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1. [2026重庆期中]《天工开物》中记载:“凡扎花灯,需竹篾八分,彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯,每盏大灯用竹篾1.2米、彩绢5米,每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢,设制作大灯$x$盏,小灯$y$盏,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 120, \\5x + 2y = 490\end{cases}$
B.$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 490, \\5x + 2y = 120\end{cases}$
C.$\begin{cases}1.2x + 5y = 120, \\0.5x + 2y = 490\end{cases}$
D.$\begin{cases}1.2x + 5y = 490, \\0.5x + 2y = 120\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 120, \\5x + 2y = 490\end{cases}$
B.$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 490, \\5x + 2y = 120\end{cases}$
C.$\begin{cases}1.2x + 5y = 120, \\0.5x + 2y = 490\end{cases}$
D.$\begin{cases}1.2x + 5y = 490, \\0.5x + 2y = 120\end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先明确题目中的两个等量关系：①制作所有大灯和小灯消耗的竹篾总长度=120米；②制作所有大灯和小灯消耗的彩绢总长度=490米。我们先分别计算x盏大灯、y盏小灯消耗的竹篾长度，相加等于竹篾总长度得到第一个方程；再分别计算x盏大灯、y盏小灯消耗的彩绢长度，相加等于彩绢总长度得到第二个方程，联立方程组后对应选项即可。
【解析】
首先根据竹篾总用量列方程：
每盏大灯用竹篾1.2米，x盏大灯用竹篾1.2x米；每盏小灯用竹篾0.5米，y盏小灯用竹篾0.5y米，总竹篾长120米，可得方程：$1.2x + 0.5y = 120$。
再根据彩绢总用量列方程：
每盏大灯用彩绢5米，x盏大灯用彩绢5x米；每盏小灯用彩绢2米，y盏小灯用彩绢2y米，总彩绢长490米，可得方程：$5x + 2y = 490$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 120, \\5x + 2y = 490\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，根据等量关系列方程
【点评】
本题结合传统非遗制作场景命题，考查将实际问题转化为数学方程组的能力，解题核心是准确提取两种材料的总用量等量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的两个等量关系：①制作所有大灯和小灯消耗的竹篾总长度=120米；②制作所有大灯和小灯消耗的彩绢总长度=490米。我们先分别计算x盏大灯、y盏小灯消耗的竹篾长度，相加等于竹篾总长度得到第一个方程；再分别计算x盏大灯、y盏小灯消耗的彩绢长度，相加等于彩绢总长度得到第二个方程，联立方程组后对应选项即可。
【解析】
首先根据竹篾总用量列方程：
每盏大灯用竹篾1.2米，x盏大灯用竹篾1.2x米；每盏小灯用竹篾0.5米，y盏小灯用竹篾0.5y米，总竹篾长120米，可得方程：$1.2x + 0.5y = 120$。
再根据彩绢总用量列方程：
每盏大灯用彩绢5米，x盏大灯用彩绢5x米；每盏小灯用彩绢2米，y盏小灯用彩绢2y米，总彩绢长490米，可得方程：$5x + 2y = 490$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases}1.2x + 0.5y = 120, \\5x + 2y = 490\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，根据等量关系列方程
【点评】
本题结合传统非遗制作场景命题，考查将实际问题转化为数学方程组的能力，解题核心是准确提取两种材料的总用量等量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
2.[2025 盐城] 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是
6
分.答案
2.6
解析
【分析】
