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7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18 cm；供水6小时，箭尺读数为42 cm.若开始记录时是上午8:00，则当箭尺读数为84 cm时的时间为
21:00
.答案
7. 21:00 【点拨】设箭尺每小时上升 x cm,开始高度为y cm,根据题意,得 $\begin{cases}2x+y=18,① \\6x+y=42,②\end{cases}$
②-①,得 4x=24,解得 x=6.
将 x=6 代入①,得 y=6.
故方程组的解为 $\begin{cases}x=6, \\y=6.\end{cases}$
设当箭尺读数为 84 cm 时,时间为 t,
则 6+6(t-8)=84,解得 t=21.
故当箭尺读数为 84 cm 时的时间是 21:00.
②-①,得 4x=24,解得 x=6.
将 x=6 代入①,得 y=6.
故方程组的解为 $\begin{cases}x=6, \\y=6.\end{cases}$
设当箭尺读数为 84 cm 时,时间为 t,
则 6+6(t-8)=84,解得 t=21.
故当箭尺读数为 84 cm 时的时间是 21:00.
解析
【分析】
这是一道结合古代计时工具的实际应用题，解题核心是抓住箭尺匀速上浮的特点，可知箭尺读数与供水时间呈线性关系，即读数=初始高度+每小时上升高度×供水时间。我们可以先通过题中给出的两组时间和对应读数，设未知数列出二元一次方程组，求出箭尺每小时上升的高度和初始高度，再根据箭尺读数为84cm的条件，列出方程求出对应的供水时长，最后结合开始记录的上午8:00算出最终时间。
【解析】
解：设箭尺每小时上升$x$ cm，开始记录时箭尺的初始高度为$y$ cm，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=18① \\6x+y=42②\end{cases}$
用②式减去①式消去$y$，得：$4x=24$，解得$x=6$
将$x=6$代入①式，得：$2×6 + y =18$，解得$y=6$
即方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=6\end{cases}$
设当箭尺读数为84cm时，对应的时间为$t$（24小时制），此时距离上午8:00的时长为$(t-8)$小时，可列方程：
$6 + 6(t-8) = 84$
解得：$6(t-8)=78$，$t-8=13$，$t=21$
【答案】
21:00
【知识点】
1.二元一次方程组的应用 2.一元一次方程的应用 3.实际问题建模
【点评】
本题以《九章算术》记载的浮箭漏为背景，将数学知识与中国古代科技成就结合，既考查了学生利用方程解决实际问题的能力，又能增强学生的文化自信。解题的关键是抓住“匀速上浮”的特点建立等量关系，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古代计时工具的实际应用题，解题核心是抓住箭尺匀速上浮的特点，可知箭尺读数与供水时间呈线性关系，即读数=初始高度+每小时上升高度×供水时间。我们可以先通过题中给出的两组时间和对应读数，设未知数列出二元一次方程组，求出箭尺每小时上升的高度和初始高度，再根据箭尺读数为84cm的条件，列出方程求出对应的供水时长，最后结合开始记录的上午8:00算出最终时间。
【解析】
解：设箭尺每小时上升$x$ cm，开始记录时箭尺的初始高度为$y$ cm，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=18① \\6x+y=42②\end{cases}$
用②式减去①式消去$y$，得：$4x=24$，解得$x=6$
将$x=6$代入①式，得：$2×6 + y =18$，解得$y=6$
即方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=6\end{cases}$
设当箭尺读数为84cm时，对应的时间为$t$（24小时制），此时距离上午8:00的时长为$(t-8)$小时，可列方程：
$6 + 6(t-8) = 84$
解得：$6(t-8)=78$，$t-8=13$，$t=21$
【答案】
21:00
【知识点】
1.二元一次方程组的应用 2.一元一次方程的应用 3.实际问题建模
【点评】
本题以《九章算术》记载的浮箭漏为背景，将数学知识与中国古代科技成就结合，既考查了学生利用方程解决实际问题的能力，又能增强学生的文化自信。解题的关键是抓住“匀速上浮”的特点建立等量关系，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
8. [2026 徐州模拟] 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的方案.
(1)每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的方案.
答案
8.【解】(1)设每头牛值 x 两银子,每只羊值 y 两银子.
