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7. [山东竞赛] 甲加工一种零件，乙加工另一种零件.甲用A型机器需要6小时才能完成任务，用B型机器效率降低60%；乙用B型机器需要10小时才能完成任务，用A型机器效率提高20%.若甲用A型机器，乙用B型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务，则甲完成任务所用的时间是
9
小时.答案
7. 9 【点拨】由题意得甲用A型机器每小时加工零件的$\dfrac{1}{6}$,用B型机器每小时加工零件的$(1-60\%)×\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{15}$;乙用B型机器每小时加工零件的$\dfrac{1}{10}$,用A型机器每小时加工零件的$(1+20\%)×\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{25}$.设甲用A型机器$x$小时,用B型机器$y$小时,则乙用B型机器$x$小时,用A型机器$y$小时,根据题意,得 $\begin{cases} \dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{15}y=1, \\ \dfrac{1}{10}x+\dfrac{3}{25}y=1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4, \\ y=5, \end{cases}$ 所以甲完成任务所用的时间是9小时.
解析
【分析】
本题属于工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，先分别计算甲、乙使用A型、B型机器时的工作效率。再结合“同时开始工作、中途交换机器、同时完成任务”的条件，可知甲用A型机器的时间等于乙用B型机器的时间，甲用B型机器的时间等于乙用A型机器的时间，设两个时间段分别为x、y，再根据甲乙各自总工作量为1列二元一次方程组，求解后两个时间相加就是甲完成任务的总时间。
【解析】
1. 计算各场景下的工作效率：
甲用A型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，用B型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}×(1-60\%)=\frac{1}{15}$；
乙用B型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}$，用A型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}×(1+20\%)=\frac{3}{25}$。
2. 设未知数并列方程组：
设甲用A型机器$x$小时，用B型机器$y$小时，由题意得乙用B型机器$x$小时，用A型机器$y$小时，根据总工作量为1可列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{15}y=1 \\ \dfrac{1}{10}x+\dfrac{3}{25}y=1 \end{cases}$
3. 解方程组：
给第一个方程两边同乘30消分母得：$5x + 2y = 30$ ①
给第二个方程两边同乘50消分母得：$5x + 6y = 50$ ②
用②-①得$4y=20$，解得$y=5$；将$y=5$代入①得$5x+10=30$，解得$x=4$。
4. 计算总时间：甲完成任务的总时间为$x+y=4+5=9$小时。
【答案】
9
【知识点】
工程问题，二元一次方程组应用，百分率计算
【点评】
本题是工程问题与二元一次方程组结合的典型应用，解题关键是准确计算不同机器对应的工作效率，抓住“同时开始同时完成、中途交换机器”的条件确定未知数的对应关系，依据总工作量为1列方程组求解即可，重点考查学生分析题意、挖掘等量关系的能力。
【难度系数】
0.4
本题属于工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，先分别计算甲、乙使用A型、B型机器时的工作效率。再结合“同时开始工作、中途交换机器、同时完成任务”的条件，可知甲用A型机器的时间等于乙用B型机器的时间，甲用B型机器的时间等于乙用A型机器的时间，设两个时间段分别为x、y，再根据甲乙各自总工作量为1列二元一次方程组，求解后两个时间相加就是甲完成任务的总时间。
【解析】
1. 计算各场景下的工作效率：
甲用A型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，用B型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}×(1-60\%)=\frac{1}{15}$；
乙用B型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}$，用A型机器每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}×(1+20\%)=\frac{3}{25}$。
2. 设未知数并列方程组：
设甲用A型机器$x$小时，用B型机器$y$小时，由题意得乙用B型机器$x$小时，用A型机器$y$小时，根据总工作量为1可列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{15}y=1 \\ \dfrac{1}{10}x+\dfrac{3}{25}y=1 \end{cases}$
3. 解方程组：
给第一个方程两边同乘30消分母得：$5x + 2y = 30$ ①
给第二个方程两边同乘50消分母得：$5x + 6y = 50$ ②
用②-①得$4y=20$，解得$y=5$；将$y=5$代入①得$5x+10=30$，解得$x=4$。
4. 计算总时间：甲完成任务的总时间为$x+y=4+5=9$小时。
【答案】
9
【知识点】
工程问题，二元一次方程组应用，百分率计算
【点评】
本题是工程问题与二元一次方程组结合的典型应用，解题关键是准确计算不同机器对应的工作效率，抓住“同时开始同时完成、中途交换机器”的条件确定未知数的对应关系，依据总工作量为1列方程组求解即可，重点考查学生分析题意、挖掘等量关系的能力。
【难度系数】
0.4
8. ★★★ 跨学科题 [2025江西] 某文物考古研究院用$1:1$复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒,需要的原材料与出酒率(出酒率=$\frac{出酒量}{糟醅量}×100\%$)如下表:
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤;第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤,且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍,芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅.
