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6.(2024春·姑苏区月考)用充电器给某手机充电时,其屏幕画面显示目前电量为20%(如图①).经测试,在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时,其电量y(%)与充电时间x(h)的函数图象分别为图②中的线段AB,AC.根据以上信息,回答下列问题:
(1)求线段AC对应的函数表达式;
(2)先用普通充电器充电a h后,再改为用快速充电器直至充满电,一共用时3 h.请在图②中画出电量y(%)与充电时间x(h)的函数图象,并标注出a所对应的值.
(1)求线段AC对应的函数表达式;
(2)先用普通充电器充电a h后,再改为用快速充电器直至充满电,一共用时3 h.请在图②中画出电量y(%)与充电时间x(h)的函数图象,并标注出a所对应的值.
答案
6.解:(1)设线段AC对应的函数表达式为$y=kx+b$.
将$(0,20),(6,100)$代入,得$\begin{cases} b=20, \\ 6k+b=100, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=20, \\ k=\frac{40}{3}. \end{cases}$
∴线段AC对应的函数表达式为$y=\frac{40}{3}x+20(0≤ x≤6)$.
(2)根据题意,得$\frac{100-20}{6}a+\frac{100-20}{2}(3-a)+20=100$,
解得$a=1.5$.
画出电量$y(\%)$与充电时间$x(\mathrm{h})$的函数图象如
.解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式通常使用待定系数法，先设出函数解析式$y=kx+b$，再从图象中提取线段AC经过的两个已知点坐标$A(0,20)$、$C(6,100)$，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数后，结合实际意义写出自变量的取值范围即可。
(2) 先根据线段AB、AC的起止点坐标，分别计算出快速充电器和普通充电器每小时的充电量；再根据“总充电时长3h”可知快速充电时长为$(3-a)h$，结合“初始电量+普通充电增加电量+快速充电增加电量=满电量100%”的等量关系列一元一次方程，求解得到a的值，最后根据充电过程画出分段的函数图象即可。
【解析】
(1) 设线段AC对应的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将点$A(0,20)$、$C(6,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 6k+b=100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{40}{3} \\ b=20 \end{cases}$
结合实际充电时长的范围，可得线段AC的函数表达式为$y=\frac{40}{3}x+20\ (0≤ x≤6)$。
(2) 由图象可得：
普通充电器每小时充电量为$\frac{100-20}{6}=\frac{40}{3}\%$，
快速充电器每小时充电量为$\frac{100-20}{2}=40\%$。
根据题意，普通充电$a\ \mathrm{h}$，快速充电时长为$(3-a)\ \mathrm{h}$，总电量达到100%，列方程得：
$20+\frac{40}{3}a + 40(3-a)=100$
解方程得：
$20+\frac{40}{3}a+120-40a=100$
$140-\frac{80}{3}a=100$
$\frac{80}{3}a=40$
$a=1.5$
画图：先从点$A(0,20)$画线段到点$(1.5,40)$，再从点$(1.5,40)$画线段到点$(3,100)$，标注$a=1.5$即可。
【答案】
(1) 线段AC对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{40}{3}x+20(0≤ x≤6)}$；
(2) $\boldsymbol{a=1.5}$，对应的函数图象如下：
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合手机充电的生活场景考查一次函数的实际应用，题目贴合生活实际，难度适中，解题核心是读懂函数图象中各点的实际意义，结合等量关系列式求解，能有效锻炼学生提取信息、应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数表达式通常使用待定系数法，先设出函数解析式$y=kx+b$，再从图象中提取线段AC经过的两个已知点坐标$A(0,20)$、$C(6,100)$，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数后，结合实际意义写出自变量的取值范围即可。
(2) 先根据线段AB、AC的起止点坐标，分别计算出快速充电器和普通充电器每小时的充电量；再根据“总充电时长3h”可知快速充电时长为$(3-a)h$，结合“初始电量+普通充电增加电量+快速充电增加电量=满电量100%”的等量关系列一元一次方程，求解得到a的值，最后根据充电过程画出分段的函数图象即可。
【解析】
(1) 设线段AC对应的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将点$A(0,20)$、$C(6,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=20 \\ 6k+b=100 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{40}{3} \\ b=20 \end{cases}$
结合实际充电时长的范围，可得线段AC的函数表达式为$y=\frac{40}{3}x+20\ (0≤ x≤6)$。
(2) 由图象可得：
普通充电器每小时充电量为$\frac{100-20}{6}=\frac{40}{3}\%$，
快速充电器每小时充电量为$\frac{100-20}{2}=40\%$。
根据题意，普通充电$a\ \mathrm{h}$，快速充电时长为$(3-a)\ \mathrm{h}$，总电量达到100%，列方程得：
$20+\frac{40}{3}a + 40(3-a)=100$
解方程得：
$20+\frac{40}{3}a+120-40a=100$
$140-\frac{80}{3}a=100$
$\frac{80}{3}a=40$
$a=1.5$
画图：先从点$A(0,20)$画线段到点$(1.5,40)$，再从点$(1.5,40)$画线段到点$(3,100)$，标注$a=1.5$即可。
【答案】
(1) 线段AC对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{40}{3}x+20(0≤ x≤6)}$；
(2) $\boldsymbol{a=1.5}$，对应的函数图象如下：
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合手机充电的生活场景考查一次函数的实际应用，题目贴合生活实际，难度适中，解题核心是读懂函数图象中各点的实际意义，结合等量关系列式求解，能有效锻炼学生提取信息、应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7.(2024·南京模拟)A,B两地相距120 km,一辆快车和一辆慢车分别从A,B两地同时出发相向而行,相遇后两车继续行驶.快车到达B地后立即按原路原速返回,慢车到达A地后停止.快、慢两车离A地的距离y₁(km),y₂(km)与出发时间x(h)之间的函数关系如图所示.
