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6.(徐州模拟)如图，小明购买一种笔记本所付金额y(元)与购买量x(本)之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本可节省
4
元.答案
6.4
解析
【分析】
要解决本题，需先分别计算分8次每次买1本的总花费、一次买8本的总花费，再求二者的差值。首先通过线段OB求出购买量不超过4本时的单价，得到单次买1本的费用，进而算出分8次购买的总费用；再用待定系数法求出射线BE的函数解析式，代入x=8得到一次买8本的总费用，最后作差得到节省的金额。
【解析】
1. 计算分8次每次购买1本的总花费：
由线段OB过点$(4,20)$，可知当购买量$x≤4$时，每本笔记本单价为$20÷4=5$元。
分8次购买、每次买1本，每次购买量都符合$x≤4$的定价标准，总花费为$8×5=40$元。
2. 求射线BE的函数解析式：
设射线BE的解析式为$y=kx+b$（$x≥4$），将点$(4,20)$和$(10,44)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=20\\10k+b=44\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$6k=24$，解得$k=4$。
将$k=4$代入$4k+b=20$，得$16+b=20$，解得$b=4$。
因此BE段解析式为$y=4x+4$（$x≥4$）。
3. 计算一次购买8本的花费：
当$x=8$时，满足$x≥4$，代入解析式得$y=4×8+4=36$元。
4. 计算节省的金额：
两种购买方式的差价为$40-36=4$元。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合实际购物场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像，区分不同购买量对应的收费标准，分别计算两种购买方式的总花费后求差即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先分别计算分8次每次买1本的总花费、一次买8本的总花费，再求二者的差值。首先通过线段OB求出购买量不超过4本时的单价，得到单次买1本的费用，进而算出分8次购买的总费用；再用待定系数法求出射线BE的函数解析式，代入x=8得到一次买8本的总费用，最后作差得到节省的金额。
【解析】
1. 计算分8次每次购买1本的总花费：
由线段OB过点$(4,20)$，可知当购买量$x≤4$时，每本笔记本单价为$20÷4=5$元。
分8次购买、每次买1本，每次购买量都符合$x≤4$的定价标准，总花费为$8×5=40$元。
2. 求射线BE的函数解析式：
设射线BE的解析式为$y=kx+b$（$x≥4$），将点$(4,20)$和$(10,44)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=20\\10k+b=44\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$6k=24$，解得$k=4$。
将$k=4$代入$4k+b=20$，得$16+b=20$，解得$b=4$。
因此BE段解析式为$y=4x+4$（$x≥4$）。
3. 计算一次购买8本的花费：
当$x=8$时，满足$x≥4$，代入解析式得$y=4×8+4=36$元。
4. 计算节省的金额：
两种购买方式的差价为$40-36=4$元。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合实际购物场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像，区分不同购买量对应的收费标准，分别计算两种购买方式的总花费后求差即可。
【难度系数】
0.7
7.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是
250
.答案
7.250
解析
【分析】
本题是一次函数在追及问题中的应用，解题思路如下：首先观察图象确定两个一次函数经过的已知点，利用待定系数法分别求出善行者、不善行者的路程s关于时间t的函数解析式；再联立两个函数解析式，求解得到交点坐标，交点的纵坐标就是善行者追上不善行者时的总路程，即为所求结果。
【解析】
设善行者的路程函数为$s_1 = k_1 t$，不善行者的路程函数为$s_2 = k_2 t + b$。
1. 求善行者的解析式：
