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1.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元，今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5%，支出比去年减少15%，今年比去年多结余1 140元.设小明家去年收入x元，支出y元，则下列方程组正确的是 （
A.$\begin{cases} x+y=1\ 200, \\ (1+5\%)x+(1+15\%)y=1\ 140 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1\ 200, \\ (1+5\%)x-(1-15\%)y=1\ 140 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=1\ 200, \\ (1+5\%)x-(1-15\%)y=1\ 140+1\ 200 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-y=1\ 200, \\ (1+5\%)x+(1-15\%)y=1\ 140+1\ 200 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x+y=1\ 200, \\ (1+5\%)x+(1+15\%)y=1\ 140 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1\ 200, \\ (1+5\%)x-(1-15\%)y=1\ 140 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=1\ 200, \\ (1+5\%)x-(1-15\%)y=1\ 140+1\ 200 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-y=1\ 200, \\ (1+5\%)x+(1-15\%)y=1\ 140+1\ 200 \end{cases}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先抓住收支问题的核心等量关系：结余=收入-支出。第一步先根据去年的收支结余情况列第一个方程：已知去年收入x元，支出y元，结余1200，因此可得x-y=1200，据此可排除第一个方程错误的A、B选项。第二步分析今年的收入和支出：今年收入比去年增加5%，因此今年收入为(1+5%)x；支出比去年减少15%，因此今年支出为(1-15%)y。今年比去年多结余1140，说明今年结余为1200+1140，再结合“今年收入-今年支出=今年结余”即可列出第二个方程，最终确定正确选项。
【解析】
根据“结余=收入-支出”，去年结余1200，可列第一个方程：
$x - y = 1200$
今年收入比去年增加5%，则今年收入为$(1+5\%)x$；今年支出比去年减少15%，则今年支出为$(1-15\%)y$。
今年比去年多结余1140，因此今年结余为$1200 + 1140$，可列第二个方程：
$(1+5\%)x - (1-15\%)y = 1200 + 1140$
联立两个方程，可得对应选项C的方程组。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，增长率计算，收支结余计算
【点评】
本题是典型的收支类实际应用题，解题关键是牢牢把握“结余=收入-支出”的核心公式，注意增长、减少比例对应的基数均为去年的收入和支出，同时要明确今年结余是去年结余加上多出的1140，避免误将1140直接作为今年结余出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住收支问题的核心等量关系：结余=收入-支出。第一步先根据去年的收支结余情况列第一个方程：已知去年收入x元，支出y元，结余1200，因此可得x-y=1200，据此可排除第一个方程错误的A、B选项。第二步分析今年的收入和支出：今年收入比去年增加5%，因此今年收入为(1+5%)x；支出比去年减少15%，因此今年支出为(1-15%)y。今年比去年多结余1140，说明今年结余为1200+1140，再结合“今年收入-今年支出=今年结余”即可列出第二个方程，最终确定正确选项。
【解析】
根据“结余=收入-支出”，去年结余1200，可列第一个方程：
$x - y = 1200$
今年收入比去年增加5%，则今年收入为$(1+5\%)x$；今年支出比去年减少15%，则今年支出为$(1-15\%)y$。
今年比去年多结余1140，因此今年结余为$1200 + 1140$，可列第二个方程：
$(1+5\%)x - (1-15\%)y = 1200 + 1140$
联立两个方程，可得对应选项C的方程组。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，增长率计算，收支结余计算
【点评】
本题是典型的收支类实际应用题，解题关键是牢牢把握“结余=收入-支出”的核心公式，注意增长、减少比例对应的基数均为去年的收入和支出，同时要明确今年结余是去年结余加上多出的1140，避免误将1140直接作为今年结余出错。
【难度系数】
0.7
2. 某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付1.6万元利息，已知甲种贷款每年的利率为3%，乙种贷款每年的利率为3.5%，则该公司申请甲、乙两种贷款的数额分别为
30万元、20万元
.答案
2. 30万元、20万元
解析
【分析】
这是一道利率类的二元一次方程组应用题，解题核心是找到题目中的两个等量关系：①甲种贷款数额+乙种贷款数额=总贷款额50万元；②甲种贷款年利息+乙种贷款年利息=年总利息1.6万元。我们可以通过设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组，再求解方程组得到两种贷款的数额。
【解析】
设该公司申请甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 50 \\3\%x + 3.5\%y = 1.6\end{cases}$
