7 (2025无锡新吴期中)如图,若△ABC的三条角平分线AD,BE,CF相交于点G,则与∠FAG互余的角是 ()

A.∠CGD
B.∠AGE
C.∠EGC
D.∠AFG

7. C

【分析】
解题时先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。再结合相关性质逐步推导：①利用角平分线的性质，可得∠FAG是∠BAC的一半；②结合三角形内角和为180°，可推出三个内角的一半相加为90°，即∠FAG与∠ABC、∠ACB的一半之和为90°；③利用三角形外角性质，找到等于∠ABC、∠ACB一半之和的角，即可判断它与∠FAG互余。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ FAG=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴$∠ GBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ GCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
根据三角形内角和定理，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$，
等式两边同时除以2得：$\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=90°$，
即$∠ GBC+∠ GCB+∠ FAG=90°$。
∵$∠ EGC$是$△ BGC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠ EGC=∠ GBC+∠ GCB$，
代入上式得：$∠ EGC+∠ FAG=90°$，
因此与$∠ FAG$互余的角是$∠ EGC$。
【答案】
C
【知识点】
三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形三线相关的基础综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线、内角和、外角的性质，通过等量代换找到两角的和为90°即可。
【难度系数】
0.7

8 易错题（2025南京鼓楼月考）已知在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$AH$是边$BC$上的高，若$∠ CAH=45°$，则$∠ BAC=$。

8. $105°或15°$

【分析】
题目未明确△ABC的形状，BC边上的高AH的位置存在两种可能：在三角形内部或在三角形外部，因此需分情况讨论。先根据高的定义得到直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余求出∠BAH的度数，最后结合∠CAH=45°计算∠BAC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AH在△ABC内部时：
∵AH是BC边上的高，
∴∠AHB=90°
在Rt△ABH中，∠B=30°，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠BAH=90°-∠B=90°-30°=60°
∵∠CAH=45°
∴∠BAC=∠BAH+∠CAH=60°+45°=105°
2. 当高AH在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
同理，在Rt△ABH中，∠BAH=90°-30°=60°
∵∠CAH=45°
∴∠BAC=∠BAH-∠CAH=60°-45°=15°
综上，∠BAC的度数为105°或15°。
【答案】
105°或15°
【知识点】
三角形的高的定义；直角三角形两锐角互余；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是考虑到三角形的高可能在三角形内部也可能在外部，需分情况讨论，避免只考虑高在三角形内部的情况造成漏解。
【难度系数】
0.6

9 (2025宿迁泗阳期中)如图，在$△ ABC$中，已知$D,E,F$分别为边$BC,AD,CE$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{\mathrm{阴影}}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$

9. 1

【分析】
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等。解题时先根据D是BC中点，推导△ABD和△ACD的面积；再结合E是AD中点，求出△BCE的面积；最后根据F是CE中点，算出阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，AD是△ABC的中线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
∵E是AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
∵F是CE的中点，BF是△BCE的中线
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线面积性质的基础应用题型，只需多次运用“中线将三角形分为面积相等的两部分”的规律逐步推导，即可得到结果，解题时注意理清各三角形之间的面积关系即可。
【难度系数】
0.7

10 思想方法转化思想 (2025泰州靖江月考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,边$BC$上的高$AD=8$,$P$为$BC$上一点,且$PE⊥ AB$,$PF⊥ AC$,则$PE+PF$的值为.

10. 9.6

【分析】
遇到求两条垂线段长度和的问题，可考虑用面积法求解。我们可以将△ABC的面积拆分为△ABP和△ACP的面积之和，两个小三角形的高分别是PE和PF，底分别是AB和AC，而△ABC的面积可直接用底BC和高AD计算，结合AB=AC的条件，就能建立等式求出PE+PF的值。
【解析】
解：连接AP，
首先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$，
又因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABP} + S_{△ ACP}$，
其中$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × PE$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2} × AC × PF$，且$AB=AC=10$，
代入得：$48 = \frac{1}{2} × 10 × PE + \frac{1}{2} × 10 × PF$，
整理得：$48 = 5(PE + PF)$，
解得：$PE + PF = \frac{48}{5} = 9.6$。
【答案】
9.6
【知识点】
三角形面积公式；面积法的应用；等腰三角形的性质
【点评】
本题是面积法的典型应用，解题核心是通过分割大三角形为两个小三角形，利用面积相等建立线段之间的等量关系，避免了分别计算两条线段长度的繁琐，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

11（2025常州溧阳期末）如图，在$△ ABC$中，$AE$是角平分线，$D$是边$AB$上的点，$AE$，$CD$相交于点$F$.
（1）如图1，若$∠ ACB=∠ CDB=90°$，求证：$∠ CFE=∠ CEF$；
（2）如图2，若$∠ ACB=∠ CDB=m(0°＜m＜180°)$，求$∠ CEF-∠ CFE$的值.（用含$m$的代数式表示）

11. （1）证明:因为$∠ACB=∠CDB=90°$,
所以$∠B=90°-∠DCB,∠ACD=90°-∠DCB$,
所以$∠B=∠ACD$.
因为 AE 平分$∠CAB$,所以$∠CAF=∠BAE$.
又$∠CFE=∠ACD+∠CAF,∠CEF=∠B+∠BAE$,
所以$∠CFE=∠CEF$.
（2）解:因为$∠CEF=∠B+∠BAE,∠CFE=∠ACD+∠CAE$,
所以$∠CEF-∠CFE=∠B-∠ACD$.
因为$∠B=180°-m-∠DCB,∠ACD=m-∠DCB$,
所以$∠CEF-∠CFE=(180°-m-∠DCB)-(m-∠DCB)=180°-2m$.