由图象可知$s_1$过原点$(0,0)$，且当时间为$t_0$时，$s_1=100$，代入得$100 = k_1 t_0$，即$k_1 = \frac{100}{t_0}$，因此$s_1 = \frac{100}{t_0} t$。
2. 求不善行者的解析式：
由图象可知$s_2$过点$(0,100)$，代入得$b=100$；同一时间$t_0$时，$s_2=160$，代入$s_2 = k_2 t + 100$得$160 = k_2 t_0 + 100$，解得$k_2 = \frac{60}{t_0}$，因此$s_2 = \frac{60}{t_0} t + 100$。
3. 求交点P的纵坐标：
交点处$s_1 = s_2$，即$\frac{100}{t_0} t = \frac{60}{t_0} t + 100$，两边同乘$t_0$消去分母得：
$100t = 60t + 100t_0$
解得$t = 2.5 t_0$，将$t=2.5 t_0$代入$s_1 = \frac{100}{t_0} t$得：
$s_1 = \frac{100}{t_0} × 2.5 t_0 = 250$
因此交点P的纵坐标是250。
【答案】
250
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；追及问题
【点评】
本题结合传统数学问题考查一次函数的实际应用，解题核心是结合图象信息正确写出两个函数的表达式，再通过联立方程求交点，能很好地锻炼学生提取图象信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在追及问题中的应用，解题思路如下：首先观察图象确定两个一次函数经过的已知点，利用待定系数法分别求出善行者、不善行者的路程s关于时间t的函数解析式；再联立两个函数解析式，求解得到交点坐标，交点的纵坐标就是善行者追上不善行者时的总路程，即为所求结果。
【解析】
设善行者的路程函数为$s_1 = k_1 t$，不善行者的路程函数为$s_2 = k_2 t + b$。
1. 求善行者的解析式：
由图象可知$s_1$过原点$(0,0)$，且当时间为$t_0$时，$s_1=100$，代入得$100 = k_1 t_0$，即$k_1 = \frac{100}{t_0}$，因此$s_1 = \frac{100}{t_0} t$。
2. 求不善行者的解析式：
由图象可知$s_2$过点$(0,100)$，代入得$b=100$；同一时间$t_0$时，$s_2=160$，代入$s_2 = k_2 t + 100$得$160 = k_2 t_0 + 100$，解得$k_2 = \frac{60}{t_0}$，因此$s_2 = \frac{60}{t_0} t + 100$。
3. 求交点P的纵坐标：
交点处$s_1 = s_2$，即$\frac{100}{t_0} t = \frac{60}{t_0} t + 100$，两边同乘$t_0$消去分母得：
$100t = 60t + 100t_0$
解得$t = 2.5 t_0$，将$t=2.5 t_0$代入$s_1 = \frac{100}{t_0} t$得：
$s_1 = \frac{100}{t_0} × 2.5 t_0 = 250$
因此交点P的纵坐标是250。
【答案】
250
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；追及问题
【点评】
本题结合传统数学问题考查一次函数的实际应用，解题核心是结合图象信息正确写出两个函数的表达式，再通过联立方程求交点，能很好地锻炼学生提取图象信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8.(溧水区期末)A,B两地相距40 km,甲由A地出发骑自行车去B地,速度为10 km/h,当甲出发1.5 h后,乙由A地乘汽车沿同一条路线出发去B地,速度为40 km/h.设甲出发x h后,甲离A地的距离为$y_1$(km),乙离A地的距离为$y_2$(km).
(1)求$y_1,y_2$与x之间的函数表达式;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出$y_1,y_2$与时间x之间的函数图象(标出相关数据);
(3)乙能否在途中超过甲?如果能超过,何时超过?
(1)求$y_1,y_2$与x之间的函数表达式;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出$y_1,y_2$与时间x之间的函数图象(标出相关数据);
(3)乙能否在途中超过甲?如果能超过,何时超过?
答案
8.解:(1)根据题意,得$y_1=10x$,
$y_2=40(x-1.5)=40x-60$.
(2)如答图
.(3)$10x=40x-60$,解得$x=2$.
