22. 在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，D是BC的中点，E是BC的中垂线上的一点，连接BE，CE.

(1)如图1，当点E在AC边上时，若AC＝3，求DE的长度.
(2)如图2，当点E在△ABC内部时，延长BE至点F，连接AF，CF，若CA平分∠ECF，G为AF的中点，求证：2BG＝BF＋CF.
(3)如图3，当点E在△ABC外(AC下方)时，DE与AC交于点H，若△BDE为等腰直角三角形，AB＝2√6，K为平面内一点，将△DCH沿EK翻折得到△D'C'H'，射线D'C'交AB于点M，当D'M最短时，请直接写出D'M²的值.

22.(1)解:
∵等腰三角形 ABC 中,$∠A=30^{\circ },$
$\therefore AB=BC,\therefore ∠C=∠A=30^{\circ }.$
∵点 E 是 BC 中垂线上的一点,
$\therefore EC=EB,$
$\therefore ∠EBC=∠C=30^{\circ },$
$\therefore ∠AEB=∠C+∠CBE=60^{\circ },$
$\therefore ∠ABE=180^{\circ }-∠A-∠AEB=90^{\circ },\therefore AE=2BE=2CE.$
$\because AC=3,\therefore CE=\frac {1}{3}AC=1.$
∵D 是 BC 的中点,$EC=EB,$
$\therefore ED⊥BC.$
$\because ∠C=30^{\circ },$
$\therefore DE=\frac {1}{2}CE=\frac {1}{2}.$
(2)证明:如图,延长 AB 至点 M,使$BM=BA$,连接 MF,MC.
∵G 为 AF 的中点,
$\therefore AG=FG,$
∴BG 是$△AFM$ 的中位线,
则 $MF=2BG.$
延长 BF 至点 N,使 $FN=CF$,连接 CN.

∵CA 平分$∠ECF,$
$\therefore ∠ACE=∠ACF.$
∵E 是 BC 的中垂线上的一点,
$\therefore EC=EB,\therefore ∠EBC=∠ECB,$
$\therefore ∠BFC=180^{\circ }-∠CBF-∠FCB=180^{\circ }-∠CBF-∠FCE-∠ECB=180^{\circ }-2∠ACE-2∠ECB=180^{\circ }-2(∠ACE+∠ECB)=180^{\circ }-2∠ACB=120^{\circ },$
$\therefore ∠CFN=60^{\circ },$
又$\because FN=CF,\therefore △FCN$ 为等边三角形,$\therefore CF=CN,∠FCN=60^{\circ },$
$\because BM=BA,AB=BC,∠BAC=30^{\circ },$
$\therefore ∠BCA=∠BAC=30^{\circ },BM=BC.$
又$\because ∠MBC=∠BAC+∠BCA=60^{\circ },\therefore △BCM$ 是等边三角形,
$\therefore CM=CB,∠BCM=60^{\circ },$
$\therefore ∠FCN=∠BCM=60^{\circ },$
$\therefore ∠BCN=∠MCF,$
$\therefore △FCM≌ △NCB(SAS).$
$\therefore MF=BN,$
$\therefore 2BG=BF+FN=BF+FC,$
即 $2BG=BF+CF.$
(3)$D'M^{2}$ 的值为 $3\sqrt {3}.$