根据题意,得 $\begin{cases}5x+2y=19, \\2x+5y=16,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
所以每头牛值 3 两银子,每只羊值 2 两银子.
(2)设该商人购买了 a 头牛,b 只羊,根据题意,得
$3a+2b=24,$ 所以 $b=\frac{24-3a}{2}.$
因为 a,b 均为正整数,所以 a 为 2 的倍数.
当 a=2 时,$b=\frac{24-3×2}{2}=9$;
当 a=4 时,$b=\frac{24-3×4}{2}=6$;
当 a=6 时,$b=\frac{24-3×6}{2}=3$;
当 a 为大于或等于 8 的正整数时,$b≤0$,不合题意.
所以该方程的正整数解为 $\begin{cases}a=2, \\b=9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=4, \\b=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6, \\b=3,\end{cases}$
即共有三种购买方法：
方案一:购买 2 头牛,9 只羊；
方案二:购买 4 头牛,6 只羊；
方案三:购买 6 头牛,3 只羊.
根据题意,得 $\begin{cases}5x+2y=19, \\2x+5y=16,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
所以每头牛值 3 两银子,每只羊值 2 两银子.
(2)设该商人购买了 a 头牛,b 只羊,根据题意,得
$3a+2b=24,$ 所以 $b=\frac{24-3a}{2}.$
因为 a,b 均为正整数,所以 a 为 2 的倍数.
当 a=2 时,$b=\frac{24-3×2}{2}=9$;
当 a=4 时,$b=\frac{24-3×4}{2}=6$;
当 a=6 时,$b=\frac{24-3×6}{2}=3$;
当 a 为大于或等于 8 的正整数时,$b≤0$,不合题意.
所以该方程的正整数解为 $\begin{cases}a=2, \\b=9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=4, \\b=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6, \\b=3,\end{cases}$
即共有三种购买方法：
方案一:购买 2 头牛,9 只羊；
方案二:购买 4 头牛,6 只羊；
方案三:购买 6 头牛,3 只羊.
解析
【分析】
(1) 第一问为二元一次方程组实际应用问题，先从题干提取两个等量关系：5头牛总价值+2只羊总价值=19两，2头牛总价值+5只羊总价值=16两，设每头牛、每只羊价值分别为x、y两，列方程组求解即可。
(2) 第二问为不定方程正整数解问题，根据总银两24两列出关于购牛数量a、购羊数量b的方程，结合a、b均为正整数的限制条件，筛选符合要求的解即可得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+2y=19 \\2x+5y=16 \end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘2得$10x+4y=38$，第二个方程乘5得$10x+25y=80$，两式相减得$21y=42$，解得$y=2$；将$y=2$代入$5x+2y=19$，得$5x+4=19$，解得$x=3$。
(2) 设商人购买a头牛，b只羊，根据题意得：
$3a+2b=24$，整理得$b=\frac{24-3a}{2}$。
由于a、b均为正整数，因此$24-3a$需为正偶数，即a为2的正整数倍，且$24-3a＞0$，即$a＜8$。
当$a=2$时，$b=\frac{24-3×2}{2}=9$，符合要求；
当$a=4$时，$b=\frac{24-3×4}{2}=6$，符合要求；
当$a=6$时，$b=\frac{24-3×6}{2}=3$，符合要求；
当$a≥8$时，$b≤0$，不符合既有牛也有羊的要求，舍去。
【答案】
(1) 每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
(2) 共有3种购买方法，方案如下：方案一：购买2头牛，9只羊；方案二：购买4头牛，6只羊；方案三：购买6头牛，3只羊。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了二元一次方程组的建模与求解能力，又考查了不定方程整数解的筛选方法，解题时需注意实际问题中未知数的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为二元一次方程组实际应用问题，先从题干提取两个等量关系：5头牛总价值+2只羊总价值=19两，2头牛总价值+5只羊总价值=16两，设每头牛、每只羊价值分别为x、y两，列方程组求解即可。
(2) 第二问为不定方程正整数解问题，根据总银两24两列出关于购牛数量a、购羊数量b的方程，结合a、b均为正整数的限制条件，筛选符合要求的解即可得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+2y=19 \\2x+5y=16 \end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘2得$10x+4y=38$，第二个方程乘5得$10x+25y=80$，两式相减得$21y=42$，解得$y=2$；将$y=2$代入$5x+2y=19$，得$5x+4=19$，解得$x=3$。
(2) 设商人购买a头牛，b只羊，根据题意得：
$3a+2b=24$，整理得$b=\frac{24-3a}{2}$。
由于a、b均为正整数，因此$24-3a$需为正偶数，即a为2的正整数倍，且$24-3a＞0$，即$a＜8$。
当$a=2$时，$b=\frac{24-3×2}{2}=9$，符合要求；
当$a=4$时，$b=\frac{24-3×4}{2}=6$，符合要求；
当$a=6$时，$b=\frac{24-3×6}{2}=3$，符合要求；
当$a≥8$时，$b≤0$，不符合既有牛也有羊的要求，舍去。
【答案】
(1) 每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
(2) 共有3种购买方法，方案如下：方案一：购买2头牛，9只羊；方案二：购买4头牛，6只羊；方案三：购买6头牛，3只羊。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了二元一次方程组的建模与求解能力，又考查了不定方程整数解的筛选方法，解题时需注意实际问题中未知数的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
9. 阅读下列材料，解决问题.