【分析】
（1）要证明∠CFE=∠CEF，可借助三角形外角的性质，将两个角分别转化为两个内角的和：已知AE是角平分线，可得∠CAF=∠BAE，因此只需证明∠ACD=∠B即可；结合∠ACB=∠CDB=90°，可知∠ACD和∠B都与∠DCB互余，根据同角的余角相等即可得∠ACD=∠B，代入外角表达式即可证得结论。
（2）求∠CEF-∠CFE的差值，同样先利用三角形外角性质展开两个角，结合角平分线的性质消去相等的角，得到差值为∠B-∠ACD；再根据三角形内角和定理，将∠B和∠ACD用含m和∠DCB的式子表示，相减后公共角∠DCB抵消，即可得到最终结果。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠ACB=∠CDB=90°，
∴ ∠B=90°-∠DCB，∠ACD=90°-∠DCB，
∴ ∠B=∠ACD。
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠CAF=∠BAE。
又
∵ ∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴ ∠CFE=∠ACD+∠CAF，∠CEF=∠B+∠BAE，
∴ ∠CFE=∠CEF。
（2）解：
∵ ∠CEF是△ABE的外角，∠CFE是△ACF的外角，
∴ ∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAE。
∵ AE平分∠CAB，
∴ ∠BAE=∠CAE，
∴ ∠CEF-∠CFE=∠B-∠ACD。
∵ ∠ACB=∠CDB=m，
在△CDB中，∠B=180°-∠CDB-∠DCB=180°-m-∠DCB，
又
∵ ∠ACD=∠ACB-∠DCB=m-∠DCB，
∴ ∠CEF-∠CFE=(180°-m-∠DCB)-(m-∠DCB)=180°-2m。
【答案】
（1）∠CFE=∠CEF得证；
（2）$\boxed{180°-2m}$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，核心是利用三角形外角的性质将待研究的角转化为多个内角的和差关系，结合角平分线的性质简化运算，第二问通过公共角消元的方法即可快速求出差值，掌握内外角的转化技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7

12 新趋势 新概念（2025无锡宜兴月考）【引入概念1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”。
【引入概念2】从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形。若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。
（1）如图1，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在$△ ABC$中，$CD$为角平分线，$∠ A=40°$，$∠ B=60°$。请你证明$CD$是$△ ABC$的“等角分割线”。

12. （1）解:因为$∠ACB=90°,CD⊥AB$,
所以$∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°$.
因为$∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCD=90°$,
所以$∠CAD=∠BCD$,同理可得$∠ACD=∠CBD$,
所以$△ACD$与$△CBD$是“等角三角形”.
因为$∠CAD=∠BAC$,
所以$△ACD$与$△ABC$是“等角三角形”.(答案不唯一)
（2）证明:因为$∠A=40°,∠B=60°$,
所以$∠ACB=180°-∠A-∠B=80°$.
因为 CD 为角平分线，
所以$∠ACD=∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$.
因为$∠ACD=∠A$,
所以$△ACD$是有两个角相等的三角形.
又$∠CDB=2∠A=80°=∠ACB,∠A=∠BCD,∠B=∠B$,所以$△CBD$与$△ABC$是“等角三角形”，
所以 CD 是$△ABC$的“等角分割线”.

【分析】
（1）第一问先明确“等角三角形”的定义：两个三角形三个角分别相等即为等角三角形。已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可得三个直角相等，再利用同角的余角相等推导剩余锐角的等量关系，就能找出满足条件的等角三角形。
（2）第二问需紧扣“等角分割线”的两个判定条件：①分割得到的两个小三角形中，有一个存在两个相等的角；②另一个小三角形与原三角形是等角三角形。首先用三角形内角和计算原三角形∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到两个分角的度数，先验证△ACD有两个相等的角，再验证△CBD和原△ABC的三个角分别对应相等，即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，
∴$∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°$，
∵$∠ACD+∠CAD=90°$，$∠ACD+∠BCD=90°$，
∴$∠CAD=∠BCD$，同理可得$∠ACD=∠CBD$，
∴$△ACD$与$△CBD$的三个角分别相等，是“等角三角形”；
又
∵$∠CAD=∠BAC$，$∠ADC=∠ACB$，$∠ACD=∠B$，
∴$△ACD$与$△ABC$的三个角分别相等，是“等角三角形”。
（答案不唯一，$△CBD$与$△ABC$也为等角三角形）
（2）证明：
在$△ABC$中，$∠A=40°$，$∠B=60°$，
∴$∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°$，
∵CD为角平分线，
∴$∠ACD=∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$，
∴$∠ACD=∠A=40°$，即$△ACD$是有两个角相等的三角形，
在$△CBD$中，$∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-60°-40°=80°$，
∴$∠CDB=∠ACB=80°$，又$∠B=∠B$，$∠BCD=∠A=40°$，
∴$△CBD$与$△ABC$的三个角分别相等，互为“等角三角形”，
符合“等角分割线”的定义，因此CD是$△ABC$的“等角分割线”。
【答案】
（1）$△ACD$与$△CBD$是“等角三角形”，$△ACD$与$△ABC$是“等角三角形”（答案不唯一）
（2）CD是$△ABC$的“等角分割线”，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义
【点评】
本题属于新定义类题型，侧重考查对新概念的理解和知识迁移应用能力，解题核心是紧扣“等角三角形”“等角分割线”的定义，结合已学的三角形相关性质逐步推导，只要理清定义逻辑就能顺利解题。
【难度系数】
0.7