20. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别是边$BA$，$BC$的中点，连接$DE$.点$F$为$CA$延长线上一点，且$FA=\frac{1}{2}AC$，连接$FD$，$FE$，$AE$.
(1)求证：四边形$AFDE$是平行四边形.
(2)若$∠ DEB=∠ DEF$，求证：$EF=EC$.
(3)在(2)的条件下，若$DE=\sqrt{2}$，$∠ C=45°$，求$BC$的长.

20.(1)证明:
∵点 D,E 分别是边 BA,BC 的中点,
$\therefore DE// AC,DE=\frac{1}{2}AC.$
$\because FA=\frac{1}{2}AC,$
$\therefore DE=FA,$
∴四边形 AFDE 是平行四边形.
(2)证明:
∵四边形 AFDE 是平行四边形,
$\therefore DE// AC,DF// AE,$
$\therefore ∠DEB=∠C,∠DEF=∠EFC.$
$\because ∠DEB=∠DEF,$
$\therefore ∠EFC=∠C,\therefore EF=EC.$
(3)解:$\because FA=DE=\sqrt{2},$
$\therefore AC=2DE=2\sqrt{2},$
$\therefore FC=FA+AC=3\sqrt{2}.$
$\because ∠EFC=∠C=45^{\circ },$
$\therefore △EFC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore EF^{2}+EC^{2}=FC^{2},EF=EC=\frac{\sqrt{2}}{2}FC=3,\therefore BC=2EC=6.$

21. 如图，O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH.
(1)求证:四边形DEFH是平行四边形.
(2)若∠OAB＝45°,∠ABO＝30°,OB＝8,求DE的长.

21.(1)证明:
∵D,E,F,H 分别是 OA,OB,BC,AC 的中点,
$\therefore DE// AB,且 DE=\frac{1}{2}AB,HF// AB,且 HF=\frac{1}{2}AB,$
$\therefore DE// HF,且 DE=HF,$
∴四边形 DEFH 是平行四边形.
(2)解:如图,过点 O 作 $OG⊥AB$ 于点 G,

则$∠AGO=∠BGO=90^{\circ }.$
$\because ∠OAB=45^{\circ },∠ABO=30^{\circ },OB=8,$
$\therefore ∠AOG=∠OAB=45^{\circ },OG=\frac{1}{2}OB=4,$
$\therefore AG=OG=4,BG=\sqrt {OB^{2}-OG^{2}}=4\sqrt {3},$
$\therefore AB=AG+BG=4+4\sqrt {3},$
$\therefore DE=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×(4+4\sqrt {3})=2+2\sqrt {3},$
∴DE 的长是 $2+2\sqrt {3}.$