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设母鸡有x只，公鸡有y只.
①小鸡有
②根据题意，列出一个含有x,y的方程为
(2)【探索】小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量比公鸡数量的4倍多2只”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数；
(3)【拓展】小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若公鸡数和母鸡数之和不超过20只，且公鸡数不低于母鸡数”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数.
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿.其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设母鸡有x只，公鸡有y只.
①小鸡有
100-x-y
只，买小鸡一共花费$\frac{100-x-y}{3}$
文钱(用含x,y的式子表示)；②根据题意，列出一个含有x,y的方程为
$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$
；(2)【探索】小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量比公鸡数量的4倍多2只”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数；
(3)【拓展】小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若公鸡数和母鸡数之和不超过20只，且公鸡数不低于母鸡数”，求此时公鸡、母鸡、小鸡的只数.
答案
9.【解】(1)①$(100-x-y)$;$\frac{100-x-y}{3}$
②$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$
(2)由题意得$\begin{cases}3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100, \\x=4y+2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=18, \\y=4.\end{cases}$
所以 $100-x-y=78.$
所以,公鸡有 4 只,母鸡有 18 只,小鸡有 78 只.
(3)根据题意得 $3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100,$
化简得 $x=25-\frac{7}{4}y.$
因为 x,y 均为正整数,所以 y 为 4 的倍数.
当 y=4 时,x=18;当 y=8 时,x=11;当 y=12 时,x=4;当 y=16 时,x=-3(舍去).
又因为 $x+y≤20$,且 $x≤ y$,
所以仅有 x=4,y=12 符合题意,此时 $100-x-y=84.$
所以,公鸡有 12 只,母鸡有 4 只,小鸡有 84 只.
②$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$
(2)由题意得$\begin{cases}3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100, \\x=4y+2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=18, \\y=4.\end{cases}$
所以 $100-x-y=78.$
所以,公鸡有 4 只,母鸡有 18 只,小鸡有 78 只.
(3)根据题意得 $3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100,$
化简得 $x=25-\frac{7}{4}y.$
因为 x,y 均为正整数,所以 y 为 4 的倍数.
当 y=4 时,x=18;当 y=8 时,x=11;当 y=12 时,x=4;当 y=16 时,x=-3(舍去).
又因为 $x+y≤20$,且 $x≤ y$,
所以仅有 x=4,y=12 符合题意,此时 $100-x-y=84.$
所以,公鸡有 12 只,母鸡有 4 只,小鸡有 84 只.