由第一个方程得$y=50-x$，代入第二个方程：
$0.03x + 0.035(50 - x) = 1.6$
展开计算：$0.03x + 1.75 - 0.035x = 1.6$
移项合并同类项：$-0.005x = -0.15$
解得$x=30$，将$x=30$代入$y=50-x$得$y=20$。
【答案】
30万元、20万元
【知识点】
二元一次方程组的应用，利息计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是从题干中提取出贷款总额、利息总额两个等量关系，正确设未知数列方程组求解，计算时注意要将利率的百分数转化为小数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是一道利率类的二元一次方程组应用题，解题核心是找到题目中的两个等量关系：①甲种贷款数额+乙种贷款数额=总贷款额50万元；②甲种贷款年利息+乙种贷款年利息=年总利息1.6万元。我们可以通过设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组，再求解方程组得到两种贷款的数额。
【解析】
设该公司申请甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + y = 50 \\3\%x + 3.5\%y = 1.6\end{cases}$
由第一个方程得$y=50-x$，代入第二个方程：
$0.03x + 0.035(50 - x) = 1.6$
展开计算：$0.03x + 1.75 - 0.035x = 1.6$
移项合并同类项：$-0.005x = -0.15$
解得$x=30$，将$x=30$代入$y=50-x$得$y=20$。
【答案】
30万元、20万元
【知识点】
二元一次方程组的应用，利息计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题关键是从题干中提取出贷款总额、利息总额两个等量关系，正确设未知数列方程组求解，计算时注意要将利率的百分数转化为小数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
3.一个甲玩具和一个乙玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两种玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元.
(1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是
(2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元.
(3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
(1)若甲玩具每个的成本为x元，则甲玩具的标价是
$1.6x$
元，甲玩具的售价是$1.44x$
元；若乙玩具每个的成本是y元，则乙玩具的标价是$1.5y$
元，乙玩具的售价是$1.35y$
元.(用含x,y的式子填空)(2)在(1)的条件下，求甲、乙玩具每个的成本各是多少元.
(3)在(1)的条件下，商店老板决定投入1000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
答案
3.【解】(1)$1.6x$;$1.44x$;$1.5y$;$1.35y$
(2)依题意,得 $\begin{cases} x+y=300, \\ 1.44x+1.35y-300=114, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=100, \\ y=200. \end{cases}$
所以甲玩具每个的成本是100元,乙玩具每个的成本是200元.
(3)设购进$m$个甲玩具,$n$个乙玩具,
依题意,得 $100m+200n=1\ 000$,化简得 $m=10-2n$.
又因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} m=8, \\ n=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=6, \\ n=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=4, \\ n=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=2, \\ n=4. \end{cases}$
所以共有4种进货方案,方案1:购进8个甲玩具,1个乙玩具;方案2:购进6个甲玩具,2个乙玩具;方案3:购进4个甲玩具,3个乙玩具;方案4:购进2个甲玩具,4个乙玩具.
(2)依题意,得 $\begin{cases} x+y=300, \\ 1.44x+1.35y-300=114, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=100, \\ y=200. \end{cases}$
所以甲玩具每个的成本是100元,乙玩具每个的成本是200元.
(3)设购进$m$个甲玩具,$n$个乙玩具,
依题意,得 $100m+200n=1\ 000$,化简得 $m=10-2n$.
又因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} m=8, \\ n=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=6, \\ n=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=4, \\ n=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=2, \\ n=4. \end{cases}$
所以共有4种进货方案,方案1:购进8个甲玩具,1个乙玩具;方案2:购进6个甲玩具,2个乙玩具;方案3:购进4个甲玩具,3个乙玩具;方案4:购进2个甲玩具,4个乙玩具.
