1（2025扬州广陵期中）下列四个图中，正确画出△ABC中边BC上的高的是（）

1. C

【分析】
要判断哪个图形是△ABC中BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。因此BC边上的高需要满足两个条件：①线段的一个端点是顶点A；②线段与BC所在的直线垂直，垂足在BC或BC的延长线、反向延长线上，结合这两个条件逐一排查选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，△ABC中BC边上的高是过点A作BC所在直线的垂线，顶点A到垂足之间的线段：
选项A：垂线端点为点B，不是点A，不符合BC边上高的要求，错误；
选项B：垂线BD垂直于AC，是AC边上的高，不是BC边上的高，错误；
选项C：过点A作AD垂直于BC所在直线，垂足D在CB的延长线上，符合BC边上高的定义，正确；
选项D：AD垂直于AB，未垂直于BC，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的识别，解题的核心是牢记三角形高的两个特征：过对应顶点、垂直于对边所在直线，需注意垂足既可以在对边上，也可以在对边的延长线上。
【难度系数】
0.8

2 教材P9练习T3·变式（2025宿迁宿城月考）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列说法中错误的是（）

A.$S_{△ ABC}=2S_{△ ACF}$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ AB$
（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）

2. C

【分析】
解题时先明确题目中CD、CE、CF分别对应三角形的高、角平分线、中线三类线段，再结合每类线段的定义和性质，逐个判断四个选项的正误，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
我们结合各线段的性质逐一分析选项：
1. CD是△ABC的高，根据三角形高的定义，可知CD⊥AB，因此D选项说法正确，不符合题意；
2. CE是△ABC的角平分线，根据三角形角平分线的定义，可知CE平分∠ACB，即$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，因此B选项说法正确，不符合题意；
3. CF是△ABC的中线，根据三角形中线的定义，可知F是AB的中点，即AF=BF，△ACF和△BCF等底同高、面积相等，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ACF}+S_{△ BCF}=2S_{△ ACF}$，A选项说法正确，不符合题意；
4. CE是角平分线，不是三角形的中线，无法推出AE=BE，因此C选项说法错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形三类特殊线段的定义与相关性质，准确区分不同线段的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3（2025无锡宜兴月考）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3 cm，BC=8 cm，则AC=cm.

3. 5

【分析】
解题时首先根据三角形中线的定义，得出AM=BM；再分别写出△BCM和△ACM的周长表达式，对比两个周长，发现公共边CM和相等的边AM、BM，作差后可消去这些边，直接得到BC与AC的长度差；最后结合已知的BC长度代入计算即可求出AC的长。
【解析】
∵CM是△ABC的中线，
∴点M是AB的中点，即$AM=BM$。
△BCM的周长为：$C_{△ BCM}=BC+BM+CM$，
△ACM的周长为：$C_{△ ACM}=AC+AM+CM$，
由题意得$C_{△ BCM}-C_{△ ACM}=3\mathrm{cm}$，
代入周长表达式得：
$(BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=3\mathrm{cm}$，
化简得$BC-AC=3\mathrm{cm}$，
已知$BC=8\mathrm{cm}$，代入得：
$8-AC=3$，
解得$AC=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等的边，通过周长作差消去公共边和相等边，简化计算，只要熟练掌握三角形中线的相关性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8

4（2025常州钟楼月考）如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$AE⊥ BC$于点E。若$△ ABC$的面积为24，$AE=6$，则BD的长为。

4. 4

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，已知△ABC的面积和高AE的长度，可利用三角形面积公式求出底边BC的长度；第二步，根据AD是BC边上的中线的性质，中线平分对边，因此BD的长度为BC的一半，代入BC的长度即可求出BD的值。
【解析】
解：
∵$AE⊥BC$，
∴AE是△ABC的BC边上的高，
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AE$，
将$S_{△ ABC}=24$，$AE=6$代入公式得：
$24=\frac{1}{2}× BC × 6$，
计算得$3BC=24$，解得$BC=8$。
又
∵AD是边BC上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形面积公式，三角形中线的性质
【点评】
本题是基础计算题，主要考查三角形面积公式和中线性质的综合应用，掌握基础概念和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=30°,AD$是高,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$AC$于点$E$,再分别以点$B,E$为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在$∠ BAC$的内部交于点$F$,作射线$AF$,则$∠ DAF=$.

5. $10°$

【分析】
解题思路如下：首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；其次根据题中的尺规作图特征，判断出AF是∠BAC的角平分线，由此求出∠BAF的度数；再结合AD是高的条件，在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数；最后用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-30°=100°$
2. 识别AF的性质：
由题中的尺规作图方法可知，AF是∠BAC的角平分线，因此：
$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
3. 计算∠BAD的度数：
因为AD是△ABC的高，所以$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ BAD=90°-∠ B=90°-50°=40°$
4. 计算∠DAF的度数：
$∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=50°-40°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和，角平分线尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是正确识别尺规作图得到的角平分线，再结合三角形高的性质、内角和定理逐步推导即可，侧重考查对基础概念和作图的识别能力。
【难度系数】
0.7

6 教材P10习题T7·变式 如图，在$△ ABC$中，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE // AB$交BC于点E，$EF // BD$交AC于点F。求证：EF平分$∠ CED$。

6. 证明:因为 BD 是△ABC 的角平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$.
因为 $DE// AB$,所以$∠ABD=∠EDB$,
所以$∠DBE=∠EDB$.
因为 $EF// BD$,
所以$∠DEF=∠BDE,∠FEC=∠DBE$,
所以$∠DEF=∠FEC$,即 EF 平分$∠CED$.

【分析】
要证明EF平分∠CED，本质是要证明∠DEF=∠FEC。我们可以从已知条件逐步推导：首先BD是△ABC的角平分线，可直接得到一组相等的角；再结合DE//AB、EF//BD这两组平行关系，利用平行线的性质，把待证的两个角分别和BD分出的相等角建立等量联系，通过等量代换就能推导出∠DEF=∠FEC，完成证明。
【解析】
证明：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
∵DE//AB，
∴∠ABD=∠EDB，
∴∠DBE=∠EDB。
∵EF//BD，
∴∠DEF=∠BDE，∠FEC=∠DBE，
∴∠DEF=∠FEC，即EF平分∠CED。
【答案】
EF平分∠CED，得证。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查角平分线定义和平行线性质的综合运用，解题的关键是利用平行线的性质完成角的等量转化，理清角之间的逻辑关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8