这是古算背景的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的“1钱=10分”的换算规则，将两种总价统一为以分为单位的数；再从题干中提取两个等量关系：①3尺绫的总价+4尺绢的总价=48分，②7尺绫的总价+2尺绢的总价=68分；之后设每尺绫、绢的价格分别为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用加减消元法解方程组，即可求出每尺绢的价格。
【解析】
首先进行单位换算：四钱八分=4×10+8=48分，六钱八分=6×10+8=68分。
设每尺绫的价格为$x$分，每尺绢的价格为$y$分，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 4y = 48&① \\ 7x + 2y = 68&② \end{cases}$
用加减消元法消去$y$：将②式两边同时乘2，得$14x + 4y = 136$ ③
用③式减去①式：$14x + 4y - (3x + 4y) = 136 - 48$
化简得$11x = 88$，解得$x=8$。
把$x=8$代入①式：$3×8 + 4y = 48$，即$24 + 4y = 48$，解得$y=6$。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组，单位换算
【点评】
本题以我国古代数学著作为命题背景，考查二元一次方程组的实际应用，解题的核心是准确从题干中提取等量关系，列方程组时要注意先统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是古算背景的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的“1钱=10分”的换算规则，将两种总价统一为以分为单位的数；再从题干中提取两个等量关系：①3尺绫的总价+4尺绢的总价=48分，②7尺绫的总价+2尺绢的总价=68分；之后设每尺绫、绢的价格分别为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组；最后用加减消元法解方程组，即可求出每尺绢的价格。
【解析】
首先进行单位换算：四钱八分=4×10+8=48分，六钱八分=6×10+8=68分。
设每尺绫的价格为$x$分，每尺绢的价格为$y$分，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 4y = 48&① \\ 7x + 2y = 68&② \end{cases}$
用加减消元法消去$y$：将②式两边同时乘2，得$14x + 4y = 136$ ③
用③式减去①式：$14x + 4y - (3x + 4y) = 136 - 48$
化简得$11x = 88$，解得$x=8$。
把$x=8$代入①式：$3×8 + 4y = 48$，即$24 + 4y = 48$，解得$y=6$。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组，单位换算
【点评】
本题以我国古代数学著作为命题背景，考查二元一次方程组的实际应用，解题的核心是准确从题干中提取等量关系，列方程组时要注意先统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的质量.
答案
5.【解】设黄金每枚重 x 两,白银每枚重 y 两,
根据题意,得 $\begin{cases}9x=11y, \\(10y+x)-(8x+y)=13,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{143}{4}, \\y=\frac{117}{4},\end{cases}$
所以 $4x+4y=143+117=260.$
所以黄金每枚重$\frac{143}{4}$两,白银每枚重$\frac{117}{4}$两,丙袋的质量为 260 两.
根据题意,得 $\begin{cases}9x=11y, \\(10y+x)-(8x+y)=13,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{143}{4}, \\y=\frac{117}{4},\end{cases}$
所以 $4x+4y=143+117=260.$
所以黄金每枚重$\frac{143}{4}$两,白银每枚重$\frac{117}{4}$两,丙袋的质量为 260 两.
解析
【分析】
这是一道结合古算背景的二元一次方程组应用题，解题思路如下：①先设未知数：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两；②找准两个核心等量关系：一是初始状态下9枚黄金的总质量等于11枚白银的总质量；二是两袋交换1枚后，甲袋（8枚黄金+1枚白银）比乙袋（10枚白银+1枚黄金）轻13两，即乙袋总质量减去甲袋总质量等于13；③根据等量关系列出二元一次方程组，求解得到x、y的值；④最后将x、y代入4x+4y，计算出丙袋的总质量即可。
