8.(2024·宜兴二模)如图,在△ABC中,D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.
(1)求证:△BDF≌△CDE;
(2)若AD=5,CE=2,求△ABC的面积.

8.(1)证明:$\because D$是$BC$边的中点,$\therefore BD=CD$.
$\because CE⊥ AD,BF⊥ AD,\therefore ∠ CED=∠ BFD=90°$.
在$△ BDF$和$△ CDE$中,$\begin{cases}∠ BFD=∠ CED,\\∠ BDF=∠ CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS}).$
(2)解:由(1)得$△ BDF≌△ CDE,\therefore CE=BF$.
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· BF+\frac{1}{2}AD· CE=AD· CE=5×2=10.$

9.(徐州模拟)如图,E是正方形ABCD外一点,F是线段AE上一点,且△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE,CF.
(1)求证:△ABF≅△CBE;
(2)判断CE与EF的位置关系,并说明理由.

9.(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore AB=CB,∠ ABC=90°,\therefore ∠ ABF+∠ FBC=90°$.
$\because △ FBE$是等腰直角三角形,$∠ EBF=90°$,
$\therefore BF=BE,∠ CBE+∠ FBC=90°$,
$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$.
在$△ ABF$和$△ CBE$中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ ABF=∠ CBE,\\BF=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS}).$
(2)解:$CE⊥ EF$.理由如下:
设$EF$与$BC$交于点$G$,由(1)知,$△ ABF≌△ CBE$,
则$∠ FAB=∠ ECB$.
$\because ∠ AGB+∠ FAB=90°,∠ AGB=∠ CGE$,
$\therefore ∠ CGE+∠ FAB=90°$,即$∠ CGE+∠ ECB=90°$,
$\therefore ∠ FEC=90°,\therefore CE⊥ EF.$

10.(徐州模拟)(1)【阅读理解】如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,在△ABE中,利用三角形三边的关系即可得出中线AD的取值范围：；
(2)【问题解决】如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF＞EF；
(3)【问题拓展】如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=100°,以点C为顶点作一个50°的角,角的两边分别交AB,AD于点E,F,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并说明理由.

10.(1)$5＜AD＜6.5$
(2)证明:如答图①,延长$FD$到点$N$,使$DN=DF$,连接$BN,EN$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD=BD$.
在$△ FDC$和$△ NDB$中,$\begin{cases}FD=ND,\\∠ FDC=∠ NDB,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ FDC≌△ NDB(\mathrm{SAS}),\therefore FC=NB$.
$\because DF=DN,DE⊥ DF,\therefore EF=EN$.
在$△ EBN$中,$BE+BN＞EN,\therefore BE+CF＞EF.$

(3)解:$BE+DF=EF$.理由如下:
如答图②,延长$AB$至点$H$,使$BH=DF$,连接$CH$.
$\because ∠ ABC+∠ D=180°,∠ HBC+∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ HBC=∠ D$.
在$△ HBC$和$△ FDC$中,$\begin{cases}BH=DF,\\∠ CBH=∠ D,\\CB=CD,\end{cases}$
$\therefore △ HBC≌△ FDC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CH=CF,∠ HCB=∠ FCD$.
$\because ∠ BCD=100°,∠ ECF=50°$,
$\therefore ∠ BCE+∠ FCD=50°$,
$\therefore ∠ ECH=∠ BCE+∠ BCH=∠ BCE+∠ FCD=50°$.
在$△ HCE$和$△ FCE$中,$\begin{cases}CH=CF,\\∠ ECH=∠ ECF,\\CE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ HCE≌△ FCE(\mathrm{SAS}),\therefore EH=EF$.
$\because BE+BH=EH,\therefore BE+DF=EF.$