$\therefore$当甲出发2 h后,乙在途中超过甲.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式可依据“路程=速度×时间”的关系推导：甲从0时刻出发，行驶总时长为x h，直接代入公式即可得到$y_1$的表达式；乙晚出发1.5h，实际行驶时长为$(x-1.5)h$（$x≥1.5$），代入公式即可得到$y_2$的表达式。
(2) 画函数图象先确定关键点：$y_1$是过原点的线段，终点为甲到达B地的对应点$(4,40)$；$y_2$的起点是乙出发的对应点$(1.5,0)$，终点是乙到达B地的对应点$(2.5,40)$，再标注两函数的交点即可。
(3) 判断乙能否超过甲，本质是判断是否存在合理的x使得$y_2＞y_1$，先求解$y_1=y_2$时的x值（即两人相遇的时刻），若该时刻在两人均未到达B地的范围内，说明乙可以超过甲，大于该时刻时乙就在甲前方。
【解析】
(1) 根据路程=速度×时间计算：
甲的速度为10km/h，行驶x h的路程为10x，因此$\boldsymbol{y_1=10x}$（$0≤ x≤4$，甲走完全程需要$40÷10=4h$）；
乙在甲出发1.5h后出发，行驶速度为40km/h，当$x≥1.5$时，乙的行驶时长为$(x-1.5)h$，因此$y_2=40(x-1.5)$，化简得$\boldsymbol{y_2=40x-60}$（$1.5≤ x≤2.5$，乙走完全程需要$40÷40=1h$，对应总时刻$1.5+1=2.5h$）。
(2) $y_1$为连接$(0,0)$和$(4,40)$的线段，$y_2$为连接$(1.5,0)$和$(2.5,40)$的线段，两线段交点为$(2,20)$，绘制图象后标注相关数据即可。
(3) 乙能在途中超过甲，求解如下：
当乙追上甲时，两人离A地的距离相等，即$y_1=y_2$，列方程：
$10x=40x-60$
移项合并同类项得：$30x=60$
解得：$x=2$
经检验，$1.5＜2＜2.5$，此时两人均未到达B地，因此甲出发2h后，乙在途中超过甲。
【答案】
(1) $y_1=10x$，$y_2=40x-60$；
(2) 如答图；
(3) 能，当甲出发2h后，乙在途中超过甲。
【知识点】
一次函数表达式求解，一次函数的实际应用，一次函数交点问题
【点评】
本题以常见的行程追及问题为背景，考查一次函数的相关知识，解题的核心是掌握路程、速度、时间的数量关系，理解一次函数图象交点对应的实际意义，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式可依据“路程=速度×时间”的关系推导：甲从0时刻出发，行驶总时长为x h，直接代入公式即可得到$y_1$的表达式；乙晚出发1.5h，实际行驶时长为$(x-1.5)h$（$x≥1.5$），代入公式即可得到$y_2$的表达式。
(2) 画函数图象先确定关键点：$y_1$是过原点的线段，终点为甲到达B地的对应点$(4,40)$；$y_2$的起点是乙出发的对应点$(1.5,0)$，终点是乙到达B地的对应点$(2.5,40)$，再标注两函数的交点即可。
(3) 判断乙能否超过甲，本质是判断是否存在合理的x使得$y_2＞y_1$，先求解$y_1=y_2$时的x值（即两人相遇的时刻），若该时刻在两人均未到达B地的范围内，说明乙可以超过甲，大于该时刻时乙就在甲前方。
【解析】
(1) 根据路程=速度×时间计算：
甲的速度为10km/h，行驶x h的路程为10x，因此$\boldsymbol{y_1=10x}$（$0≤ x≤4$，甲走完全程需要$40÷10=4h$）；
乙在甲出发1.5h后出发，行驶速度为40km/h，当$x≥1.5$时，乙的行驶时长为$(x-1.5)h$，因此$y_2=40(x-1.5)$，化简得$\boldsymbol{y_2=40x-60}$（$1.5≤ x≤2.5$，乙走完全程需要$40÷40=1h$，对应总时刻$1.5+1=2.5h$）。
(2) $y_1$为连接$(0,0)$和$(4,40)$的线段，$y_2$为连接$(1.5,0)$和$(2.5,40)$的线段，两线段交点为$(2,20)$，绘制图象后标注相关数据即可。
