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1.(常州月考)已知A,B两地相距720 m,甲从A地去B地,乙从B地去A地,他们各自到达目的地后停止运动.如图,$l_1$和$l_2$表示甲、乙两人离B地的路程y(m)与甲行走的时间x(min)的函数图象,则下列说法不正确的是 (
A.$l_1$是甲的函数图象,$l_2$是乙的函数图象
B.乙的速度比甲的速度快
C.当$x=5$或$x=7$时,甲、乙两人相距150 m
D.乙出发后6分钟两人相遇
D
)A.$l_1$是甲的函数图象,$l_2$是乙的函数图象
B.乙的速度比甲的速度快
C.当$x=5$或$x=7$时,甲、乙两人相距150 m
D.乙出发后6分钟两人相遇
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先结合行程初始状态判断两个函数图象对应的人物：甲从A地出发去B地，初始时离B地720m，因此$l_1$对应甲的运动；乙晚2分钟从B地出发去A地，初始时离B地0，因此$l_2$对应乙的运动。接着先计算甲、乙的速度，再求出两个一次函数的解析式，逐一验证每个选项的正误：判断速度大小直接对比速度值即可，判断距离和相遇问题则结合函数解析式列方程求解，注意乙晚出发的时间条件。
【解析】
首先计算两人速度：
甲走完全程720m用时12min，故$v_甲=720÷12=60\mathrm{m/min}$；
乙晚2min出发，走完全程用时$10-2=8\mathrm{min}$，故$v_乙=720÷8=90\mathrm{m/min}$。
再求两个函数的解析式：
设$l_1$的解析式为$y_1=k_1x+b_1$，代入点(0,720)和(12,0)，解得$k_1=-60,b_1=720$，即$y_1=-60x+720\quad(0≤ x≤12)$。
设$l_2$（运动阶段）的解析式为$y_2=k_2x+b_2$，代入点(2,0)和(10,720)，解得$k_2=90,b_2=-180$，即$y_2=90x-180\quad(2≤ x≤10)$。
逐一验证选项：
A选项：初始时甲离B地720m对应$l_1$，乙晚出发2min、初始离B地0对应$l_2$，说法正确，不符合题意；
B选项：$v_乙=90\mathrm{m/min}＞v_甲=60\mathrm{m/min}$，乙速度更快，说法正确，不符合题意；
C选项：两人相距150m即$\vert y_1-y_2\vert=150$，代入解析式得$\vert (-60x+720)-(90x-180)\vert=150$，即$\vert900-150x\vert=150$，解得$x=5$或$x=7$，均在2~10的共同运动区间内，说法正确，不符合题意；
D选项：相遇时$y_1=y_2$，解得$x=6$（甲的行走时间），乙的行走时间为$6-2=4\mathrm{min}$，即乙出发后4分钟相遇，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；一次函数解析式求解
【点评】
本题结合一次函数图像考查实际行程问题，需要先准确理解图像横纵坐标、端点、线段的实际含义，再结合行程公式与一次函数的性质求解，易错点是容易忽略乙晚出发2分钟的条件，误将甲的行走时间当成乙的行走时间。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合行程初始状态判断两个函数图象对应的人物：甲从A地出发去B地，初始时离B地720m，因此$l_1$对应甲的运动；乙晚2分钟从B地出发去A地，初始时离B地0，因此$l_2$对应乙的运动。接着先计算甲、乙的速度，再求出两个一次函数的解析式，逐一验证每个选项的正误：判断速度大小直接对比速度值即可，判断距离和相遇问题则结合函数解析式列方程求解，注意乙晚出发的时间条件。
【解析】
首先计算两人速度：
甲走完全程720m用时12min，故$v_甲=720÷12=60\mathrm{m/min}$；
乙晚2min出发，走完全程用时$10-2=8\mathrm{min}$，故$v_乙=720÷8=90\mathrm{m/min}$。
再求两个函数的解析式：
设$l_1$的解析式为$y_1=k_1x+b_1$，代入点(0,720)和(12,0)，解得$k_1=-60,b_1=720$，即$y_1=-60x+720\quad(0≤ x≤12)$。
设$l_2$（运动阶段）的解析式为$y_2=k_2x+b_2$，代入点(2,0)和(10,720)，解得$k_2=90,b_2=-180$，即$y_2=90x-180\quad(2≤ x≤10)$。
逐一验证选项：
A选项：初始时甲离B地720m对应$l_1$，乙晚出发2min、初始离B地0对应$l_2$，说法正确，不符合题意；
B选项：$v_乙=90\mathrm{m/min}＞v_甲=60\mathrm{m/min}$，乙速度更快，说法正确，不符合题意；
C选项：两人相距150m即$\vert y_1-y_2\vert=150$，代入解析式得$\vert (-60x+720)-(90x-180)\vert=150$，即$\vert900-150x\vert=150$，解得$x=5$或$x=7$，均在2~10的共同运动区间内，说法正确，不符合题意；