【解析】
解：设黄金每枚重$x$两，白银每枚重$y$两，根据题意列方程组：
$\begin{cases}9x=11y \\(10y+x)-(8x+y)=13\end{cases}$
先化简第二个方程：
$10y+x-8x-y=13$，整理得$9y-7x=13$
由第一个方程得$y=\frac{9}{11}x$，代入$9y-7x=13$：
$9×\frac{9}{11}x -7x=13$
$\frac{81}{11}x-\frac{77}{11}x=13$
$\frac{4}{11}x=13$，解得$x=\frac{143}{4}$
把$x=\frac{143}{4}$代入$y=\frac{9}{11}x$，得$y=\frac{9}{11}×\frac{143}{4}=\frac{117}{4}$
计算丙袋（4枚黄金+4枚白银）的质量：
$4x+4y=4×\frac{143}{4}+4×\frac{117}{4}=143+117=260$（两）
【答案】
黄金每枚重$\frac{143}{4}$两，白银每枚重$\frac{117}{4}$两，丙袋的质量为260两。
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系建立，代数式求值
【点评】
本题以我国古代数学经典《九章算术》的古算问题为载体，既考查了利用二元一次方程组解决实际问题的能力，也能让学生感受到我国古代数学的发展成就，解题的关键是准确梳理题干中的重量关系，避免将交换后的重量差列反。
【难度系数】
0.65
这是一道结合古算背景的二元一次方程组应用题，解题思路如下：①先设未知数：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两；②找准两个核心等量关系：一是初始状态下9枚黄金的总质量等于11枚白银的总质量；二是两袋交换1枚后，甲袋（8枚黄金+1枚白银）比乙袋（10枚白银+1枚黄金）轻13两，即乙袋总质量减去甲袋总质量等于13；③根据等量关系列出二元一次方程组，求解得到x、y的值；④最后将x、y代入4x+4y，计算出丙袋的总质量即可。
【解析】
解：设黄金每枚重$x$两，白银每枚重$y$两，根据题意列方程组：
$\begin{cases}9x=11y \\(10y+x)-(8x+y)=13\end{cases}$
先化简第二个方程：
$10y+x-8x-y=13$，整理得$9y-7x=13$
由第一个方程得$y=\frac{9}{11}x$，代入$9y-7x=13$：
$9×\frac{9}{11}x -7x=13$
$\frac{81}{11}x-\frac{77}{11}x=13$
$\frac{4}{11}x=13$，解得$x=\frac{143}{4}$
把$x=\frac{143}{4}$代入$y=\frac{9}{11}x$，得$y=\frac{9}{11}×\frac{143}{4}=\frac{117}{4}$
计算丙袋（4枚黄金+4枚白银）的质量：
$4x+4y=4×\frac{143}{4}+4×\frac{117}{4}=143+117=260$（两）
【答案】
黄金每枚重$\frac{143}{4}$两，白银每枚重$\frac{117}{4}$两，丙袋的质量为260两。
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系建立，代数式求值
【点评】
本题以我国古代数学经典《九章算术》的古算问题为载体，既考查了利用二元一次方程组解决实际问题的能力，也能让学生感受到我国古代数学的发展成就，解题的关键是准确梳理题干中的重量关系，避免将交换后的重量差列反。
【难度系数】
0.65
3.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”根据题意可得木材的长为（
A.2.5尺
B.5.5尺
C.6.5尺
D.11尺
C
）A.2.5尺
B.5.5尺
C.6.5尺
D.11尺
答案
3.C
解析
【分析】
本题属于一元一次方程实际应用类的古算问题，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。首先明确两种测量方式下绳子的总长度不变，我们可以直接设所求的木材长为未知数，分别用含未知数的式子表示出两种情况对应的绳长，再根据绳长相等列方程求解即可。
【解析】
设木材的长为$ x $尺。
根据“用绳子量木材，余绳4.5尺”，可得绳长为$ (x + 4.5) $尺；
根据“将绳子对折再量，绳子比木材短1尺”，可知对折后的绳长为$ (x - 1) $尺，因此绳长也可表示为$ 2(x - 1) $尺。
由于绳长固定不变，可列方程：
$ x + 4.5 = 2(x - 1) $
解方程：
$ x + 4.5 = 2x - 2 $
$ 2x - x = 4.5 + 2 $
$ x = 6.5 $
