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7.如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=2$,$BC=\sqrt{13}$.沿过点$A$的直线将纸片折叠,使点$B$落在边$BC$上的点$D$处;再折叠纸片,使点$C$与点$D$重合,若折痕与$AC$的交点为$E$,则$AE$的长是(
A.$\frac{7}{3}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{13}{6}$
D.$\frac{5}{2}$
C
)A.$\frac{7}{3}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{13}{6}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
本题是折叠类几何计算题，核心利用折叠的性质结合勾股定理解题。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；再根据两次折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，推导得出△ADE为直角三角形；最后设AE的长为x，用含x的式子表示DE，在Rt△ADE中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，BC=√13，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13-4}=3$。
根据折叠的性质：
第一次折叠点B落在D处，得$AB=AD=2$，$∠ B=∠ ADB$；
第二次折叠点C与D重合，得$CE=DE$，$∠ C=∠ CDE$。
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ B+∠ C=90°$，
∴$∠ ADB+∠ CDE=∠ B+∠ C=90°$，
又
∵$∠ ADB+∠ ADE+∠ CDE=180°$，
∴$∠ ADE=180°-(∠ ADB+∠ CDE)=90°$，即△ADE是直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，
∴$DE=CE=3-x$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2=AD^2+DE^2$，
即$x^2=2^2+(3-x)^2$，
展开得：$x^2=4+9-6x+x^2$，
整理得：$6x=13$，解得$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题将折叠性质与勾股定理结合考查，解题关键是利用折叠的等量关系推导出直角三角形，再通过设未知数列方程求解，是几何中方程思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
本题是折叠类几何计算题，核心利用折叠的性质结合勾股定理解题。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；再根据两次折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，推导得出△ADE为直角三角形；最后设AE的长为x，用含x的式子表示DE，在Rt△ADE中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，BC=√13，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13-4}=3$。
根据折叠的性质：
第一次折叠点B落在D处，得$AB=AD=2$，$∠ B=∠ ADB$；
第二次折叠点C与D重合，得$CE=DE$，$∠ C=∠ CDE$。
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ B+∠ C=90°$，
∴$∠ ADB+∠ CDE=∠ B+∠ C=90°$，
又
∵$∠ ADB+∠ ADE+∠ CDE=180°$，
∴$∠ ADE=180°-(∠ ADB+∠ CDE)=90°$，即△ADE是直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，
∴$DE=CE=3-x$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2=AD^2+DE^2$，
即$x^2=2^2+(3-x)^2$，
展开得：$x^2=4+9-6x+x^2$，
整理得：$6x=13$，解得$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题将折叠性质与勾股定理结合考查，解题关键是利用折叠的等量关系推导出直角三角形，再通过设未知数列方程求解，是几何中方程思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
8.如图,我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何? 这道题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,正好与岸边齐平,即它的顶端恰好到达池边的水面,水的深度与这根芦苇的长度分别是(
A.5,6
B.10,11
C.11,12
D.12,13
D
)尺(丈和尺是长度单位,1丈=10尺)A.5,6
B.10,11
C.11,12
D.12,13
答案
8.D
解析
【分析】
首先我们可以将这个实际问题转化为直角三角形求解问题：第一步先确定各量的长度，水池水面是边长为1丈即10尺的正方形，芦苇在正中央，所以芦苇到池边的水平距离为边长的一半，也就是5尺；第二步设未知数，我们设水深为x尺，因为芦苇高出水面1尺，所以芦苇的总长度就是(x+1)尺；第三步找等量关系，将芦苇拉到岸边后，芦苇长度是直角三角形的斜边，水深和水平距离是两条直角边，符合勾股定理的使用条件，据此列方程求解即可。
【解析】
先换算单位：1丈=10尺，因此水池边长为10尺，芦苇生长在正中央，所以芦苇到池边的水平距离为$10÷2=5$尺。
设水深为$x$尺，则芦苇的长度为$(x+1)$尺。
将芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开方程右侧：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
消去两侧$x^2$，整理得：$2x=24$
解得$x=12$，则芦苇长度为$12+1=13$尺。