解析
【分析】
(1) 解题思路：明确销售问题中基本公式：标价=成本×(1+利润率)，售价=标价×折扣，将对应成本、利润率、折扣代入公式即可写出代数式。
(2) 解题思路：根据两个核心等量关系列二元一次方程组：①甲成本+乙成本=300元；②总售价-总成本=总获利114元，解方程组即可得到两个玩具的成本。
(3) 解题思路：结合(2)求出的成本，根据总投入1000元列关于购进数量的二元一次方程，再结合“每种玩具至少购进1个”的限制，即购进数量为正整数，求出所有符合条件的整数解，即为进货方案。
【解析】
(1) 甲玩具成本为x元，按60%利润率标价，标价为$x×(1+60\%)=1.6x$元；按标价九折出售，售价为$1.6x×0.9=1.44x$元。
乙玩具成本为y元，按50%利润率标价，标价为$y×(1+50\%)=1.5y$元；按标价九折出售，售价为$1.5y×0.9=1.35y$元。
(2) 依题意可列方程组：
$\begin{cases} x+y=300, \\ 1.44x+1.35y-300=114, \end{cases}$
将$y=300-x$代入第二个方程，解得$x=100$，再代入得$y=200$。
(3) 设购进$m$个甲玩具，$n$个乙玩具，依题意得：
$100m+200n=1000$，化简得$m=10-2n$。
∵$m,n$均为正整数，
∴$n$可取1、2、3、4，对应$m$的值为8、6、4、2，共4组正整数解。
【答案】
(1)$1.6x$；$1.44x$；$1.5y$；$1.35y$
(2)甲玩具每个成本100元，乙玩具每个成本200元
(3)共有4种进货方案：方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具。
【知识点】
列代数式，二元一次方程组应用，方案设计
【点评】
本题结合实际销售、进货场景，考查了销售问题的基本公式、二元一次方程组的解法，以及实际问题中整数解的应用，解题时需注意实际场景下数量的取值限制，难度适中，贴合生活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：明确销售问题中基本公式：标价=成本×(1+利润率)，售价=标价×折扣，将对应成本、利润率、折扣代入公式即可写出代数式。
(2) 解题思路：根据两个核心等量关系列二元一次方程组：①甲成本+乙成本=300元；②总售价-总成本=总获利114元，解方程组即可得到两个玩具的成本。
(3) 解题思路：结合(2)求出的成本，根据总投入1000元列关于购进数量的二元一次方程，再结合“每种玩具至少购进1个”的限制，即购进数量为正整数，求出所有符合条件的整数解，即为进货方案。
【解析】
(1) 甲玩具成本为x元，按60%利润率标价，标价为$x×(1+60\%)=1.6x$元；按标价九折出售，售价为$1.6x×0.9=1.44x$元。
乙玩具成本为y元，按50%利润率标价，标价为$y×(1+50\%)=1.5y$元；按标价九折出售，售价为$1.5y×0.9=1.35y$元。
(2) 依题意可列方程组：
$\begin{cases} x+y=300, \\ 1.44x+1.35y-300=114, \end{cases}$
将$y=300-x$代入第二个方程，解得$x=100$，再代入得$y=200$。
(3) 设购进$m$个甲玩具，$n$个乙玩具，依题意得：
$100m+200n=1000$，化简得$m=10-2n$。
∵$m,n$均为正整数，
∴$n$可取1、2、3、4，对应$m$的值为8、6、4、2，共4组正整数解。
【答案】
(1)$1.6x$；$1.44x$；$1.5y$；$1.35y$
(2)甲玩具每个成本100元，乙玩具每个成本200元
(3)共有4种进货方案：方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具。
【知识点】
列代数式，二元一次方程组应用，方案设计
【点评】
本题结合实际销售、进货场景，考查了销售问题的基本公式、二元一次方程组的解法，以及实际问题中整数解的应用，解题时需注意实际场景下数量的取值限制，难度适中，贴合生活应用。
【难度系数】
0.7
4. 母题教材P₁₂₂例2 用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表所示：
现要配制一种含5000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料
现要配制一种含5000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，则应买甲种原料
8
kg，乙种原料2
kg。答案
4. 8;2
解析
【分析】
这是典型的二元一次方程组实际应用问题，解题思路如下：1. 明确两个未知量：购买甲、乙两种原料的质量，因此设两个未知数；2. 提取题目中的两个等量关系：①甲原料含有的维生素C总量+乙原料含有的维生素C总量=5000单位；②购买甲原料的费用+购买乙原料的费用=72元；3. 根据等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种原料的质量。
【解析】
解：设应购买甲种原料$x$ kg，乙种原料$y$ kg，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}600x + 100y = 5000 \\ 8x + 4y = 72 \end{cases}$
先化简方程组：
第一个方程两边同时除以100，得：$6x + y = 50$ ③
第二个方程两边同时除以4，得：$2x + y = 18$ ④
用③-④消去$y$，得：$4x = 32$，解得$x=8$
把$x=8$代入④，得：$2×8 + y =18$，解得$y=2$
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
8；2
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题考查利用二元一次方程组解决实际配制类问题，解题核心是找准题干中的等量关系，将实际问题转化为数学方程组求解，属于方程组应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的二元一次方程组实际应用问题，解题思路如下：1. 明确两个未知量：购买甲、乙两种原料的质量，因此设两个未知数；2. 提取题目中的两个等量关系：①甲原料含有的维生素C总量+乙原料含有的维生素C总量=5000单位；②购买甲原料的费用+购买乙原料的费用=72元；3. 根据等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种原料的质量。
