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18. 如图所示,在四边形ABCD中,$∠B=90°,AB=4,BC=CD=2,AD=2\sqrt{6}$.
(1)求$∠ACD$的度数；
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)求$∠ACD$的度数；
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
[解](1)因为$∠ B=90°$,$AB=4$,$BC=2$,
所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{5}$.
因为 $AC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+2^2=24$,$AD^2=(2\sqrt{6})^2=24$,
所以 $AC^2+CD^2=AD^2$,
所以$△ ACD$是直角三角形,
所以$∠ ACD=90°$.
(2)$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}BC· AB+\dfrac{1}{2}CD· AC$
$=\dfrac{1}{2}×2×4+\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{5}$
$=4+2\sqrt{5}$.
所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{5}$.
因为 $AC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+2^2=24$,$AD^2=(2\sqrt{6})^2=24$,
所以 $AC^2+CD^2=AD^2$,
所以$△ ACD$是直角三角形,
所以$∠ ACD=90°$.
(2)$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}BC· AB+\dfrac{1}{2}CD· AC$
$=\dfrac{1}{2}×2×4+\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{5}$
$=4+2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要求∠ACD的度数，首先观察到△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先通过勾股定理求出AC的长度；得到AC长度后，△ACD三边长均为已知，可通过勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，进而得到∠ACD的度数。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可将其分割为△ABC和△ACD两个三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1)
∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
在△ACD中，$AC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+2^2=24$，$AD^2=(2\sqrt{6})^2=24$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，AD为斜边，
∴∠ACD=90°。
(2) 四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}AB· BC+\dfrac{1}{2}AC· CD$
$=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×2\sqrt{5}×2$
$=4+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{4+2\sqrt{5}}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用题型，解题核心是合理转化不规则图形为规则图形，利用直角三角形的性质计算边长和面积，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠ACD的度数，首先观察到△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先通过勾股定理求出AC的长度；得到AC长度后，△ACD三边长均为已知，可通过勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，进而得到∠ACD的度数。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可将其分割为△ABC和△ACD两个三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1)
∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
在△ACD中，$AC^2+CD^2=(2\sqrt{5})^2+2^2=24$，$AD^2=(2\sqrt{6})^2=24$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，AD为斜边，
∴∠ACD=90°。
(2) 四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\dfrac{1}{2}AB· BC+\dfrac{1}{2}AC· CD$
$=\dfrac{1}{2}×4×2+\dfrac{1}{2}×2\sqrt{5}×2$
$=4+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $\boxed{4+2\sqrt{5}}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用题型，解题核心是合理转化不规则图形为规则图形，利用直角三角形的性质计算边长和面积，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
19.“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某路段MN上限速60千米/时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒,已知∠CBN=60°,BC=200米,AC=100\sqrt{6}米.
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73$)
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
[解](1)如图,过点 $C$ 作 $CH⊥ MN$ 于 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,
因为 $∠ CBN=60°$,
所以 $∠ BCH=30°$.
因为 $BC=200$ 米,
所以 $BH=\dfrac{1}{2}BC=100$(米),
所以 $CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=100\sqrt{3}$(米),
即观测点 $C$ 到公路 $MN$ 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米.
(2)此车没有超速.理由:
因为 $AC=100\sqrt{6}$ 米,$∠ CHA=90°$,
所以 $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=100\sqrt{3}$(米)
所以 $AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100\approx73$(米),
所以车速为 $73÷5=\dfrac{73}{5}$(米/秒).
因为 60 千米/时$=\dfrac{50}{3}$米/秒,$\dfrac{73}{5}＜\dfrac{50}{3}$,
所以此车没有超速.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求观测点C到公路MN的距离：点到直线的距离可通过作垂线构造直角三角形求解，过C作CH⊥MN于H，CH即为所求距离。在Rt△BCH中，已知∠CBN=60°、BC=200米，先利用含30°角的直角三角形性质求出BH，再用勾股定理计算CH的长度即可。
2. 判断车辆是否超速：需先算出AB的长度，再计算车速和限速比较。在Rt△ACH中，已知AC、CH的长度，用勾股定理求出AH，由AB=AH-BH得到AB的长度，再根据“速度=路程÷时间”算出车速，最后将限速60千米/时换算为米/秒，和计算出的车速比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 如图，过点 $C$ 作 $CH⊥ MN$ 于 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中，
$\because ∠ CBN=60°$,
$\therefore ∠ BCH=30°$.