因此水深12尺，葭长13尺，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，核心考查将实际生活问题转化为几何模型的能力，需要准确梳理直角三角形三边的对应关系，结合勾股定理建立方程求解，解题时要注意不要误将水池边长当做水平直角边的长度。
【难度系数】
0.7
首先我们可以将这个实际问题转化为直角三角形求解问题：第一步先确定各量的长度，水池水面是边长为1丈即10尺的正方形，芦苇在正中央，所以芦苇到池边的水平距离为边长的一半，也就是5尺；第二步设未知数，我们设水深为x尺，因为芦苇高出水面1尺，所以芦苇的总长度就是(x+1)尺；第三步找等量关系，将芦苇拉到岸边后，芦苇长度是直角三角形的斜边，水深和水平距离是两条直角边，符合勾股定理的使用条件，据此列方程求解即可。
【解析】
先换算单位：1丈=10尺，因此水池边长为10尺，芦苇生长在正中央，所以芦苇到池边的水平距离为$10÷2=5$尺。
设水深为$x$尺，则芦苇的长度为$(x+1)$尺。
将芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开方程右侧：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
消去两侧$x^2$，整理得：$2x=24$
解得$x=12$，则芦苇长度为$12+1=13$尺。
因此水深12尺，葭长13尺，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，核心考查将实际生活问题转化为几何模型的能力，需要准确梳理直角三角形三边的对应关系，结合勾股定理建立方程求解，解题时要注意不要误将水池边长当做水平直角边的长度。
【难度系数】
0.7
9.将一副直角三角尺和一把宽度为2 cm的直尺按如图所示的方式摆放:先把$60°$和$45°$角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A,B两点，则AB的长是(
A.$2-\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}-2$
D
)cmA.$2-\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}-2$
答案
9.D
解析
【分析】
首先明确直尺宽度是上下沿之间的垂直距离，为2cm。我们过三角尺重合的顶点向直尺上沿作垂线，可得到两个分别含30°、45°角的直角三角形，利用特殊角的正切值分别算出A、B两点到垂足的水平长度，两个长度的差就是AB的长。
【解析】
设两个三角尺重合的顶点为O，过O作OC垂直直尺上沿于点C，则OC=2cm，即直尺的宽度。
1. 对于含60°角的三角尺，斜边OB与直尺上沿的夹角为30°，在Rt△OCB中：
$\tan30°=\frac{OC}{BC}$，因此$BC=\frac{OC}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\mathrm{ cm}$。
2. 对于含45°角的三角尺，斜边OA与直尺上沿的夹角为45°，在Rt△OCA中：
$\tan45°=\frac{OC}{AC}$，因此$AC=\frac{OC}{\tan45°}=\frac{2}{1}=2\mathrm{ cm}$。
3. 因此AB的长度为：$AB=BC-AC=2\sqrt{3}-2\mathrm{ cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角三角函数值
2. 解直角三角形
【点评】
本题结合三角尺和直尺的摆放考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形，理清角度和边长的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先明确直尺宽度是上下沿之间的垂直距离，为2cm。我们过三角尺重合的顶点向直尺上沿作垂线，可得到两个分别含30°、45°角的直角三角形，利用特殊角的正切值分别算出A、B两点到垂足的水平长度，两个长度的差就是AB的长。
【解析】
设两个三角尺重合的顶点为O，过O作OC垂直直尺上沿于点C，则OC=2cm，即直尺的宽度。
1. 对于含60°角的三角尺，斜边OB与直尺上沿的夹角为30°，在Rt△OCB中：
$\tan30°=\frac{OC}{BC}$，因此$BC=\frac{OC}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}\mathrm{ cm}$。
2. 对于含45°角的三角尺，斜边OA与直尺上沿的夹角为45°，在Rt△OCA中：
$\tan45°=\frac{OC}{AC}$，因此$AC=\frac{OC}{\tan45°}=\frac{2}{1}=2\mathrm{ cm}$。
3. 因此AB的长度为：$AB=BC-AC=2\sqrt{3}-2\mathrm{ cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角三角函数值
2. 解直角三角形
【点评】
本题结合三角尺和直尺的摆放考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形，理清角度和边长的对应关系。
【难度系数】
0.6
10.如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为$S_1$，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为$S_2$，……按照此规律继续下去，则$S_{2025}$的值为（
A.$(\dfrac{1}{2})^{2024}$
B.$(\dfrac{1}{2})^{2022}$
C.$(\dfrac{1}{2})^{2021}$
D.$(\dfrac{1}{2})^{2020}$
D
）A.$(\dfrac{1}{2})^{2024}$
B.$(\dfrac{1}{2})^{2022}$
C.$(\dfrac{1}{2})^{2021}$
D.$(\dfrac{1}{2})^{2020}$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时首先计算第一个正方形的面积$S_1$，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，推导后一个正方形面积与前一个正方形面积的比值，总结出$S_n$的通用规律，最后将$n=2025$代入规律式计算即可。首先明确正方形面积等于边长的平方，等腰直角三角形两条直角边相等，结合勾股定理可得后一个正方形的面积是前一个的$\frac{1}{2}$，据此推导通项公式即可求解。
