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1 如图所示为由边长是1个单位长度的正方形组成的网格，线段AB的端点在格点（网格中小正方形的顶点）上，则$AB^2$的值为（
A.6
B.18
C.20
D.22
C
）A.6
B.18
C.20
D.22
答案
1. C
解析
【分析】
遇到网格中求线段平方的问题时，可利用勾股定理求解。首先将线段AB作为直角三角形的斜边，过A、B两点分别作水平线和竖直线，两条线相交得到直角三角形的直角顶点，再通过数网格得到两条直角边的长度，最后代入勾股定理公式计算即可得到$AB^2$的值。
【解析】
我们将线段AB作为直角三角形的斜边，构造对应的直角三角形：
观察网格可得，该直角三角形水平方向的直角边长为4个单位长度，竖直方向的直角边长为2个单位长度。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在网格场景中的基础应用，解题关键是学会把网格中的斜线段转化为直角三角形的斜边，准确数出两条直角边的长度即可快速得出结果，是对勾股定理基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
遇到网格中求线段平方的问题时，可利用勾股定理求解。首先将线段AB作为直角三角形的斜边，过A、B两点分别作水平线和竖直线，两条线相交得到直角三角形的直角顶点，再通过数网格得到两条直角边的长度，最后代入勾股定理公式计算即可得到$AB^2$的值。
【解析】
我们将线段AB作为直角三角形的斜边，构造对应的直角三角形：
观察网格可得，该直角三角形水平方向的直角边长为4个单位长度，竖直方向的直角边长为2个单位长度。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在网格场景中的基础应用，解题关键是学会把网格中的斜线段转化为直角三角形的斜边，准确数出两条直角边的长度即可快速得出结果，是对勾股定理基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2 已知一个直角三角形的两直角边的长分别为7和24，则下列说法正确的是 （
A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168
C
）A.斜边长为625
B.三角形的周长为84
C.斜边长为25
D.三角形的面积为168
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查勾股定理及直角三角形周长、面积的计算。解题时先利用勾股定理求出斜边长度，判断A、C选项的正误；再分别计算三角形的周长和面积，验证B、D选项，最终选出正确答案。
【解析】
已知直角三角形两直角边长分别为7和24：
1. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此斜边长为$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$，故A选项错误，C选项正确。
2. 求周长：三角形周长为三边长之和，即$7+24+25=56$，故B选项错误。
3. 求面积：直角三角形面积为两直角边乘积的一半，即$\frac{1}{2}×7×24=84$，故D选项错误。
综上，只有C选项说法正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形周长计算，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查对基础公式的掌握情况，计算量小，只要熟记相关公式即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理及直角三角形周长、面积的计算。解题时先利用勾股定理求出斜边长度，判断A、C选项的正误；再分别计算三角形的周长和面积，验证B、D选项，最终选出正确答案。
【解析】
已知直角三角形两直角边长分别为7和24：
1. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此斜边长为$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$，故A选项错误，C选项正确。
2. 求周长：三角形周长为三边长之和，即$7+24+25=56$，故B选项错误。
3. 求面积：直角三角形面积为两直角边乘积的一半，即$\frac{1}{2}×7×24=84$，故D选项错误。
综上，只有C选项说法正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，直角三角形周长计算，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查对基础公式的掌握情况，计算量小，只要熟记相关公式即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
3 教材P88练习T1变式 在下列横线上填上正确的数值：
(1)
(2)
(3)
$x=$
(1)
(2)
(3)
$x=$
15
； $y=$16
； $z=$$\sqrt{29}$
。答案
3. (1) 15 (2) 16 (3) $\sqrt{29}$
解析
【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，核心运用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先明确已知边是直角边还是斜边，再代入公式计算未知边：
1. 第一个三角形中，8和x是直角边，17是斜边，列方程求x；
2. 第二个三角形中，12和y是直角边，20是斜边，列方程求y；
3. 第三个三角形中，2和5是直角边，z是斜边，代入公式求z。
【解析】
设直角三角形两直角边为$a、b$，斜边为$c$，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，边长均为正数，仅取正根计算：
(1) 该三角形中$a=8$，$c=17$，$b=x$：
$x^2+8^2=17^2$
$x^2=289-64=225$
$x=15$
(2) 该三角形中$a=12$，$c=20$，$b=y$：
$y^2+12^2=20^2$
$y^2=400-144=256$
$y=16$
(3) 该三角形中$a=2$，$b=5$，$c=z$：
$z^2=2^2+5^2=4+25=29$
$z=\sqrt{29}$
【答案】
$15$；$16$；$\sqrt{29}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角边和斜边，计算时注意边长为正数，舍去负根即可。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长求解问题，核心运用勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先明确已知边是直角边还是斜边，再代入公式计算未知边：