$\because BC=200$ 米,
$\therefore BH=\dfrac{1}{2}BC=100$米,
$\therefore CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{200^2-100^2}=100\sqrt{3}$米,
即观测点 $C$ 到公路 $MN$ 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米。
(2) 此车没有超速，理由如下：
在 $\mathrm{Rt}△ACH$ 中，$AC=100\sqrt{6}$ 米，$∠ CHA=90°$,
$\therefore AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{(100\sqrt{6})^2-(100\sqrt{3})^2}=100\sqrt{3}$米,
$\therefore AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100\approx100×1.73-100=73$米,
$\therefore$ 车辆行驶速度为 $73÷5=14.6$米/秒。
限速单位换算：$60\mathrm{千米/时}=60×1000\mathrm{米}÷3600\mathrm{秒}=\dfrac{50}{3}\approx16.7$米/秒，
$\because 14.6＜16.7$，
$\therefore$ 此车没有超速。
【答案】
[解](1)如图,过点 $C$ 作 $CH⊥ MN$ 于 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,
因为 $∠ CBN=60°$,
所以 $∠ BCH=30°$.
因为 $BC=200$ 米,
所以 $BH=\dfrac{1}{2}BC=100$(米),
所以 $CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=100\sqrt{3}$(米),
即观测点 $C$ 到公路 $MN$ 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米.
(2)此车没有超速.理由:
因为 $AC=100\sqrt{6}$ 米,$∠ CHA=90°$,
所以 $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=100\sqrt{3}$(米)
所以 $AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100\approx73$(米),
所以车速为 $73÷5=\dfrac{73}{5}$(米/秒).
因为 60 千米/时$=\dfrac{50}{3}$米/秒,$\dfrac{73}{5}＜\dfrac{50}{3}$,
所以此车没有超速.
【知识点】
勾股定理，直角三角形性质，速度单位换算
【点评】
本题结合实际交通测速场景，考查了直角三角形相关知识的应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，同时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求观测点C到公路MN的距离：点到直线的距离可通过作垂线构造直角三角形求解，过C作CH⊥MN于H，CH即为所求距离。在Rt△BCH中，已知∠CBN=60°、BC=200米，先利用含30°角的直角三角形性质求出BH，再用勾股定理计算CH的长度即可。
2. 判断车辆是否超速：需先算出AB的长度，再计算车速和限速比较。在Rt△ACH中，已知AC、CH的长度，用勾股定理求出AH，由AB=AH-BH得到AB的长度，再根据“速度=路程÷时间”算出车速，最后将限速60千米/时换算为米/秒，和计算出的车速比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 如图，过点 $C$ 作 $CH⊥ MN$ 于 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中，
$\because ∠ CBN=60°$,
$\therefore ∠ BCH=30°$.
$\because BC=200$ 米,
$\therefore BH=\dfrac{1}{2}BC=100$米,
$\therefore CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{200^2-100^2}=100\sqrt{3}$米,
即观测点 $C$ 到公路 $MN$ 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米。
(2) 此车没有超速，理由如下：
在 $\mathrm{Rt}△ACH$ 中，$AC=100\sqrt{6}$ 米，$∠ CHA=90°$,
$\therefore AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{(100\sqrt{6})^2-(100\sqrt{3})^2}=100\sqrt{3}$米,
$\therefore AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100\approx100×1.73-100=73$米,
$\therefore$ 车辆行驶速度为 $73÷5=14.6$米/秒。
限速单位换算：$60\mathrm{千米/时}=60×1000\mathrm{米}÷3600\mathrm{秒}=\dfrac{50}{3}\approx16.7$米/秒，
$\because 14.6＜16.7$，
$\therefore$ 此车没有超速。
【答案】
[解](1)如图,过点 $C$ 作 $CH⊥ MN$ 于 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,
因为 $∠ CBN=60°$,
所以 $∠ BCH=30°$.
因为 $BC=200$ 米,
所以 $BH=\dfrac{1}{2}BC=100$(米),
所以 $CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=100\sqrt{3}$(米),
即观测点 $C$ 到公路 $MN$ 的距离为 $100\sqrt{3}$ 米.
(2)此车没有超速.理由:
因为 $AC=100\sqrt{6}$ 米,$∠ CHA=90°$,
所以 $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=100\sqrt{3}$(米)
所以 $AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100\approx73$(米),
所以车速为 $73÷5=\dfrac{73}{5}$(米/秒).
因为 60 千米/时$=\dfrac{50}{3}$米/秒,$\dfrac{73}{5}＜\dfrac{50}{3}$,
所以此车没有超速.
【知识点】
勾股定理，直角三角形性质，速度单位换算
【点评】
本题结合实际交通测速场景，考查了直角三角形相关知识的应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，同时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