【解析】
解：设应购买甲种原料$x$ kg，乙种原料$y$ kg，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}600x + 100y = 5000 \\ 8x + 4y = 72 \end{cases}$
先化简方程组：
第一个方程两边同时除以100，得：$6x + y = 50$ ③
第二个方程两边同时除以4，得：$2x + y = 18$ ④
用③-④消去$y$，得：$4x = 32$，解得$x=8$
把$x=8$代入④，得：$2×8 + y =18$，解得$y=2$
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
8；2
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题考查利用二元一次方程组解决实际配制类问题，解题核心是找准题干中的等量关系，将实际问题转化为数学方程组求解，属于方程组应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
5.某种合金是由A,B两种金属熔炼而成,根据不同用途的需要,两种金属原材料所选的比例也不相同.当A,B两种原料按5:4配料时,该合金材料价格为5 000元/吨;当A种原料占合金的60%时,该合金材料价格为4 860元/吨.则A种金属每吨的价格是
3 600
元.答案
5. 3 600
解析
【分析】
本题存在两个未知量：A种金属的单价、B种金属的单价，结合题目给出的两种不同配料比例下的合金单价，可通过设未知数列二元一次方程组求解。首先根据配料比例算出1吨合金中A、B两种金属各自的质量，再依据“合金总价=A金属总价+B金属总价”的等量关系列方程，最后解方程组即可得到A种金属的单价。
【解析】
设A种金属每吨价格为$ x $元，B种金属每吨价格为$ y $元。
1. 根据A、B按5:4配料时合金价格为5000元/吨，可得1吨合金中含A金属$\frac{5}{5+4}=\frac{5}{9}$吨，含B金属$\frac{4}{9}$吨，列方程：
$\frac{5}{9}x + \frac{4}{9}y = 5000$
两边同乘9化简得：$5x + 4y = 45000$ ①
2. 根据A种原料占60%时合金价格为4860元/吨，可得1吨合金中含A金属0.6吨，含B金属0.4吨，列方程：
$0.6x + 0.4y = 4860$
两边同乘10化简得：$6x + 4y = 48600$ ②
3. 用②式减去①式消去$ y $：
$(6x + 4y) - (5x + 4y) = 48600 - 45000$
解得：$x = 3600$
【答案】
3600
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 按比例分配计算
【点评】
本题结合合金熔炼的实际场景，考查学生提取等量关系、列方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确对应不同配料比例下两种金属的质量占比。
【难度系数】
0.7
本题存在两个未知量：A种金属的单价、B种金属的单价，结合题目给出的两种不同配料比例下的合金单价，可通过设未知数列二元一次方程组求解。首先根据配料比例算出1吨合金中A、B两种金属各自的质量，再依据“合金总价=A金属总价+B金属总价”的等量关系列方程，最后解方程组即可得到A种金属的单价。
【解析】
设A种金属每吨价格为$ x $元，B种金属每吨价格为$ y $元。
1. 根据A、B按5:4配料时合金价格为5000元/吨，可得1吨合金中含A金属$\frac{5}{5+4}=\frac{5}{9}$吨，含B金属$\frac{4}{9}$吨，列方程：
$\frac{5}{9}x + \frac{4}{9}y = 5000$
两边同乘9化简得：$5x + 4y = 45000$ ①
2. 根据A种原料占60%时合金价格为4860元/吨，可得1吨合金中含A金属0.6吨，含B金属0.4吨，列方程：
$0.6x + 0.4y = 4860$
两边同乘10化简得：$6x + 4y = 48600$ ②
3. 用②式减去①式消去$ y $：
$(6x + 4y) - (5x + 4y) = 48600 - 45000$
解得：$x = 3600$
【答案】
3600
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 按比例分配计算
【点评】
本题结合合金熔炼的实际场景，考查学生提取等量关系、列方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确对应不同配料比例下两种金属的质量占比。
【难度系数】
0.7
6. [2026北京大兴区模拟]某公园门票价格如下表，某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为$a$和$b(a＞b)$.若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为$a=$
60
，$b=$30
.答案
6. 60;30 【点拨】因为1 170不能整除16和20,所以两个社团的总人数$a+b≥81$.因为$1\ 170÷13=90$(人),所以$a+b=90$.又因为1 560不能整除16,所以两个社团的人数不可能同时在41~80之间.因为$a＞b$,所以当$1≤ b≤40$,$41≤ a≤80$时,有 $\begin{cases} 20b+16a=1\ 560, \\ a+b=90, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=60, \\ b=30; \end{cases}$
当$1≤ b≤40$,$a＞80$时,有 $\begin{cases} 20b+13a=1\ 560, \\ a+b=90, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac{240}{7}, \\ b=\dfrac{390}{7}, \end{cases}$ 不符合题意.综上,$a=60$,$b=30$.