1. 第一个三角形中，8和x是直角边，17是斜边，列方程求x；
2. 第二个三角形中，12和y是直角边，20是斜边，列方程求y；
3. 第三个三角形中，2和5是直角边，z是斜边，代入公式求z。
【解析】
设直角三角形两直角边为$a、b$，斜边为$c$，根据勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，边长均为正数，仅取正根计算：
(1) 该三角形中$a=8$，$c=17$，$b=x$：
$x^2+8^2=17^2$
$x^2=289-64=225$
$x=15$
(2) 该三角形中$a=12$，$c=20$，$b=y$：
$y^2+12^2=20^2$
$y^2=400-144=256$
$y=16$
(3) 该三角形中$a=2$，$b=5$，$c=z$：
$z^2=2^2+5^2=4+25=29$
$z=\sqrt{29}$
【答案】
$15$；$16$；$\sqrt{29}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角边和斜边，计算时注意边长为正数，舍去负根即可。
【难度系数】
0.8
4 [2025 高新区段考]已知直角三角形的两边长分别为 3,4,则第三边的长为
$\sqrt{7}$或5
。答案
4. $\sqrt{7}$或5
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题干未明确说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论：①3和4均为直角边，此时第三边为斜边；②4为斜边、3为直角边，此时第三边为另一条直角边，分别结合勾股定理计算即可，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a、b$为直角边），可得第三边长为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理变形可得第三边长为：
$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$或5
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的常见易错题，解题核心是明确当直角三角形未指定斜边时，需对较长边是否为斜边进行分类讨论，避免因默认已知两边都是直角边而漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题干未明确说明已知的两条边是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论：①3和4均为直角边，此时第三边为斜边；②4为斜边、3为直角边，此时第三边为另一条直角边，分别结合勾股定理计算即可，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a、b$为直角边），可得第三边长为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理变形可得第三边长为：
$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
综上，第三边的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$或5
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的常见易错题，解题核心是明确当直角三角形未指定斜边时，需对较长边是否为斜边进行分类讨论，避免因默认已知两边都是直角边而漏解。
【难度系数】
0.7
5 如图，阴影部分是半圆，这个半圆的面积为
$8π$
cm²（结果保留π）。答案
5. $8π$
解析
【分析】
要求半圆的面积，需先确定半圆的半径。观察图形可知，半圆的直径等于下方直角三角形的未知直角边，因此首先利用勾股定理求出该直角边的长度，得到半圆的直径，进而求出半径，最后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
设直角三角形中与半圆直径重合的直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
因为边长为正数，所以$a = 8\ \mathrm{cm}$，即半圆的直径为$8\ \mathrm{cm}$，
则半圆的半径$r = 8÷2 = 4\ \mathrm{cm}$，
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}} = \frac{1}{2}π r^2$，代入得：
$S_{\mathrm{半圆}} = \frac{1}{2}π× 4^2 = \frac{1}{2}π×16 = 8π\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆的面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积计算的基础综合题，解题的关键是明确半圆的直径与直角三角形直角边的对应关系，熟练掌握勾股定理和半圆面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求半圆的面积，需先确定半圆的半径。观察图形可知，半圆的直径等于下方直角三角形的未知直角边，因此首先利用勾股定理求出该直角边的长度，得到半圆的直径，进而求出半径，最后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
设直角三角形中与半圆直径重合的直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
因为边长为正数，所以$a = 8\ \mathrm{cm}$，即半圆的直径为$8\ \mathrm{cm}$，
则半圆的半径$r = 8÷2 = 4\ \mathrm{cm}$，
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}} = \frac{1}{2}π r^2$，代入得：
$S_{\mathrm{半圆}} = \frac{1}{2}π× 4^2 = \frac{1}{2}π×16 = 8π\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$8π$
【知识点】
勾股定理；半圆的面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积计算的基础综合题，解题的关键是明确半圆的直径与直角三角形直角边的对应关系，熟练掌握勾股定理和半圆面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以$AB$,$AC$为边的正方形的面积分别为$S_1$,$S_2$.若$S_1=21$,$S_2=12$,则$BC$的长为________.