(1)补全y₁与x之间的函数图象.
(2)若慢车的速度为30 km/h.
①点P的坐标为
②快车到达A地前,两车何时相距30 km?
(3)若慢车在快车返回A地后0.5 h内到达,则慢车速度v的取值范围是
(1)补全y₁与x之间的函数图象.
(2)若慢车的速度为30 km/h.
①点P的坐标为
(1,90)
;②快车到达A地前,两车何时相距30 km?
(3)若慢车在快车返回A地后0.5 h内到达,则慢车速度v的取值范围是
$\frac{720}{19}＜v≤45$
.答案
7.解:(1)
∵快车到达B地后立即按原路原速返回,
∴快车返回A地时,$x=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.
补全$y_1$与$x$之间的函数图象如
.(2)①$(1,90)$
②根据题意,得$y_2=120-30x$.
当$0≤ x≤\frac{4}{3}$时,$y_1=90x$.
∴$|120-30x-90x|=30$,解得$x=\frac{3}{4}$或$x=\frac{5}{4}$;
当$\frac{4}{3}＜x≤\frac{8}{3}$时,$y_1=120-90(x-\frac{4}{3})=-90x+240$,
∴$|120-30x-(-90x+240)|=30$,解得$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$.
综上所述,当$x=\frac{3}{4}$或$x=\frac{5}{4}$或$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$时,两车相距30 km.
(3)$\frac{720}{19}＜v≤45$
解析
【分析】
1. 补全快车离A地距离的函数图象：先根据图象算出快车速度为$120÷\frac{4}{3}=90\mathrm{km/h}$，快车原路原速返回，因此返回A地用时也为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，总用时$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，因此在$x=\frac{8}{3}$时$y_1=0$，连接$(\frac{4}{3},120)$和$(\frac{8}{3},0)$即可补全图象。
2. 求点P坐标：点P是$y_1$与$y_2$的交点，即两车相遇位置，两车相向而行时速度和为$90+30=120\mathrm{km/h}$，相遇时间为总路程÷速度和=1h，此时快车离A地距离为$90×1=90\mathrm{km}$，即可得到P点坐标。
3. 求两车相距30km的时间：需分两个阶段讨论：①快车到达B地前，分别写出$y_1$、$y_2$的函数表达式，根据两车距离差的绝对值为30列方程求解；②快车从B地返回A地时，先求出此时$y_1$的函数表达式，同样根据距离差为30列方程求解，注意舍去超出自变量取值范围的解。
4. 求慢车速度范围：先确定快车返回A地的时间为$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，慢车到达时间在$\frac{8}{3}\mathrm{h}$到$\frac{8}{3}+0.5=\frac{19}{6}\mathrm{h}$之间，结合速度=路程÷时间，代入时间范围即可求出速度的取值范围。
【解析】
(1) 快车从A地到B地用时$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，原速返回A地也需要$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，因此返回A地时$x=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，补全$y_1$与$x$之间的函数图象如。
(2) ① 快车的速度为$120÷\frac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$，两车相向而行，相遇时间为$120÷(90+30)=1(\mathrm{h})$，此时快车离A地的距离为$90×1=90(\mathrm{km})$，因此点P的坐标为$(1,90)$。
② 根据题意，慢车离A地的距离$y_2=120-30x$。
当$0\le x\le\frac{4}{3}$时，$y_1=90x$，由两车相距30km得：
$|120-30x-90x|=30$
解得$x=\frac{3}{4}$或$x=\frac{5}{4}$，两个解均符合取值范围。
当$\frac{4}{3}＜x\le\frac{8}{3}$时，$y_1=120-90(x-\frac{4}{3})=-90x+240$，由两车相距30km得：
$|120-30x-(-90x+240)|=30$
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$，两个解均符合取值范围。
综上，两车相距30km的时间为$x=\frac{3}{4}\mathrm{h}$或$\frac{5}{4}\mathrm{h}$或$\frac{3}{2}\mathrm{h}$或$\frac{5}{2}\mathrm{h}$。
(3) 快车返回A地的时间为$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，慢车在快车返回A地后0.5h内到达，因此慢车走完全程的时间$t$满足$\frac{8}{3}＜t\le\frac{8}{3}+\frac{1}{2}=\frac{19}{6}$，由$v=\frac{120}{t}$得：
$\frac{120}{\frac{19}{6}}\le v＜\frac{120}{\frac{8}{3}}$，即$\frac{720}{19}＜v\le45$。