(2)受限于当时的生产条件,古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为$\frac{1}{4}$,请问,在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量,需要准备多少公斤大米?
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤;第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤,且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍,芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅.
(2)受限于当时的生产条件,古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为$\frac{1}{4}$,请问,在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量,需要准备多少公斤大米?
答案
8.【解】(1)设第一次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了$x$公斤、$y$公斤,则第二次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了$2x$公斤、$3y$公斤,
由题意可得 $\begin{cases} 30\%x+20\%y=16, \\ 30\%×2x+20\%×3y=36, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=40, \\ y=20. \end{cases}$
所以第一次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了40公斤、20公斤.
(2)两次实验得到的粮食酒总量为$(40+40×2)×30\%=36$(公斤),
设需要准备$z$公斤大米,则粮食糟醅的质量为$4z$公斤,
由题意可得$4z×30\%×80\%=36$,解得$z=37.5$.
所以需要准备37.5公斤大米.
由题意可得 $\begin{cases} 30\%x+20\%y=16, \\ 30\%×2x+20\%×3y=36, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=40, \\ y=20. \end{cases}$
所以第一次实验粮食糟醅和芋头糟醅分别用了40公斤、20公斤.
(2)两次实验得到的粮食酒总量为$(40+40×2)×30\%=36$(公斤),
设需要准备$z$公斤大米,则粮食糟醅的质量为$4z$公斤,
由题意可得$4z×30\%×80\%=36$,解得$z=37.5$.
所以需要准备37.5公斤大米.
解析
【分析】
(1)本题是列方程组解决实际问题的题型，解题核心是找准等量关系：第一次实验粮食酒出酒量+芋头酒出酒量=16公斤；第二次实验粮食酒出酒量+芋头酒出酒量=36公斤。我们可以设第一次实验用的粮食糟醅、芋头糟醅质量分别为x公斤、y公斤，根据出酒率分别表示出两次的出酒量，列二元一次方程组求解即可。
(2)先计算两次实验总共用到的粮食糟醅质量，结合出酒率算出两次实验粮食酒的总出酒量；再根据古代出酒量是现代复原品的80%，以及大米占粮食糟醅$\frac{1}{4}$的条件，设大米质量为未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)设第一次实验粮食糟醅用了$x$公斤，芋头糟醅用了$y$公斤，则第二次实验粮食糟醅用了$2x$公斤，芋头糟醅用了$3y$公斤。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 30\%x+20\%y=16 \\ 30\%×2x+20\%×3y=36 \end{cases}$
化简后求解得$\begin{cases} x=40 \\ y=20 \end{cases}$。
(2)两次实验共使用粮食糟醅$40+2×40=120$公斤，得到的粮食酒总量为$120×30\%=36$公斤。
设需要准备$z$公斤大米，已知粮食糟醅中大米占比为$\frac{1}{4}$，则对应需要的粮食糟醅质量为$4z$公斤，结合古代出酒量为现代复原品的80%，可列方程：
$4z×30\%×80\%=36$
解得$z=37.5$。
【答案】
(1)第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅；
(2)需要准备37.5公斤大米。
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数的实际应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题以考古蒸馏酒实验为背景，情境新颖贴近实际，重点考查学生提取有效信息、找准等量关系列方程求解的能力，解题时需注意区分两次实验糟醅用量的关系以及古今出酒量的差异，避免审题失误。
【难度系数】
0.6
(1)本题是列方程组解决实际问题的题型，解题核心是找准等量关系：第一次实验粮食酒出酒量+芋头酒出酒量=16公斤；第二次实验粮食酒出酒量+芋头酒出酒量=36公斤。我们可以设第一次实验用的粮食糟醅、芋头糟醅质量分别为x公斤、y公斤，根据出酒率分别表示出两次的出酒量，列二元一次方程组求解即可。
(2)先计算两次实验总共用到的粮食糟醅质量，结合出酒率算出两次实验粮食酒的总出酒量；再根据古代出酒量是现代复原品的80%，以及大米占粮食糟醅$\frac{1}{4}$的条件，设大米质量为未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)设第一次实验粮食糟醅用了$x$公斤，芋头糟醅用了$y$公斤，则第二次实验粮食糟醅用了$2x$公斤，芋头糟醅用了$3y$公斤。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 30\%x+20\%y=16 \\ 30\%×2x+20\%×3y=36 \end{cases}$
化简后求解得$\begin{cases} x=40 \\ y=20 \end{cases}$。
