3\sqrt{2}$，$xy=\sqrt{6}$，则$x^2y+xy^2$的值为
$6\sqrt{3}$
。答案
14.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2y+xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需分别求出$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
将$x+y=3\sqrt{2}$，$xy=\sqrt{6}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6} × 3\sqrt{2}\\&=3×\sqrt{6×2}\\&=3×\sqrt{12}\\&=3×2\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心是利用因式分解将所求式子变形为已知条件的组合形式，运用整体代入思想求解，降低了计算难度。
【难度系数】
0.85
首先观察所求代数式$x^2y+xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需分别求出$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
将$x+y=3\sqrt{2}$，$xy=\sqrt{6}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{6} × 3\sqrt{2}\\&=3×\sqrt{6×2}\\&=3×\sqrt{12}\\&=3×2\sqrt{3}\\&=6\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于代数式化简求值类基础题，核心是利用因式分解将所求式子变形为已知条件的组合形式，运用整体代入思想求解，降低了计算难度。
【难度系数】
0.85