解析
【分析】
（1）①总鸡数为100只，减去母鸡x只、公鸡y只，即可得到小鸡的数量；每3只小鸡值1文，因此小鸡的总花费为小鸡数量除以3。②三种鸡的总花费为100文，将母鸡、公鸡、小鸡的花费相加等于总花费，即可列写方程。
（2）根据新增条件可得x=4y+2，将其与（1）所得方程联立为二元一次方程组，求解得到x、y的值后，即可计算小鸡数量。
（3）先化简（1）所得方程，得到x与y的关系式，结合x、y均为正整数的实际意义，找出所有符合的正整数解，再根据“公鸡数+母鸡数≤20、公鸡数≥母鸡数”的限制条件筛选出符合要求的解，最后计算小鸡数量即可。
【解析】
(1) ① 总鸡数为100只，因此小鸡数量为$(100-x-y)$只；每3只小鸡值1文，因此买小鸡共花费$\frac{100-x-y}{3}$文。
② 三种鸡总花费为100文，母鸡总花费$3x$文，公鸡总花费$5y$文，列方程得：
$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$
(2) 根据题意得方程组：
$\begin{cases}3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100 \\x=4y+2\end{cases}$
将$x=4y+2$代入第一个方程，解得$y=4$，再代入$x=4y+2$得$x=18$，
则小鸡数量为$100-18-4=78$。
(3) 化简方程$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$，两边同乘3整理得$x=25-\frac{7}{4}y$。
因x、y均为正整数，故y为4的正整数倍：
当$y=4$时，$x=18$；当$y=8$时，$x=11$；当$y=12$时，$x=4$；当$y=16$时，$x=-3$（舍去）。
结合限制条件$x+y≤20$且$y≥x$验证：
$y=4,x=18$：$4＜18$，不符合要求，舍去；
$y=8,x=11$：$8＜11$，不符合要求，舍去；
$y=12,x=4$：$12+4=16≤20$且$12≥4$，符合要求。
此时小鸡数量为$100-4-12=84$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{100-x-y}$；$\boldsymbol{\frac{100-x-y}{3}}$ ②$\boldsymbol{3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100}$
(2) 公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
(3) 公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，不等式应用
【点评】
本题以我国古代经典数学问题为背景，考查了方程列写、方程组求解、不定方程解的筛选等知识点，解题时需注意未知数的实际意义为正整数，结合限制条件逐一验证解的合理性，有利于体会传统数学智慧，提升数学应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）①总鸡数为100只，减去母鸡x只、公鸡y只，即可得到小鸡的数量；每3只小鸡值1文，因此小鸡的总花费为小鸡数量除以3。②三种鸡的总花费为100文，将母鸡、公鸡、小鸡的花费相加等于总花费，即可列写方程。
（2）根据新增条件可得x=4y+2，将其与（1）所得方程联立为二元一次方程组，求解得到x、y的值后，即可计算小鸡数量。
（3）先化简（1）所得方程，得到x与y的关系式，结合x、y均为正整数的实际意义，找出所有符合的正整数解，再根据“公鸡数+母鸡数≤20、公鸡数≥母鸡数”的限制条件筛选出符合要求的解，最后计算小鸡数量即可。
【解析】
(1) ① 总鸡数为100只，因此小鸡数量为$(100-x-y)$只；每3只小鸡值1文，因此买小鸡共花费$\frac{100-x-y}{3}$文。
② 三种鸡总花费为100文，母鸡总花费$3x$文，公鸡总花费$5y$文，列方程得：
$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$
(2) 根据题意得方程组：
$\begin{cases}3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100 \\x=4y+2\end{cases}$
将$x=4y+2$代入第一个方程，解得$y=4$，再代入$x=4y+2$得$x=18$，
则小鸡数量为$100-18-4=78$。
(3) 化简方程$3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100$，两边同乘3整理得$x=25-\frac{7}{4}y$。
因x、y均为正整数，故y为4的正整数倍：
当$y=4$时，$x=18$；当$y=8$时，$x=11$；当$y=12$时，$x=4$；当$y=16$时，$x=-3$（舍去）。
结合限制条件$x+y≤20$且$y≥x$验证：
$y=4,x=18$：$4＜18$，不符合要求，舍去；
$y=8,x=11$：$8＜11$，不符合要求，舍去；
$y=12,x=4$：$12+4=16≤20$且$12≥4$，符合要求。
此时小鸡数量为$100-4-12=84$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{100-x-y}$；$\boldsymbol{\frac{100-x-y}{3}}$ ②$\boldsymbol{3x+5y+\frac{100-x-y}{3}=100}$
(2) 公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
(3) 公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，不等式应用
【点评】
本题以我国古代经典数学问题为背景，考查了方程列写、方程组求解、不定方程解的筛选等知识点，解题时需注意未知数的实际意义为正整数，结合限制条件逐一验证解的合理性，有利于体会传统数学智慧，提升数学应用能力。
【难度系数】
0.6