D选项：相遇时$y_1=y_2$，解得$x=6$（甲的行走时间），乙的行走时间为$6-2=4\mathrm{min}$，即乙出发后4分钟相遇，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；一次函数解析式求解
【点评】
本题结合一次函数图像考查实际行程问题，需要先准确理解图像横纵坐标、端点、线段的实际含义，再结合行程公式与一次函数的性质求解，易错点是容易忽略乙晚出发2分钟的条件，误将甲的行走时间当成乙的行走时间。
【难度系数】
0.7
2.(惠山区期末)甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y(m)与无人机上升的时间 x(s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是 (
A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
C.乙无人机上升的速度为8 m/s
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
B
)A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
C.乙无人机上升的速度为8 m/s
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
答案
2.B
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先从图像中提取甲、乙两架无人机高度与时间对应的坐标点，利用待定系数法分别求出两者高度关于时间的一次函数解析式，再将对应时间代入解析式计算高度，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据图像信息，先分别求解甲、乙的高度y（单位：m）与上升时间x（单位：s）的函数解析式：
1. 求甲的函数解析式：
甲的图像过原点$(0,0)$，设解析式为$ y = k_1x $，将点$(5,40)$代入解析式得：
$ 40 = 5k_1 $，解得$ k_1 = 8 $，因此甲的解析式为$ y_甲 = 8x $。
2. 求乙的函数解析式：
乙的初始高度为20m，图像过点$(0,20)$，设解析式为$ y = k_2x + b $，将$(0,20)$、$(5,40)$分别代入：
将$ x=0,y=20 $代入得$ b=20 $；再将$ b=20 $、$ x=5,y=40 $代入得$ 40 = 5k_2 + 20 $，解得$ k_2 = 4 $，因此乙的解析式为$ y_乙 = 4x + 20 $。
逐一判断选项：
A. 5s时，甲上升高度为40m，乙上升高度为$ 40 - 20 = 20m $，并非都上升40m，A错误；
B. 10s时，代入解析式得$ y_甲 = 8×10 = 80m $，$ y_乙 = 4×10 + 20 = 60m $，两者高度差为$ 80 - 60 = 20m $，B正确；
C. 乙无人机上升速度为$ 4m/s $，不是8m/s，C错误；
D. 10s时，甲无人机距离地面高度为80m，不是60m，D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数应用、待定系数法求解析式、函数图像分析
【点评】
本题结合实际运动场景考查一次函数的应用，解题关键是从图像中准确提取有效坐标信息，正确求出函数解析式，再代入数值计算验证即可，是一次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先从图像中提取甲、乙两架无人机高度与时间对应的坐标点，利用待定系数法分别求出两者高度关于时间的一次函数解析式，再将对应时间代入解析式计算高度，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据图像信息，先分别求解甲、乙的高度y（单位：m）与上升时间x（单位：s）的函数解析式：
1. 求甲的函数解析式：
甲的图像过原点$(0,0)$，设解析式为$ y = k_1x $，将点$(5,40)$代入解析式得：
$ 40 = 5k_1 $，解得$ k_1 = 8 $，因此甲的解析式为$ y_甲 = 8x $。
2. 求乙的函数解析式：
乙的初始高度为20m，图像过点$(0,20)$，设解析式为$ y = k_2x + b $，将$(0,20)$、$(5,40)$分别代入：
将$ x=0,y=20 $代入得$ b=20 $；再将$ b=20 $、$ x=5,y=40 $代入得$ 40 = 5k_2 + 20 $，解得$ k_2 = 4 $，因此乙的解析式为$ y_乙 = 4x + 20 $。
逐一判断选项：
A. 5s时，甲上升高度为40m，乙上升高度为$ 40 - 20 = 20m $，并非都上升40m，A错误；
B. 10s时，代入解析式得$ y_甲 = 8×10 = 80m $，$ y_乙 = 4×10 + 20 = 60m $，两者高度差为$ 80 - 60 = 20m $，B正确；
C. 乙无人机上升速度为$ 4m/s $，不是8m/s，C错误；
D. 10s时，甲无人机距离地面高度为80m，不是60m，D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数应用、待定系数法求解析式、函数图像分析
【点评】
