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12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AD$,$E$为$BD$中点,连接$AE$,若$AC=10$,$∠ C=45°$,则$AE$的长为
$5\sqrt{2}$
。答案
12.$5\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先由已知AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，E是BD中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AE垂直BD，即△AEC是直角三角形；再结合∠C=45°，可判断△AEC为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AD，E为BD中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AE⊥BD，即∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，∠C=45°，
∴∠EAC=90°-∠C=45°，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=EC。
根据勾股定理：$AE^2 + EC^2 = AC^2$，
将$EC=AE$，$AC=10$代入得：$2AE^2=10^2$，
即$AE^2=50$，
∵AE为线段长度，取正值，
∴$AE=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，再结合特殊角度直角三角形的特征，借助勾股定理求解线段长，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先由已知AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，E是BD中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AE垂直BD，即△AEC是直角三角形；再结合∠C=45°，可判断△AEC为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AD，E为BD中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AE⊥BD，即∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，∠C=45°，
∴∠EAC=90°-∠C=45°，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=EC。
根据勾股定理：$AE^2 + EC^2 = AC^2$，
将$EC=AE$，$AC=10$代入得：$2AE^2=10^2$，
即$AE^2=50$，
∵AE为线段长度，取正值，
∴$AE=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，再结合特殊角度直角三角形的特征，借助勾股定理求解线段长，计算时注意二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
13.如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB.小明想知道A，B两地间的距离，测得AC=50 m，∠A=45°，∠B=30°，A，B两地间距离为
$(25\sqrt{2}+25\sqrt{6})\mathrm{m}$
.答案
13.$(25\sqrt{2}+25\sqrt{6})\mathrm{m}$
解析
【分析】
要求A、B两地的距离，即求线段AB的长度，可通过过点C作AB的垂线，将△ABC分割为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别求出两个直角三角形中与AB相关的线段长，相加即可得到AB的长度。具体思路为：①过C作CD⊥AB于D，构造Rt△ACD和Rt△BCD；②在Rt△ACD中，利用∠A=45°和AC的长度求出AD、CD的长；③在Rt△BCD中，利用∠B=30°和已求的CD长度求出BD的长；④AB=AD+BD，代入数值计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为点D。
在Rt△ACD中，∠A=45°，AC=50m，
∴ $CD = AC · \sin45° = 50 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$，
$AD = AC · \cos45° = 50 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，∠B=30°，$CD=25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$，
∵ $\tan B = \frac{CD}{BD}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan30°} = \frac{25\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 25\sqrt{6} \ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AD + BD = (25\sqrt{2} + 25\sqrt{6}) \ \mathrm{m}$。
【答案】
$(25\sqrt{2}+25\sqrt{6})\mathrm{m}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线（高）将斜三角形转化为两个直角三角形，再结合特殊角的三角函数值进行计算，考查了学生转化思想的应用和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
要求A、B两地的距离，即求线段AB的长度，可通过过点C作AB的垂线，将△ABC分割为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别求出两个直角三角形中与AB相关的线段长，相加即可得到AB的长度。具体思路为：①过C作CD⊥AB于D，构造Rt△ACD和Rt△BCD；②在Rt△ACD中，利用∠A=45°和AC的长度求出AD、CD的长；③在Rt△BCD中，利用∠B=30°和已求的CD长度求出BD的长；④AB=AD+BD，代入数值计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为点D。
