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20.观察下面的式子及其验证过程：
$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}.$
验证：$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^3}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{(2^3 - 2)+2}{2^2 -1}}=\sqrt{\dfrac{2×(2^2 -1)+2}{2^2 -1}}$
$=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}.$
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思路,猜想$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$的变形结果并进行验证；
(2)按照上述规律,写出用$n$($n$为任意自然数,且$n≥2$)表示的等式并进行验证.
$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}.$
验证：$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^3}{3}}$
$=\sqrt{\dfrac{(2^3 - 2)+2}{2^2 -1}}=\sqrt{\dfrac{2×(2^2 -1)+2}{2^2 -1}}$
$=\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}.$
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思路,猜想$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$的变形结果并进行验证；
(2)按照上述规律,写出用$n$($n$为任意自然数,且$n≥2$)表示的等式并进行验证.
答案
(1)猜想:$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}.$
验证:$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{\dfrac{4^3}{15}}=\sqrt{\dfrac{(4^3-4)+4}{4^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{4×(4^2-1)+4}{4^2-1}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}.$
(2)$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$ 为任意自然数,且$n≥2$).
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{(n^3-n)+n}{n^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$ 为任意自然数,且$n≥2$).
验证:$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{\dfrac{4^3}{15}}=\sqrt{\dfrac{(4^3-4)+4}{4^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{4×(4^2-1)+4}{4^2-1}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}.$
(2)$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$ 为任意自然数,且$n≥2$).
验证:$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{(n^3-n)+n}{n^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$($n$ 为任意自然数,且$n≥2$).
解析
【分析】
解题时先分析已知示例的变形逻辑：左边是整数a乘以根号下$\frac{a}{a^2-1}$，变形后为根号下$a+\frac{a}{a^2-1}$，验证时先将根号外的整数移入根号内，再对分子拆分变形，拆分出与分母相同的因式后约分，即可得到变形结果。
(1) 对应示例逻辑，将a替换为4，先猜想变形结果，再仿照示例的验证步骤完成验证即可。
(2) 将具体数值推广到一般的n（n≥2），总结出通用等式，再用同样的拆分方法完成验证。
【解析】
(1) 猜想：$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$
验证：
$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{\dfrac{4^3}{15}}=\sqrt{\dfrac{(4^3-4)+4}{4^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{4×(4^2-1)+4}{4^2-1}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$
(2) 用$n$表示的等式：$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，且$n≥2$）
验证：
$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{(n^3-n)+n}{n^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，且$n≥2$）
【答案】
(1) $4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$，验证见解析；
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为任意自然数，且$n≥2$），验证见解析。
【知识点】
二次根式的化简，规律探究，分式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，要求学生从特例中归纳出通用规律，再结合二次根式的运算性质完成验证，侧重考查观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先分析已知示例的变形逻辑：左边是整数a乘以根号下$\frac{a}{a^2-1}$，变形后为根号下$a+\frac{a}{a^2-1}$，验证时先将根号外的整数移入根号内，再对分子拆分变形，拆分出与分母相同的因式后约分，即可得到变形结果。
(1) 对应示例逻辑，将a替换为4，先猜想变形结果，再仿照示例的验证步骤完成验证即可。
(2) 将具体数值推广到一般的n（n≥2），总结出通用等式，再用同样的拆分方法完成验证。
【解析】
(1) 猜想：$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$
验证：
$4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{\dfrac{4^3}{15}}=\sqrt{\dfrac{(4^3-4)+4}{4^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{4×(4^2-1)+4}{4^2-1}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$
(2) 用$n$表示的等式：$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，且$n≥2$）
验证：
$n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{(n^3-n)+n}{n^2-1}}$
$=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为自然数，且$n≥2$）
【答案】
(1) $4\sqrt{\dfrac{4}{15}}=\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$，验证见解析；
(2) $n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为任意自然数，且$n≥2$），验证见解析。
【知识点】
二次根式的化简，规律探究，分式运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，要求学生从特例中归纳出通用规律，再结合二次根式的运算性质完成验证，侧重考查观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