本题结合实际运动场景考查一次函数的应用，解题关键是从图像中准确提取有效坐标信息，正确求出函数解析式，再代入数值计算验证即可，是一次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.(工业园区月考)如图是A，B两种手机套餐每月资费y(元)与通话时间x(分)的函数图象.若小红每月通话时间大约为500分钟，则她选择
B
种手机资费套餐更合适.答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先观察一次函数图象的交点，交点表示两种套餐资费相同的通话时间和费用。接下来将所求通话时间（500分钟）和交点对应的通话时间（600分钟）做对比，判断对应通话时间下哪个套餐的资费更低：在交点左侧，位置更低的函数图象对应资费更低，交点右侧则相反，由此即可选出合适的套餐。
【解析】
由图象可知，A、B两种套餐资费函数的交点为$\boldsymbol{(600,80)}$，即当通话时间为600分钟时，两种套餐费用均为80元。
当通话时间小于600分钟时，套餐B的资费$y$小于套餐A的资费；当通话时间大于600分钟时，套餐A的资费更低。
小红每月通话时间约为500分钟，$500＜600$，此时选择B套餐资费更少，更合适。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的实际应用；方案选择问题
【点评】
本题结合生活中的手机资费套餐问题考查一次函数的应用，解题核心是理解函数图象中横纵坐标、交点的实际意义，能根据图象判断不同自变量范围内函数值的大小关系，难度不大，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察一次函数图象的交点，交点表示两种套餐资费相同的通话时间和费用。接下来将所求通话时间（500分钟）和交点对应的通话时间（600分钟）做对比，判断对应通话时间下哪个套餐的资费更低：在交点左侧，位置更低的函数图象对应资费更低，交点右侧则相反，由此即可选出合适的套餐。
【解析】
由图象可知，A、B两种套餐资费函数的交点为$\boldsymbol{(600,80)}$，即当通话时间为600分钟时，两种套餐费用均为80元。
当通话时间小于600分钟时，套餐B的资费$y$小于套餐A的资费；当通话时间大于600分钟时，套餐A的资费更低。
小红每月通话时间约为500分钟，$500＜600$，此时选择B套餐资费更少，更合适。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数的实际应用；方案选择问题
【点评】
本题结合生活中的手机资费套餐问题考查一次函数的应用，解题核心是理解函数图象中横纵坐标、交点的实际意义，能根据图象判断不同自变量范围内函数值的大小关系，难度不大，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
4.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式.小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行的时间x(min)之间的函数关系如图中折线段ABCD所示.在步行过程中，小明先到达甲地.有下列结论：①甲、乙两地相距5400 m；②两人出发后30 min相遇；③小丽步行的速度为100 m/min，小明步行的速度为80 m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有980 m.其中，正确结论的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确函数图象的横、纵坐标的含义：横坐标x是步行时间，纵坐标y是两人之间的距离。第一步看图象起点A，x=0时两人还未出发，此时的y值就是甲乙两地的距离；第二步看B点，y=0代表两人距离为0，即相遇；第三步计算两人速度，先通过相遇时间算出速度和，再根据“小明先到达甲地”的条件，判断出D点对应步行更慢的小丽走完全程的时间，算出小丽的速度后就能得到小明的速度，最后逐一验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：当x=0时，两人未出发，此时y=5400m，就是甲乙两地的距离，故①正确；
2. 验证结论②：当x=30min时，y=0m，说明两人此时距离为0，即出发30min后相遇，故②正确；
3. 验证结论③：两人的速度和=总路程÷相遇时间=5400÷30=180m/min。因为小明先到甲地，所以走完全程用时更长的是小丽，由图可知小丽走完全程用时67.5min，因此小丽的速度=5400÷67.5=80m/min，小明的速度=180-80=100m/min，结论③的速度表述颠倒，故③错误；
4. 验证结论④：小明走完全程的时间=5400÷100=54min，此时小丽走的路程=80×54=4320m，小丽离乙地的距离=5400-4320=1080m≠980m，故④错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的实际应用，行程相遇问题，函数图象识别
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，核心是理解图象中特殊点（起点、交点、终点）对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系计算即可，需要注意区分两人的速度快慢，避免混淆。
