18. 我们知道形如$\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})×(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，这样的化简过程叫作分母有理化。我们把$\sqrt{2}$叫作$\sqrt{2}$的有理化因式，$\sqrt{5}-\sqrt{3}$叫作$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的有理化因式，完成下列各题。
(1)化简：$\frac{3}{\sqrt{6}}=$；
(2)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的有理化因式是，$\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$；
(3)若$a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}$，求$-2a^2 +12a +5$的值。

(1)$\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{3×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
故答案为：$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
(2)因为$(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$,
所以$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的有理化因式是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$,
$\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
$=\dfrac{2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$
$=2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}.$
故答案为:$\sqrt{3}+\sqrt{2}\quad 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
(3) 因为 $a = \dfrac{2}{3-\sqrt{7}} = \dfrac{2×(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})×(3+\sqrt{7})} = \dfrac{2×(3+\sqrt{7})}{3^2-(\sqrt{7})^2}=3+\sqrt{7}$,
所以 $-2a^2 +12a +5$
$=-2(a-3)^2+23$
$=-2×(3+\sqrt{7}-3)^2+23$
$=-2×7+23$
$=9.$

【分析】
本题围绕分母有理化展开考查，解题思路如下：1. 第(1)问分母为单个二次根式，只需分子分母同乘分母的二次根式，再约分即可完成化简；2. 第(2)问根据平方差公式，形如$\sqrt{m}-\sqrt{n}$的式子的有理化因式为$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，二者相乘可消去根号得到有理数，再用该有理化因式对第二个式子做分母有理化计算；3. 第(3)问先将$a$的表达式分母有理化得到最简形式，观察所求代数式的结构，通过配方转化为含$(a-3)$的形式，再整体代入计算，比直接代入求值更简便。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{\sqrt{6}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$：
$\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2) 根据平方差公式：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$，结果为有理数，因此$\sqrt{3}-\sqrt{2}$的有理化因式是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
对$\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
$\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
(3) 先化简$a$的表达式：
$a = \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2×(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7}=3+\sqrt{7}$
对所求代数式配方变形：
$-2a^2 +12a +5 = -2(a^2-6a) +5 = -2(a^2-6a+9)+18+5 = -2(a-3)^2+23$
将$a=3+\sqrt{7}$代入，即$a-3=\sqrt{7}$：
原式$=-2×(\sqrt{7})^2 +23 = -2×7 +23 = -14+23=9$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$；(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$；(3) $9$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查二次根式分母有理化的方法，需熟练利用平方差公式找到有理化因式，对于含二次根式的代数式求值问题，先化简代数式再整体代入可有效简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.7

19.现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为$4\ \mathrm{dm}^2$，$8\ \mathrm{dm}^2$和$18\ \mathrm{dm}^2$的正方形木板$A$，$B$，$C$。

(1)木板①中截出的正方形木板$B$的边长为$\mathrm{dm}$(结果保留根号)；
(2)求木板①中剩余部分(阴影部分)的面积(结果保留根号)；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为$9\ \mathrm{dm}^2$的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由。

(1)因为木板 $B$ 为正方形,且面积为$8\ \mathrm{dm}^2$,所以木板 $B$ 的边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{dm}.$
故答案为:$2\sqrt{2}$
(2)因为正方形木板 $A,B,C$ 的面积分别为$4\ \mathrm{dm}^2$,$8\ \mathrm{dm}^2$ 和 $18\ \mathrm{dm}^2$,
所以正方形木板 $A,B,C$ 的边长分别为 $2\ \mathrm{dm}$,$2\sqrt{2}\mathrm{dm}$,$3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$,
所以长方形木板的长为$(2\sqrt{2}+3\sqrt{2})\mathrm{dm}$,宽为$(2+2\sqrt{2})\mathrm{dm}$,
由题图 1 可得
$S_{\mathrm{阴影部分}}=(2\sqrt{2}+3\sqrt{2})×(2+2\sqrt{2})-4-8-18$
$=4\sqrt{2}+8+6\sqrt{2}+12-4-8-18$
$=10\sqrt{2}-10(\mathrm{dm}^2).$
(3)能截出.
理由:因为$\sqrt{9}=3(\mathrm{dm})$,$2×3=6(\mathrm{dm})$,
所以两个正方形木板放在一起是宽为 $3\ \mathrm{dm}$,长为$6\ \mathrm{dm}$ 的长方形木板,
由(2)可知长方形木板②的宽、长分别为$(2+2\sqrt{2})\mathrm{dm}$、$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{dm})$,
因为 $2+2\sqrt{2}＞3$,$5\sqrt{2}＞6$,
所以能截出.

【分析】
(1) 已知正方形B的面积，根据正方形边长是其面积的算术平方根，直接对面积开平方化简即可得到边长。
(2) 先分别求出三个正方形A、B、C的边长，结合图形可得长方形木板的长为B、C的边长之和，宽为A、B的边长之和，用长方形总面积减去三个正方形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
(3) 先求出面积为$9\ \mathrm{dm}^2$的正方形的边长，计算两个该正方形并排拼接后的长和宽，再与长方形木板的长、宽比较大小，若拼接后的长宽均小于木板的长宽则可截出。
【解析】
(1) 因为正方形B的面积为$8\ \mathrm{dm}^2$，正方形边长为面积的算术平方根，所以边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
(2) 先计算三个正方形的边长：
正方形A面积为$4\ \mathrm{dm}^2$，边长为$\sqrt{4}=2\ \mathrm{dm}$；
正方形B面积为$8\ \mathrm{dm}^2$，边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$；
正方形C面积为$18\ \mathrm{dm}^2$，边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
由图可知长方形木板的长为$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为$2+2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=5\sqrt{2}×(2+2\sqrt{2})-4-8-18\\&=10\sqrt{2}+20-30\\&=10\sqrt{2}-10\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
(3) 能截出，理由如下：
面积为$9\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{9}=3\ \mathrm{dm}$，两个该正方形并排摆放时总长度为$2×3=6\ \mathrm{dm}$，宽度为$3\ \mathrm{dm}$。
由(2)可知长方形木板长为$5\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为$2+2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，因为$2+2\sqrt{2}＞3$，$5\sqrt{2}＞6$，所以可以截出。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$
(2) $10\sqrt{2}-10\ \mathrm{dm}^2$
(3) 能截出，理由见解析
【知识点】
正方形面积计算、二次根式运算、实数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查二次根式的应用，需要结合图形准确提取长方形长宽的数量关系，重点考察二次根式的化简、运算能力，解题时需注意二次根式计算的准确性。
【难度系数】
0.7