(2)两次实验共使用粮食糟醅$40+2×40=120$公斤，得到的粮食酒总量为$120×30\%=36$公斤。
设需要准备$z$公斤大米，已知粮食糟醅中大米占比为$\frac{1}{4}$，则对应需要的粮食糟醅质量为$4z$公斤，结合古代出酒量为现代复原品的80%，可列方程：
$4z×30\%×80\%=36$
解得$z=37.5$。
【答案】
(1)第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅；
(2)需要准备37.5公斤大米。
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数的实际应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题以考古蒸馏酒实验为背景，情境新颖贴近实际，重点考查学生提取有效信息、找准等量关系列方程求解的能力，解题时需注意区分两次实验糟醅用量的关系以及古今出酒量的差异，避免审题失误。
【难度系数】
0.6
9. 某商店分两次购进A,B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A,B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30％，20％。
(1)求第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元。
(2)A,B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元。
①求A,B型两种台灯每台售价分别是多少元。
②若按照第二次购进A,B型两种台灯每台的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案。
(1)求第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元。
(2)A,B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元。
①求A,B型两种台灯每台售价分别是多少元。
②若按照第二次购进A,B型两种台灯每台的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案。
答案
9.【解】(1)设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元,B型台灯每台进价为$y$元.由题意得 $\begin{cases} 10x+20y=3\ 000, \\ 15(1+30\%)x+10(1+20\%)y=4\ 500, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=200, \\ y=50. \end{cases}$
所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元.
(2)①设A型台灯每台售价为$m$元,B型台灯每台售价为$n$元.由题意得
$\begin{cases} 10(m-200)+20(n-50)=2\ 800, \\ 15[m-200(1+30\%)]+10[n-50(1+20\%)]=1\ 800, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=340, \\ n=120. \end{cases}$
所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元.
②第二次购进的A型台灯每台的价格为$200(1+30\%)=260$(元),B型台灯每台的价格为$50(1+20\%)=60$(元).设购进A型台灯$a$台,B型台灯$b$台.由题意得
$(340-260)a+(120-60)b=1\ 000$,整理得$4a+3b=50$.因为$a,b$为自然数,所以 $\begin{cases} a=2, \\ b=14 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=8, \\ b=6 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=11, \\ b=2, \end{cases}$ 所以有4种购进方案:①购进A型台灯2台,B型台灯14台;②购进A型台灯5台,B型台灯10台;③购进A型台灯8台,B型台灯6台;④购进A型台灯11台,B型台灯2台.
解得 $\begin{cases} x=200, \\ y=50. \end{cases}$
所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元.
(2)①设A型台灯每台售价为$m$元,B型台灯每台售价为$n$元.由题意得
$\begin{cases} 10(m-200)+20(n-50)=2\ 800, \\ 15[m-200(1+30\%)]+10[n-50(1+20\%)]=1\ 800, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=340, \\ n=120. \end{cases}$
所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元.
②第二次购进的A型台灯每台的价格为$200(1+30\%)=260$(元),B型台灯每台的价格为$50(1+20\%)=60$(元).设购进A型台灯$a$台,B型台灯$b$台.由题意得
$(340-260)a+(120-60)b=1\ 000$,整理得$4a+3b=50$.因为$a,b$为自然数,所以 $\begin{cases} a=2, \\ b=14 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=8, \\ b=6 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=11, \\ b=2, \end{cases}$ 所以有4种购进方案:①购进A型台灯2台,B型台灯14台;②购进A型台灯5台,B型台灯10台;③购进A型台灯8台,B型台灯6台;④购进A型台灯11台,B型台灯2台.