在Rt△ACD中，∠A=45°，AC=50m，
∴ $CD = AC · \sin45° = 50 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$，
$AD = AC · \cos45° = 50 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，∠B=30°，$CD=25\sqrt{2} \ \mathrm{m}$，
∵ $\tan B = \frac{CD}{BD}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan30°} = \frac{25\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 25\sqrt{6} \ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AD + BD = (25\sqrt{2} + 25\sqrt{6}) \ \mathrm{m}$。
【答案】
$(25\sqrt{2}+25\sqrt{6})\mathrm{m}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线（高）将斜三角形转化为两个直角三角形，再结合特殊角的三角函数值进行计算，考查了学生转化思想的应用和基本运算能力。
【难度系数】
0.7
14.如图,在直线l上有正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和16,则b的面积为
20
. 答案
14.20
解析
【分析】要计算正方形b的面积，需要先求出其边长的平方。首先利用正方形的性质得到边相等、内角为90°，通过角的互余关系证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，再结合勾股定理即可求出正方形b边长的平方，也就是它的面积。
【解析】
解：
∵正方形的各内角均为90°，各边相等，
∴$AC=CD$，$∠ACD=90°$，$∠ABC=∠CED=90°$，
∴$∠ACB + ∠DCE = 180° - 90° = 90°$，
又
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB + ∠BAC = 90°$，
∴$∠BAC = ∠DCE$，
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠CED \\∠BAC=∠ECD \\AC=CD\end{array} $
∴$△ ABC≌△ CED（AAS）$，
∴$BC=DE$，
∵正方形a的面积为4，
∴$AB^2=4$，
∵正方形c的面积为16，
∴$DE^2=16$，即$BC^2=16$，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：$AC^2=AB^2 + BC^2=4+16=20$，
∴正方形b的面积为$AC^2=20$。
【答案】20
【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题是勾股定理与正方形、全等三角形结合的典型几何题，解题关键是通过角的互余关系证明三角形全等，将两个小正方形的面积与所求正方形的面积通过勾股定理建立联系。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵正方形的各内角均为90°，各边相等，
∴$AC=CD$，$∠ACD=90°$，$∠ABC=∠CED=90°$，
∴$∠ACB + ∠DCE = 180° - 90° = 90°$，
又
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB + ∠BAC = 90°$，
∴$∠BAC = ∠DCE$，
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠CED \\∠BAC=∠ECD \\AC=CD\end{array} $
∴$△ ABC≌△ CED（AAS）$，
∴$BC=DE$，
∵正方形a的面积为4，
∴$AB^2=4$，
∵正方形c的面积为16，
∴$DE^2=16$，即$BC^2=16$，
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：$AC^2=AB^2 + BC^2=4+16=20$，
∴正方形b的面积为$AC^2=20$。
【答案】20
【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题是勾股定理与正方形、全等三角形结合的典型几何题，解题关键是通过角的互余关系证明三角形全等，将两个小正方形的面积与所求正方形的面积通过勾股定理建立联系。
【难度系数】0.7
15.如图，在$△ ABC$中，$BC=5$，$AC=12$，$AB=13$，动点$P$从点$B$出发沿射线$BC$以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为$t$秒，若$△ ABP$为等腰三角形，则$t=$
10 或 13 或 16.9
。答案
15.10 或 13 或 16.9
解析
【分析】
首先根据△ABC三边长度，利用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。要使△ABP为等腰三角形，需分三种情况分类讨论：①AB为腰，且B为顶点，即AB=BP；②AB为腰，且A为顶点，即AB=AP；③AB为底，即AP=BP。结合P的运动速度，分别计算每种情况下BP的长度，即可得到t的值，注意P在射线BC上运动，需考虑P在点C右侧的情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，
∴$BC^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BC$。
∵动点P的速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，
∴$BP=t$。
分三种情况讨论△ABP为等腰三角形：
1. 当$AB=BP$时：
∵$AB=13$，
∴$BP=13$，即$t=13$。
2. 当$AB=AP$时：
∵$AC⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，C为BP中点，
∴$BP=2BC=2×5=10$，即$t=10$。
3. 当$AP=BP$时：
设$AP=BP=t$，则$PC=BP-BC=t-5$，
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得：$AC^2 + PC^2 = AP^2$，
代入得：$12^2 + (t-5)^2 = t^2$，