(3) 乙能在途中超过甲，求解如下：
当乙追上甲时，两人离A地的距离相等，即$y_1=y_2$，列方程：
$10x=40x-60$
移项合并同类项得：$30x=60$
解得：$x=2$
经检验，$1.5＜2＜2.5$，此时两人均未到达B地，因此甲出发2h后，乙在途中超过甲。
【答案】
(1) $y_1=10x$，$y_2=40x-60$；
(2) 如答图
；(3) 能，当甲出发2h后，乙在途中超过甲。
【知识点】
一次函数表达式求解，一次函数的实际应用，一次函数交点问题
【点评】
本题以常见的行程追及问题为背景，考查一次函数的相关知识，解题的核心是掌握路程、速度、时间的数量关系，理解一次函数图象交点对应的实际意义，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
9.学校体育器材室拟从某体育公司购进甲、乙两种实心球.该公司给出这两种实心球的销售方法如下:甲种实心球的销售额 y(元)与销售量 x(个)的函数关系如图所示,乙种实心球的价格为20元/个.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共 100 个,且每种均不少于 45 个,请设计最省钱的方案,并说明理由.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共 100 个,且每种均不少于 45 个,请设计最省钱的方案,并说明理由.
答案
9.解:(1)当$0≤ x≤40$时,设$y=ax$,把$(40,1200)$代入,
得$a=30$,$\therefore y=30x$.
当$x＞40$时,设$y=kx+b$,把$(40,1200)$和$(50,1460)$代
入,得$\begin{cases}40k+b=1200,\\50k+b=1460,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=26,\\b=160,\end{cases}$即$y=26x+160$.
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40),\\26x+160(x＞40).\end{cases}$
(2)设总费用为$w$元,根据题意,得$w=26x+160+20(100-x)=6x+2160$.
根据题意,得$\begin{cases}x≥45,\\100-x≥45,\end{cases}$解得$45≤ x≤55$.
$\because6＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=45$时,$w$最少,为$6×45+2160=2430$(元).
答:购买甲种实心球45个,乙种实心球55个,才能使总费用最少,最少费用是2430元.
得$a=30$,$\therefore y=30x$.
当$x＞40$时,设$y=kx+b$,把$(40,1200)$和$(50,1460)$代
入,得$\begin{cases}40k+b=1200,\\50k+b=1460,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=26,\\b=160,\end{cases}$即$y=26x+160$.
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\begin{cases}30x(0≤ x≤40),\\26x+160(x＞40).\end{cases}$
(2)设总费用为$w$元,根据题意,得$w=26x+160+20(100-x)=6x+2160$.
根据题意,得$\begin{cases}x≥45,\\100-x≥45,\end{cases}$解得$45≤ x≤55$.
$\because6＞0$,$\therefore w$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=45$时,$w$最少,为$6×45+2160=2430$(元).