【难度系数】
0.7
首先明确函数图象的横、纵坐标的含义：横坐标x是步行时间，纵坐标y是两人之间的距离。第一步看图象起点A，x=0时两人还未出发，此时的y值就是甲乙两地的距离；第二步看B点，y=0代表两人距离为0，即相遇；第三步计算两人速度，先通过相遇时间算出速度和，再根据“小明先到达甲地”的条件，判断出D点对应步行更慢的小丽走完全程的时间，算出小丽的速度后就能得到小明的速度，最后逐一验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：当x=0时，两人未出发，此时y=5400m，就是甲乙两地的距离，故①正确；
2. 验证结论②：当x=30min时，y=0m，说明两人此时距离为0，即出发30min后相遇，故②正确；
3. 验证结论③：两人的速度和=总路程÷相遇时间=5400÷30=180m/min。因为小明先到甲地，所以走完全程用时更长的是小丽，由图可知小丽走完全程用时67.5min，因此小丽的速度=5400÷67.5=80m/min，小明的速度=180-80=100m/min，结论③的速度表述颠倒，故③错误；
4. 验证结论④：小明走完全程的时间=5400÷100=54min，此时小丽走的路程=80×54=4320m，小丽离乙地的距离=5400-4320=1080m≠980m，故④错误。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的实际应用，行程相遇问题，函数图象识别
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，核心是理解图象中特殊点（起点、交点、终点）对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系计算即可，需要注意区分两人的速度快慢，避免混淆。
【难度系数】
0.7
5.一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为
$\frac{29}{3}$
.答案
5.$\frac{29}{3}$
解析
【分析】
解题时首先分段分析图像对应的实际过程：①0~3分钟仅打开进水管，可先求进水管的注水速度；②3~8分钟同时打开进出水管，根据该阶段的水量变化求出出水管的排水速度；③8分钟后仅打开出水管，根据剩余水量和排水速度求出排完水所需的时间，最后将该时间加8即可得到a的值。
【解析】
1. 计算进水管的注水速度：
由图可知，前3分钟仅进水，共注入30升水，因此进水管的注水速度为：
$v_{进}=\frac{30}{3}=10$（升/分）
2. 计算出水管的排水速度：
3到8分钟共时长$8-3=5$分钟，水量从30升降到20升，共减少了$30-20=10$升，即同时开启进出水管时，每分钟净减少水量为$\frac{10}{5}=2$（升/分）。
已知进水速度为10升/分，因此出水管的排水速度为：
$v_{出}=10+2=12$（升/分）
3. 计算a的值：
8分钟后关闭进水管，仅打开出水管，此时容器内剩余水量为20升，排完这些水需要的时间为：
$t=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$（分）
因此$a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$
【答案】
$\frac{29}{3}$
【知识点】
函数图象应用，效率计算，分段问题求解
【点评】
本题结合函数图像考查实际生活中的进出水问题，解题的核心是分段分析不同阶段的水量变化，准确计算进出水的速度，能够有效考查学生的读图分析能力和分段处理实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先分段分析图像对应的实际过程：①0~3分钟仅打开进水管，可先求进水管的注水速度；②3~8分钟同时打开进出水管，根据该阶段的水量变化求出出水管的排水速度；③8分钟后仅打开出水管，根据剩余水量和排水速度求出排完水所需的时间，最后将该时间加8即可得到a的值。
【解析】
1. 计算进水管的注水速度：
由图可知，前3分钟仅进水，共注入30升水，因此进水管的注水速度为：
$v_{进}=\frac{30}{3}=10$（升/分）
2. 计算出水管的排水速度：
3到8分钟共时长$8-3=5$分钟，水量从30升降到20升，共减少了$30-20=10$升，即同时开启进出水管时，每分钟净减少水量为$\frac{10}{5}=2$（升/分）。
已知进水速度为10升/分，因此出水管的排水速度为：
$v_{出}=10+2=12$（升/分）
3. 计算a的值：
8分钟后关闭进水管，仅打开出水管，此时容器内剩余水量为20升，排完这些水需要的时间为：
$t=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$（分）
因此$a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$
【答案】
$\frac{29}{3}$
【知识点】
函数图象应用，效率计算，分段问题求解
【点评】
本题结合函数图像考查实际生活中的进出水问题，解题的核心是分段分析不同阶段的水量变化，准确计算进出水的速度，能够有效考查学生的读图分析能力和分段处理实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