即木材的长为6.5尺。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系分析
【点评】
本题是典型的古算实际应用问题，解题的关键是读懂题意，抓住绳长不变这一核心隐含条件建立等式，注意不要因对“对折量之不足一尺”的理解错误导致列式出错。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程实际应用类的古算问题，解题核心是找到题目中的不变量建立等量关系。首先明确两种测量方式下绳子的总长度不变，我们可以直接设所求的木材长为未知数，分别用含未知数的式子表示出两种情况对应的绳长，再根据绳长相等列方程求解即可。
【解析】
设木材的长为$ x $尺。
根据“用绳子量木材，余绳4.5尺”，可得绳长为$ (x + 4.5) $尺；
根据“将绳子对折再量，绳子比木材短1尺”，可知对折后的绳长为$ (x - 1) $尺，因此绳长也可表示为$ 2(x - 1) $尺。
由于绳长固定不变，可列方程：
$ x + 4.5 = 2(x - 1) $
解方程：
$ x + 4.5 = 2x - 2 $
$ 2x - x = 4.5 + 2 $
$ x = 6.5 $
即木材的长为6.5尺。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系分析
【点评】
本题是典型的古算实际应用问题，解题的关键是读懂题意，抓住绳长不变这一核心隐含条件建立等式，注意不要因对“对折量之不足一尺”的理解错误导致列式出错。
【难度系数】
0.7
4.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，其中正确的个数是（
甲：设客房有x间，则$7x+7=9(x-1)$；
C
）甲：设客房有x间，则$7x+7=9(x-1)$；
答案
4.C
解析
【分析】
这是一道古算背景的一元一次方程应用题，解题关键是抓住“客人总数不变”或“客房总数不变”这两个不变量列方程。判断方案是否正确时，先看未知数设定是否合理，再看等号两边表示的量是否一致：甲设客房数为x间，第一种住法总人数为每间住的人数乘房间数加剩余人数，即7x+7；第二种住法空出1间，实际入住房间数为(x-1)间，总人数为9(x-1)，两者都表示客人总数，因此甲的方程列写正确。该题另外两个常见方案中，设总人数为y、以客房数不变为等量列的方程也是正确的，第三种方案存在等量关系混淆的错误，因此正确的方案共2个。
【解析】
首先验证甲的方案：
设客房有x间，根据客人总数不变：
每间住7人多7人，总人数：$7x + 7$
每间住9人空1间，实际入住$(x-1)$间，总人数：$9(x-1)$
列方程得：$7x + 7 = 9(x - 1)$
解方程：
$7x +7 = 9x -9$
$9x -7x = 7 +9$
$2x =16$
$x=8$
客人总数：$7×8 +7=63$（人）
验证第二种住法：$9×(8-1)=63$（人），符合题意，甲的方案正确。
设客人有y人，根据客房数不变列方程$\frac{y-7}{7}=\frac{y}{9}+1$，解得$y=63$，客房数为8间，也符合题意，该方案正确。剩余方案等量关系错误，因此正确的个数为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系找取、古算问题
【点评】
本题以古代数学著作中的问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准题目中的不变量，根据不变量列等式，需要细心审题，避免混淆两种住宿情况的数量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道古算背景的一元一次方程应用题，解题关键是抓住“客人总数不变”或“客房总数不变”这两个不变量列方程。判断方案是否正确时，先看未知数设定是否合理，再看等号两边表示的量是否一致：甲设客房数为x间，第一种住法总人数为每间住的人数乘房间数加剩余人数，即7x+7；第二种住法空出1间，实际入住房间数为(x-1)间，总人数为9(x-1)，两者都表示客人总数，因此甲的方程列写正确。该题另外两个常见方案中，设总人数为y、以客房数不变为等量列的方程也是正确的，第三种方案存在等量关系混淆的错误，因此正确的方案共2个。
【解析】
首先验证甲的方案：
设客房有x间，根据客人总数不变：
每间住7人多7人，总人数：$7x + 7$
每间住9人空1间，实际入住$(x-1)$间，总人数：$9(x-1)$
列方程得：$7x + 7 = 9(x - 1)$
解方程：
$7x +7 = 9x -9$
$9x -7x = 7 +9$
$2x =16$
$x=8$
客人总数：$7×8 +7=63$（人）
验证第二种住法：$9×(8-1)=63$（人），符合题意，甲的方案正确。
设客人有y人，根据客房数不变列方程$\frac{y-7}{7}=\frac{y}{9}+1$，解得$y=63$，客房数为8间，也符合题意，该方案正确。剩余方案等量关系错误，因此正确的个数为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、等量关系找取、古算问题