解析
【分析】
(1) 求第一次A、B型台灯的进价，可设两个未知数，从题干和表格中提取两个等量关系：第一次购进10台A型、20台B型总费用为3000元；第二次A型进价上涨30%、B型进价上涨20%后，购进15台A型、10台B型总费用为4500元，列二元一次方程组即可求解。
(2) ①求A、B型台灯的售价，同样设两个未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”，结合第一次总利润2800元、第二次总利润1800元的条件列方程组求解。
②找购进方案时，先算出第二次的A、B型台灯进价，设再次购进A型$a$台、B型$b$台，根据总利润1000元列等式，整理得到不定方程后，找$a,b$的自然数解，每组解对应一种购进方案。
【解析】
(1) 设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases} 10x+20y=3\ 000, \\ 15(1+30\%)x+10(1+20\%)y=4\ 500, \end{cases}$
化简第二个方程为$19.5x+12y=4500$，结合第一个方程消元求解，得$\begin{cases} x=200, \\ y=50. \end{cases}$
(2) ①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元，由题意得：
$\begin{cases} 10(m-200)+20(n-50)=2\ 800, \\ 15[m-200(1+30\%)]+10[n-50(1+20\%)]=1\ 800, \end{cases}$
化简整理后求解，得$\begin{cases} m=340, \\ n=120. \end{cases}$
②第二次购进时，A型台灯单价为$200×(1+30\%)=260$元，B型台灯单价为$50×(1+20\%)=60$元。
设再次购进A型台灯$a$台，B型台灯$b$台（$a,b$为自然数），由总利润为1000元得：
$(340-260)a+(120-60)b=1\ 000$，整理得$4a+3b=50$。
依次代入自然数$a$求符合条件的$b$，可得解为$\begin{cases} a=2, \\ b=14 \end{cases}$、$\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$、$\begin{cases} a=8, \\ b=6 \end{cases}$、$\begin{cases} a=11, \\ b=2 \end{cases}$，对应4种购进方案。
【答案】
(1) 第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
(2) ①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②共有4种购进方案：方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程求解，利润问题计算
【点评】
本题结合商品进货、销售的实际场景，考查提取等量关系、建立方程求解的能力，解题时要注意区分两次进货的进价差异，求解不定方程时要注意取值为非负整数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
(1) 求第一次A、B型台灯的进价，可设两个未知数，从题干和表格中提取两个等量关系：第一次购进10台A型、20台B型总费用为3000元；第二次A型进价上涨30%、B型进价上涨20%后，购进15台A型、10台B型总费用为4500元，列二元一次方程组即可求解。
(2) ①求A、B型台灯的售价，同样设两个未知数，根据“总利润=单台利润×销售数量”，结合第一次总利润2800元、第二次总利润1800元的条件列方程组求解。
②找购进方案时，先算出第二次的A、B型台灯进价，设再次购进A型$a$台、B型$b$台，根据总利润1000元列等式，整理得到不定方程后，找$a,b$的自然数解，每组解对应一种购进方案。
【解析】
(1) 设第一次购进A型台灯每台进价为$x$元，B型台灯每台进价为$y$元，由题意得：
$\begin{cases} 10x+20y=3\ 000, \\ 15(1+30\%)x+10(1+20\%)y=4\ 500, \end{cases}$
化简第二个方程为$19.5x+12y=4500$，结合第一个方程消元求解，得$\begin{cases} x=200, \\ y=50. \end{cases}$
(2) ①设A型台灯每台售价为$m$元，B型台灯每台售价为$n$元，由题意得：
$\begin{cases} 10(m-200)+20(n-50)=2\ 800, \\ 15[m-200(1+30\%)]+10[n-50(1+20\%)]=1\ 800, \end{cases}$
化简整理后求解，得$\begin{cases} m=340, \\ n=120. \end{cases}$
②第二次购进时，A型台灯单价为$200×(1+30\%)=260$元，B型台灯单价为$50×(1+20\%)=60$元。
设再次购进A型台灯$a$台，B型台灯$b$台（$a,b$为自然数），由总利润为1000元得：
$(340-260)a+(120-60)b=1\ 000$，整理得$4a+3b=50$。
依次代入自然数$a$求符合条件的$b$，可得解为$\begin{cases} a=2, \\ b=14 \end{cases}$、$\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$、$\begin{cases} a=8, \\ b=6 \end{cases}$、$\begin{cases} a=11, \\ b=2 \end{cases}$，对应4种购进方案。
【答案】
(1) 第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
(2) ①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②共有4种购进方案：方案1：购进A型台灯2台，B型台灯14台；方案2：购进A型台灯5台，B型台灯10台；方案3：购进A型台灯8台，B型台灯6台；方案4：购进A型台灯11台，B型台灯2台。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程求解，利润问题计算
【点评】
本题结合商品进货、销售的实际场景，考查提取等量关系、建立方程求解的能力，解题时要注意区分两次进货的进价差异，求解不定方程时要注意取值为非负整数，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