展开计算：$144 + t^2 -10t +25 = t^2$，
化简得：$10t=169$，解得$t=16.9$。
综上，t的值为10或13或16.9。
【答案】
10或13或16.9
【知识点】
勾股定理及逆定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形存在性的动点问题，解题核心是先确定原三角形的形状，再按照等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论，结合勾股定理列方程求解，解题时要注意动点的运动范围是射线，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据△ABC三边长度，利用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。要使△ABP为等腰三角形，需分三种情况分类讨论：①AB为腰，且B为顶点，即AB=BP；②AB为腰，且A为顶点，即AB=AP；③AB为底，即AP=BP。结合P的运动速度，分别计算每种情况下BP的长度，即可得到t的值，注意P在射线BC上运动，需考虑P在点C右侧的情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，
∴$BC^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BC$。
∵动点P的速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，
∴$BP=t$。
分三种情况讨论△ABP为等腰三角形：
1. 当$AB=BP$时：
∵$AB=13$，
∴$BP=13$，即$t=13$。
2. 当$AB=AP$时：
∵$AC⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，C为BP中点，
∴$BP=2BC=2×5=10$，即$t=10$。
3. 当$AP=BP$时：
设$AP=BP=t$，则$PC=BP-BC=t-5$，
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得：$AC^2 + PC^2 = AP^2$，
代入得：$12^2 + (t-5)^2 = t^2$，
展开计算：$144 + t^2 -10t +25 = t^2$，
化简得：$10t=169$，解得$t=16.9$。
综上，t的值为10或13或16.9。
【答案】
10或13或16.9
【知识点】
勾股定理及逆定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形存在性的动点问题，解题核心是先确定原三角形的形状，再按照等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论，结合勾股定理列方程求解，解题时要注意动点的运动范围是射线，避免漏解。
【难度系数】
0.6
16.解方程：$\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{3x+3}-1.$
答案
方程两边乘$3(x+1)$，
得 $3x=2x-3(x+1)$，
解得 $x=-\dfrac{3}{4}.$
检验:当 $x=-\dfrac{3}{4}$时,$3(x+1)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=-\dfrac{3}{4}.$
得 $3x=2x-3(x+1)$，
解得 $x=-\dfrac{3}{4}.$
检验:当 $x=-\dfrac{3}{4}$时,$3(x+1)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=-\dfrac{3}{4}.$
解析
【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先观察方程的分母，将3x+3因式分解为3(x+1)，可确定最简公分母为3(x+1)；再将方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项-1；接下来解整式方程，最后将求得的根代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
先对分母因式分解得：$3x+3=3(x+1)$
方程两边同时乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x=2x-3(x+1)$
展开并整理整式方程：
$3x=2x-3x-3$
移项、合并同类项得：$4x=-3$
系数化为1得：$x=-\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{4}$时，$3(x+1)=3×(-\dfrac{3}{4}+1)=\dfrac{3}{4}≠0$，因此$x=-\dfrac{3}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式方程的解法，去分母法则，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项，以及忘记检验根的有效性，熟练掌握分式方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先观察方程的分母，将3x+3因式分解为3(x+1)，可确定最简公分母为3(x+1)；再将方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项-1；接下来解整式方程，最后将求得的根代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
先对分母因式分解得：$3x+3=3(x+1)$
方程两边同时乘最简公分母$3(x+1)$，得：
$3x=2x-3(x+1)$
展开并整理整式方程：
$3x=2x-3x-3$
移项、合并同类项得：$4x=-3$
系数化为1得：$x=-\dfrac{3}{4}$
检验：当$x=-\dfrac{3}{4}$时，$3(x+1)=3×(-\dfrac{3}{4}+1)=\dfrac{3}{4}≠0$，因此$x=-\dfrac{3}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
分式方程的解法，去分母法则，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项，以及忘记检验根的有效性，熟练掌握分式方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
17.求值：