答案
6. 3
解析
【分析】
解题时首先明确正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方，因此可将S₁、S₂分别转化为AB²、AC²。再观察△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，符合勾股定理的使用条件，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可得到AC²+BC²=AB²，变形后求出BC²的值，再求算术平方根即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵以AB为边的正方形面积为S₁，
∴$AB^2 = S_1 = 21$，
∵以AC为边的正方形面积为S₂，
∴$AC^2 = S_2 = 12$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 21 - 12 = 9$，
∵BC为线段长度，是正数，
∴$BC = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，再利用勾股定理列式计算即可，解题思路直观，计算量小。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方，因此可将S₁、S₂分别转化为AB²、AC²。再观察△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，符合勾股定理的使用条件，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可得到AC²+BC²=AB²，变形后求出BC²的值，再求算术平方根即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵以AB为边的正方形面积为S₁，
∴$AB^2 = S_1 = 21$，
∵以AC为边的正方形面积为S₂，
∴$AC^2 = S_2 = 12$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 21 - 12 = 9$，
∵BC为线段长度，是正数，
∴$BC = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，再利用勾股定理列式计算即可，解题思路直观，计算量小。
【难度系数】
0.85
7 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=5$，$BC=12$，$CO⊥ AB$于点$O$.求：
(1) $AB$的长；
(2) $AO$的长.
(1) $AB$的长；
(2) $AO$的长.
答案
7. (1) $\because$ 在$△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$\because AC=5,BC=12,\therefore AB^2=5^2+12^2=169,\therefore AB=13$
(2) $\because ∠ ACB=90°, CO ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CO$, 即 $AC · BC = AB · CO, \therefore 5 × 12 = 13CO$,
$\therefore CO=\frac{60}{13}. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$AO^2 + CO^2 = AC^2, \therefore AO^2= AC^2 - CO^2 =5^2 - (\frac{60}{13})^2=\frac{625}{169}, \therefore AO=\frac{25}{13}$
$\because AC=5,BC=12,\therefore AB^2=5^2+12^2=169,\therefore AB=13$
(2) $\because ∠ ACB=90°, CO ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CO$, 即 $AC · BC = AB · CO, \therefore 5 × 12 = 13CO$,
$\therefore CO=\frac{60}{13}. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$AO^2 + CO^2 = AC^2, \therefore AO^2= AC^2 - CO^2 =5^2 - (\frac{60}{13})^2=\frac{625}{169}, \therefore AO=\frac{25}{13}$
解析
【分析】
(1) 求AB的长：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，给出了两条直角边AC、BC的长度，求斜边，直接使用勾股定理即可计算。
(2) 求AO的长：AO在Rt△AOC中，已知AC的长度，需要先求出CO的长度才能用勾股定理计算AO。CO是△ABC斜边AB上的高，可以通过等面积法，用两种方式表示△ABC的面积，建立等式求出CO，再代入Rt△AOC的勾股定理公式就能算出AO的长度。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\because AC=5,BC=12$,
$\therefore AB^2=5^2+12^2=25+144=169$,
$\because AB$为线段长度，取值为正，
$\therefore AB=13$。
(2) $\because ∠ ACB=90°, CO ⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CO$, 即 $AC · BC = AB · CO$,
代入数值得 $5 × 12 = 13CO$,
解得$CO=\frac{60}{13}$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中，由勾股定理得$AO^2 + CO^2 = AC^2$,
$\therefore AO^2= AC^2 - CO^2 =5^2 - (\frac{60}{13})^2=25-\frac{3600}{169}=\frac{625}{169}$,
$\because AO$为线段长度，取值为正，
$\therefore AO=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $AB=13$；(2) $AO=\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，核心是熟练掌握勾股定理的使用场景，同时理解等面积法的原理，该方法在直角三角形的高线、边长计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 求AB的长：已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，给出了两条直角边AC、BC的长度，求斜边，直接使用勾股定理即可计算。
(2) 求AO的长：AO在Rt△AOC中，已知AC的长度，需要先求出CO的长度才能用勾股定理计算AO。CO是△ABC斜边AB上的高，可以通过等面积法，用两种方式表示△ABC的面积，建立等式求出CO，再代入Rt△AOC的勾股定理公式就能算出AO的长度。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\because AC=5,BC=12$,
$\therefore AB^2=5^2+12^2=25+144=169$,
$\because AB$为线段长度，取值为正，
$\therefore AB=13$。
(2) $\because ∠ ACB=90°, CO ⊥ AB$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CO$, 即 $AC · BC = AB · CO$,
代入数值得 $5 × 12 = 13CO$,
解得$CO=\frac{60}{13}$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$ 中，由勾股定理得$AO^2 + CO^2 = AC^2$,
$\therefore AO^2= AC^2 - CO^2 =5^2 - (\frac{60}{13})^2=25-\frac{3600}{169}=\frac{625}{169}$,
$\because AO$为线段长度，取值为正，
$\therefore AO=\frac{25}{13}$。
【答案】
(1) $AB=13$；(2) $AO=\frac{25}{13}$
【知识点】
勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，核心是熟练掌握勾股定理的使用场景，同时理解等面积法的原理，该方法在直角三角形的高线、边长计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