【答案】
(1) 补全图象如；
(2) ① $\boldsymbol{(1,90)}$；② 出发$\frac{3}{4}\mathrm{h}$或$\frac{5}{4}\mathrm{h}$或$\frac{3}{2}\mathrm{h}$或$\frac{5}{2}\mathrm{h}$时，两车相距30km；
(3) $\boldsymbol{\frac{720}{19}＜v\le45}$
【知识点】
一次函数实际应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题将一次函数与行程问题结合，考查了分段函数的应用、绝对值方程的求解，解题时需根据车辆行驶的不同阶段分类讨论，同时要注意结合自变量的取值范围对解进行取舍，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 补全快车离A地距离的函数图象：先根据图象算出快车速度为$120÷\frac{4}{3}=90\mathrm{km/h}$，快车原路原速返回，因此返回A地用时也为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，总用时$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，因此在$x=\frac{8}{3}$时$y_1=0$，连接$(\frac{4}{3},120)$和$(\frac{8}{3},0)$即可补全图象。
2. 求点P坐标：点P是$y_1$与$y_2$的交点，即两车相遇位置，两车相向而行时速度和为$90+30=120\mathrm{km/h}$，相遇时间为总路程÷速度和=1h，此时快车离A地距离为$90×1=90\mathrm{km}$，即可得到P点坐标。
3. 求两车相距30km的时间：需分两个阶段讨论：①快车到达B地前，分别写出$y_1$、$y_2$的函数表达式，根据两车距离差的绝对值为30列方程求解；②快车从B地返回A地时，先求出此时$y_1$的函数表达式，同样根据距离差为30列方程求解，注意舍去超出自变量取值范围的解。
4. 求慢车速度范围：先确定快车返回A地的时间为$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，慢车到达时间在$\frac{8}{3}\mathrm{h}$到$\frac{8}{3}+0.5=\frac{19}{6}\mathrm{h}$之间，结合速度=路程÷时间，代入时间范围即可求出速度的取值范围。
【解析】
(1) 快车从A地到B地用时$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，原速返回A地也需要$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，因此返回A地时$x=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，补全$y_1$与$x$之间的函数图象如
。(2) ① 快车的速度为$120÷\frac{4}{3}=90(\mathrm{km/h})$，两车相向而行，相遇时间为$120÷(90+30)=1(\mathrm{h})$，此时快车离A地的距离为$90×1=90(\mathrm{km})$，因此点P的坐标为$(1,90)$。
② 根据题意，慢车离A地的距离$y_2=120-30x$。
当$0\le x\le\frac{4}{3}$时，$y_1=90x$，由两车相距30km得：
$|120-30x-90x|=30$
解得$x=\frac{3}{4}$或$x=\frac{5}{4}$，两个解均符合取值范围。
当$\frac{4}{3}＜x\le\frac{8}{3}$时，$y_1=120-90(x-\frac{4}{3})=-90x+240$，由两车相距30km得：
$|120-30x-(-90x+240)|=30$
解得$x=\frac{3}{2}$或$x=\frac{5}{2}$，两个解均符合取值范围。
综上，两车相距30km的时间为$x=\frac{3}{4}\mathrm{h}$或$\frac{5}{4}\mathrm{h}$或$\frac{3}{2}\mathrm{h}$或$\frac{5}{2}\mathrm{h}$。
(3) 快车返回A地的时间为$\frac{8}{3}\mathrm{h}$，慢车在快车返回A地后0.5h内到达，因此慢车走完全程的时间$t$满足$\frac{8}{3}＜t\le\frac{8}{3}+\frac{1}{2}=\frac{19}{6}$，由$v=\frac{120}{t}$得：
$\frac{120}{\frac{19}{6}}\le v＜\frac{120}{\frac{8}{3}}$，即$\frac{720}{19}＜v\le45$。
【答案】
(1) 补全图象如
；(2) ① $\boldsymbol{(1,90)}$；② 出发$\frac{3}{4}\mathrm{h}$或$\frac{5}{4}\mathrm{h}$或$\frac{3}{2}\mathrm{h}$或$\frac{5}{2}\mathrm{h}$时，两车相距30km；
(3) $\boldsymbol{\frac{720}{19}＜v\le45}$
【知识点】
一次函数实际应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题将一次函数与行程问题结合，考查了分段函数的应用、绝对值方程的求解，解题时需根据车辆行驶的不同阶段分类讨论，同时要注意结合自变量的取值范围对解进行取舍，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