答:购买甲种实心球45个,乙种实心球55个,才能使总费用最少,最少费用是2430元.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知，销售额y与销售量x的函数为分段函数，x=40是分段节点。①当$0≤x≤40$时，函数是过原点的正比例函数，可设为$y=ax$，代入已知点$(40,1200)$即可求出系数a；②当$x＞40$时，函数为普通一次函数，可设为$y=kx+b$，代入图中两个已知点$(40,1200)$、$(50,1460)$，解二元一次方程组求出k、b，最后整理为分段函数形式即可。
(2) 要找最省钱方案，首先需要构造总费用的函数：设购买甲种球x个，则乙种球为$(100-x)$个，根据“每种均不少于45个”可确定x的取值范围为$45≤x≤55$，因此甲的费用直接使用$x＞40$段的解析式，加上乙的总费用即可得到总费用w关于x的一次函数；再根据一次函数的增减性，判断w取最小值时x的取值，即可得到最优方案。
【解析】
(1) 分情况求解析式：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=ax(a≠0)$，
将$(40,1200)$代入得$40a=1200$，解得$a=30$，
$\therefore y=30x$；
② 当$x＞40$时，设$y=kx+b(k≠0)$，
将$(40,1200)$、$(50,1460)$代入得$\begin{cases}40k+b=1200\\50k+b=1460\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=26\\b=160\end{cases}$，
$\therefore y=26x+160$。
综上，y与x的函数表达式为$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\26x+160&(x＞40)\end{cases}$。
(2) 设购买甲种实心球x个，总费用为w元，则购买乙种实心球$(100-x)$个，
由题意得$\begin{cases}x≥45\\100-x≥45\end{cases}$，解得$45≤ x≤55$，
$\because x＞40$，$\therefore$ 总费用$w=26x+160+20(100-x)=6x+2160$，
$\because 6＞0$，$\therefore w$随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=45$时，w取最小值，最小值为$6×45+2160=2430$元，
此时乙种实心球数量为$100-45=55$个。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\26x+160&(x＞40)\end{cases}$
(2) 最省钱方案为购买甲种实心球45个，乙种实心球55个，最少费用为2430元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数最优方案应用
【点评】
本题结合实际销售场景，既考查了分段函数解析式的求解，也考查了利用一次函数性质解决实际最值问题，解题时要注意结合实际约束条件确定自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知，销售额y与销售量x的函数为分段函数，x=40是分段节点。①当$0≤x≤40$时，函数是过原点的正比例函数，可设为$y=ax$，代入已知点$(40,1200)$即可求出系数a；②当$x＞40$时，函数为普通一次函数，可设为$y=kx+b$，代入图中两个已知点$(40,1200)$、$(50,1460)$，解二元一次方程组求出k、b，最后整理为分段函数形式即可。
(2) 要找最省钱方案，首先需要构造总费用的函数：设购买甲种球x个，则乙种球为$(100-x)$个，根据“每种均不少于45个”可确定x的取值范围为$45≤x≤55$，因此甲的费用直接使用$x＞40$段的解析式，加上乙的总费用即可得到总费用w关于x的一次函数；再根据一次函数的增减性，判断w取最小值时x的取值，即可得到最优方案。
【解析】
(1) 分情况求解析式：
① 当$0≤ x≤40$时，设$y=ax(a≠0)$，
将$(40,1200)$代入得$40a=1200$，解得$a=30$，
$\therefore y=30x$；
② 当$x＞40$时，设$y=kx+b(k≠0)$，
将$(40,1200)$、$(50,1460)$代入得$\begin{cases}40k+b=1200\\50k+b=1460\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=26\\b=160\end{cases}$，
$\therefore y=26x+160$。
综上，y与x的函数表达式为$y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\26x+160&(x＞40)\end{cases}$。
(2) 设购买甲种实心球x个，总费用为w元，则购买乙种实心球$(100-x)$个，
由题意得$\begin{cases}x≥45\\100-x≥45\end{cases}$，解得$45≤ x≤55$，
$\because x＞40$，$\therefore$ 总费用$w=26x+160+20(100-x)=6x+2160$，
$\because 6＞0$，$\therefore w$随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=45$时，w取最小值，最小值为$6×45+2160=2430$元，
此时乙种实心球数量为$100-45=55$个。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30x&(0≤ x≤40)\\26x+160&(x＞40)\end{cases}$
(2) 最省钱方案为购买甲种实心球45个，乙种实心球55个，最少费用为2430元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数最优方案应用
【点评】
本题结合实际销售场景，既考查了分段函数解析式的求解，也考查了利用一次函数性质解决实际最值问题，解题时要注意结合实际约束条件确定自变量的取值范围，再结合函数增减性判断最值。
【难度系数】
0.7