当$1≤ b≤40$,$a＞80$时,有 $\begin{cases} 20b+13a=1\ 560, \\ a+b=90, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac{240}{7}, \\ b=\dfrac{390}{7}, \end{cases}$ 不符合题意.综上,$a=60$,$b=30$.
解析
【分析】
解题时先根据团体购票的总费用判断两社团总人数所在的购票区间：首先分别计算1170除以各档票价，只有13元/人的档能得到整数结果，因此总人数超过80，可算出总人数为90人。再结合分别购票的总费用1560元，以及a＞b的条件，可知两社团不可能同时在41~80人的购票区间，因此分两种情况讨论：①b在1~40人区间，a在41~80人区间；②b在1~40人区间，a在80人以上区间，分别列二元一次方程组求解，最后验证解是否为整数、符合人数区间要求，排除不符合的解即可。
【解析】
第一步：计算两社团总人数
因为$1170÷20=58.5$，$1170÷16=73.125$，结果都不是整数，只有$1170÷13=90$（人）是正整数，因此两社团总人数$a+b=90$，且总人数在80人以上区间。
第二步：分析分购的票价区间
若两社团人数都在41~80区间，总购票费用应为$16×90=1440$元，与题干1560元不符，因此必有一个社团人数在1~40区间，结合$a＞b$，可知$1≤ b≤40$，分两种情况讨论：
情况1：$41≤ a≤80$
可列方程组：
$\begin{cases}a+b=90\\16a+20b=1560\end{cases}$
将$a=90-b$代入第二个方程：
$16(90-b)+20b=1560$
$1440+4b=1560$
解得$b=30$，则$a=90-30=60$，符合$1≤30≤40$、$41≤60≤80$的区间要求。
情况2：$a＞80$
可列方程组：
$\begin{cases}a+b=90\\13a+20b=1560\end{cases}$
将$a=90-b$代入第二个方程：
$13(90-b)+20b=1560$
$1170+7b=1560$
解得$b=\frac{390}{7}$，不是正整数，不符合人数要求，舍去该情况。
综上可得$a=60$，$b=30$。
【答案】
60；30
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的购票场景考查方程的实际应用，解题的关键是先根据合购费用确定总人数，再结合分购费用分类讨论求解，需要注意人数为正整数这一隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
解题时先根据团体购票的总费用判断两社团总人数所在的购票区间：首先分别计算1170除以各档票价，只有13元/人的档能得到整数结果，因此总人数超过80，可算出总人数为90人。再结合分别购票的总费用1560元，以及a＞b的条件，可知两社团不可能同时在41~80人的购票区间，因此分两种情况讨论：①b在1~40人区间，a在41~80人区间；②b在1~40人区间，a在80人以上区间，分别列二元一次方程组求解，最后验证解是否为整数、符合人数区间要求，排除不符合的解即可。
【解析】
第一步：计算两社团总人数
因为$1170÷20=58.5$，$1170÷16=73.125$，结果都不是整数，只有$1170÷13=90$（人）是正整数，因此两社团总人数$a+b=90$，且总人数在80人以上区间。
第二步：分析分购的票价区间
若两社团人数都在41~80区间，总购票费用应为$16×90=1440$元，与题干1560元不符，因此必有一个社团人数在1~40区间，结合$a＞b$，可知$1≤ b≤40$，分两种情况讨论：
情况1：$41≤ a≤80$
可列方程组：
$\begin{cases}a+b=90\\16a+20b=1560\end{cases}$
将$a=90-b$代入第二个方程：
$16(90-b)+20b=1560$
$1440+4b=1560$
解得$b=30$，则$a=90-30=60$，符合$1≤30≤40$、$41≤60≤80$的区间要求。
情况2：$a＞80$
可列方程组：
$\begin{cases}a+b=90\\13a+20b=1560\end{cases}$
将$a=90-b$代入第二个方程：
$13(90-b)+20b=1560$
$1170+7b=1560$
解得$b=\frac{390}{7}$，不是正整数，不符合人数要求，舍去该情况。
综上可得$a=60$，$b=30$。
【答案】
60；30
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的购票场景考查方程的实际应用，解题的关键是先根据合购费用确定总人数，再结合分购费用分类讨论求解，需要注意人数为正整数这一隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