(1)已知 $x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$,求 $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ 的值；
(2)已知 $x=\sqrt{10}-2$,求代数式 $x^2+4x-6$ 的值。
(1)已知 $x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$,求 $\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ 的值；
(2)已知 $x=\sqrt{10}-2$,求代数式 $x^2+4x-6$ 的值。
答案
(1)因为 $x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$,
所以 $xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$,
所以 $x+y=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$,
所以 $x-y=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$,
所以 $\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2-y^2}{xy} = \dfrac{(x+y)(x-y)}{xy} = \dfrac{2\sqrt{3}× 2}{2}=2\sqrt{3}.$
(2)$x^2 + 4x - 6 = x^2 + 4x + 4 - 10 = (x + 2)^2 - 10$,
因为 $x=\sqrt{10}-2$,
所以原式$=(\sqrt{10}-2+2)^2-10=0.$
所以 $xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$,
所以 $x+y=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$,
所以 $x-y=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2$,
所以 $\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2-y^2}{xy} = \dfrac{(x+y)(x-y)}{xy} = \dfrac{2\sqrt{3}× 2}{2}=2\sqrt{3}.$
(2)$x^2 + 4x - 6 = x^2 + 4x + 4 - 10 = (x + 2)^2 - 10$,
因为 $x=\sqrt{10}-2$,
所以原式$=(\sqrt{10}-2+2)^2-10=0.$
解析
【分析】
(1) 若直接代入x、y的值计算分式，运算量大易出错，可先对目标分式通分化简：$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$，因此只需先算出$x+y$、$x-y$、$xy$三个整体的值，再代入化简后的式子即可快速求解。
(2) 直接代入x的值计算二次多项式运算较繁琐，观察多项式$x^2+4x-6$的结构，可通过配方法将其变形为含$(x+2)$的完全平方式，结合已知$x=\sqrt{10}-2$可得$x+2=\sqrt{10}$，整体代入后计算更简便。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，先计算三个整体的值：
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，
$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$x-y=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$，
将上述结果代入化简后的分式：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=\frac{2\sqrt{3}×2}{2}=2\sqrt{3}$。
(2) 先对代数式配方变形：
$x^2+4x-6=x^2+4x+4-10=(x+2)^2-10$，
已知$x=\sqrt{10}-2$，则$x+2=\sqrt{10}$，代入得：
原式$=(\sqrt{10})^2-10=10-10=0$。
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $0$
【知识点】
二次根式运算、代数式化简求值、配方法应用
【点评】
这两道是二次根式求值的典型题型，解题核心是优先对目标代数式进行变形化简，再整体代入已知条件计算，相比直接代入数值运算，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 若直接代入x、y的值计算分式，运算量大易出错，可先对目标分式通分化简：$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$，因此只需先算出$x+y$、$x-y$、$xy$三个整体的值，再代入化简后的式子即可快速求解。
(2) 直接代入x的值计算二次多项式运算较繁琐，观察多项式$x^2+4x-6$的结构，可通过配方法将其变形为含$(x+2)$的完全平方式，结合已知$x=\sqrt{10}-2$可得$x+2=\sqrt{10}$，整体代入后计算更简便。
【解析】
(1) 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，先计算三个整体的值：
$xy=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，
$x+y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$x-y=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$，
将上述结果代入化简后的分式：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=\frac{2\sqrt{3}×2}{2}=2\sqrt{3}$。
(2) 先对代数式配方变形：
$x^2+4x-6=x^2+4x+4-10=(x+2)^2-10$，
已知$x=\sqrt{10}-2$，则$x+2=\sqrt{10}$，代入得：
原式$=(\sqrt{10})^2-10=10-10=0$。
【答案】
(1) $2\sqrt{3}$；(2) $0$
【知识点】
二次根式运算、代数式化简求值、配方法应用
【点评】
这两道是二次根式求值的典型题型，解题核心是优先对目标代数式进行变形化简，再整体代入已知条件计算，相比直接代入数值运算，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