【解析】
1. 计算初始面积$S_1$：
已知正方形$ABCD$边长为4，因此$S_1 = 4×4 = 16$。
2. 推导面积变化规律：
以$CD$为斜边作等腰直角三角形，设该三角形直角边长为$a$，根据勾股定理得$a^2+a^2 = CD^2$，即$2a^2 = CD^2$。
因为$S_2$是以该直角边$a$为边长的正方形面积，即$S_2 = a^2$，因此$S_2 = \frac{CD^2}{2} = \frac{S_1}{2} = 16×\frac{1}{2}$。
同理可推，$S_3 = \frac{S_2}{2} = 16×(\frac{1}{2})^2$，以此类推，可得通用规律：$S_n = 16×(\frac{1}{2})^{n-1}$。
3. 代入$n=2025$计算：
将$n=2025$代入规律式，结合$16=2^4$得：
$S_{2025}=2^4×(\frac{1}{2})^{2025-1}=2^4×(\frac{1}{2})^{2024}=(\frac{1}{2})^{2024-4}=(\frac{1}{2})^{2020}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，规律探究
【点评】
本题结合几何性质与规律探究进行考查，解题核心是通过勾股定理得到相邻正方形面积的数量关系，总结通项公式后即可求解，计算时要注意指数的运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.65
解题时首先计算第一个正方形的面积$S_1$，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，推导后一个正方形面积与前一个正方形面积的比值，总结出$S_n$的通用规律，最后将$n=2025$代入规律式计算即可。首先明确正方形面积等于边长的平方，等腰直角三角形两条直角边相等，结合勾股定理可得后一个正方形的面积是前一个的$\frac{1}{2}$，据此推导通项公式即可求解。
【解析】
1. 计算初始面积$S_1$：
已知正方形$ABCD$边长为4，因此$S_1 = 4×4 = 16$。
2. 推导面积变化规律：
以$CD$为斜边作等腰直角三角形，设该三角形直角边长为$a$，根据勾股定理得$a^2+a^2 = CD^2$，即$2a^2 = CD^2$。
因为$S_2$是以该直角边$a$为边长的正方形面积，即$S_2 = a^2$，因此$S_2 = \frac{CD^2}{2} = \frac{S_1}{2} = 16×\frac{1}{2}$。
同理可推，$S_3 = \frac{S_2}{2} = 16×(\frac{1}{2})^2$，以此类推，可得通用规律：$S_n = 16×(\frac{1}{2})^{n-1}$。
3. 代入$n=2025$计算：
将$n=2025$代入规律式，结合$16=2^4$得：
$S_{2025}=2^4×(\frac{1}{2})^{2025-1}=2^4×(\frac{1}{2})^{2024}=(\frac{1}{2})^{2024-4}=(\frac{1}{2})^{2020}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，规律探究
【点评】
本题结合几何性质与规律探究进行考查，解题核心是通过勾股定理得到相邻正方形面积的数量关系，总结通项公式后即可求解，计算时要注意指数的运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.65
11.如图，在$△ ABC$中，$BD⊥ AC$，$∠ A=50°$，$∠ CBD=25°$。若$AC=5\ \mathrm{cm}$，则$AB=$
5 cm
。答案
11.5 cm
解析
【分析】
解题时先从垂直的已知条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，再结合三角形内角和定理计算出∠ABC的度数，通过对比∠ABC和∠C的度数，利用等角对等边的性质得到AB和AC的等量关系，最后代入AC的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ BDC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ CBD=25°$，
∴ $∠ C=90°-∠ CBD=90°-25°=65°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，$∠ A=50°$，
∴ $∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-65°=65°$，
∴ $∠ ABC=∠ C$，
根据等角对等边，可得$AB=AC$，
∵ $AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形性质、三角形内角和、等腰三角形判定结合考查，解题核心是通过角度计算得到角相等的关系，进而推导边的等量关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从垂直的已知条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，再结合三角形内角和定理计算出∠ABC的度数，通过对比∠ABC和∠C的度数，利用等角对等边的性质得到AB和AC的等量关系，最后代入AC的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ BDC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ CBD=25°$，
∴ $∠ C=90°-∠ CBD=90°-25°=65°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，$∠ A=50°$，
∴ $∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-65°=65°$，
∴ $∠ ABC=∠ C$，
根据等角对等边，可得$AB=AC$，
∵ $AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；等角对等边
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形性质、三角形内角和、等腰三角形判定结合考查，解题核心是通过角度计算得到角相等的关系，进而推导边的等量关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