【点评】
本题以古代数学著作中的问题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题核心是找准题目中的不变量，根据不变量列等式，需要细心审题，避免混淆两种住宿情况的数量关系。
【难度系数】
0.7
6. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项。
如图①表示的方程组是$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23.\end{cases}$ 在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中$x$的值为3，则被墨水所覆盖的图形为 ______ 。
如图①表示的方程组是$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23.\end{cases}$ 在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中$x$的值为3，则被墨水所覆盖的图形为 ______ 。
答案
解：
根据图②的已知算筹，可得第一个方程为 $2x + y = 11$。
把 $x=3$ 代入 $2x + y = 11$，得：
$2× 3 + y = 11$
解得 $y=5$。
设被墨水覆盖的图形对应的数字为$a$，则第二个方程为 $4x + ay = 27$。
把 $x=3$，$y=5$ 代入 $4x + ay = 27$，得：
$4× 3 + 5a = 27$
解得 $a=3$。
答：被墨水所覆盖的图形为表示数字3的三根平行竖线算筹（|||）。
根据图②的已知算筹，可得第一个方程为 $2x + y = 11$。
把 $x=3$ 代入 $2x + y = 11$，得：
$2× 3 + y = 11$
解得 $y=5$。
设被墨水覆盖的图形对应的数字为$a$，则第二个方程为 $4x + ay = 27$。
把 $x=3$，$y=5$ 代入 $4x + ay = 27$，得：
$4× 3 + 5a = 27$
解得 $a=3$。
答：被墨水所覆盖的图形为表示数字3的三根平行竖线算筹（|||）。
解析
【分析】
解题首先需要结合图①给出的算筹与方程组的对应关系，明确算筹的计数规则：单根竖线代表1，单根横线代表5，两位数按十位、个位分别计数。接下来先根据图②的已知算筹写出第一个二元一次方程，结合题目给出的$x=3$，用代入法求出$y$的值。再设被墨水覆盖的数字为$a$，写出第二个二元一次方程，将求得的$y$值和已知的$x$值代入，即可求出$a$的值，对应算筹的表示就能得到被覆盖的图形。
【解析】
根据图②的已知算筹，可得第一个方程为 $2x + y = 11$。
把 $x=3$ 代入 $2x + y = 11$，得：
$2× 3 + y = 11$
解得 $y=5$。
设被墨水覆盖的图形对应的数字为$a$，观察算筹可得第二个方程为 $4x + ay = 27$。
把 $x=3$，$y=5$ 代入 $4x + ay = 27$，得：
$4× 3 + 5a = 27$
解得 $a=3$。
数字3对应的算筹为三根平行竖线（|||）。
【答案】
表示数字3的三根平行竖线算筹（|||）
【知识点】
二元一次方程应用，代入法求值，算筹计数规则
【点评】
本题结合中国古代算筹文化考查二元一次方程的应用，需要先理解新的计数规则，再结合已知条件逐步推导求解，既考查了学生的信息提取和知识应用能力，也渗透了传统数学文化。
【难度系数】
0.6
解题首先需要结合图①给出的算筹与方程组的对应关系，明确算筹的计数规则：单根竖线代表1，单根横线代表5，两位数按十位、个位分别计数。接下来先根据图②的已知算筹写出第一个二元一次方程，结合题目给出的$x=3$，用代入法求出$y$的值。再设被墨水覆盖的数字为$a$，写出第二个二元一次方程，将求得的$y$值和已知的$x$值代入，即可求出$a$的值，对应算筹的表示就能得到被覆盖的图形。
【解析】
根据图②的已知算筹，可得第一个方程为 $2x + y = 11$。
把 $x=3$ 代入 $2x + y = 11$，得：
$2× 3 + y = 11$
解得 $y=5$。
设被墨水覆盖的图形对应的数字为$a$，观察算筹可得第二个方程为 $4x + ay = 27$。
把 $x=3$，$y=5$ 代入 $4x + ay = 27$，得：
$4× 3 + 5a = 27$
解得 $a=3$。
数字3对应的算筹为三根平行竖线（|||）。
【答案】
表示数字3的三根平行竖线算筹（|||）
【知识点】
二元一次方程应用，代入法求值，算筹计数规则
【点评】
本题结合中国古代算筹文化考查二元一次方程的应用，需要先理解新的计数规则，再结合已知条件逐步推导求解，既考查了学生的信息提取和知识应用能力，也渗透了传统数学文化。
【难度系数】
0.6
