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11 估计$\sqrt{19}$的值在 （
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
C
）A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
11. C
解析
【分析】
要估算$\sqrt{19}$的取值范围，核心思路是找到两个相邻的正整数，使它们的平方分别小于、大于被开方数19。我们可以先回忆常见正整数的平方数，再利用“正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，通过比较平方数的大小，即可推出$\sqrt{19}$的取值范围。
【解析】
解：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，
且 $16＜19＜25$，
根据算术平方根的性质：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，
即 $4＜\sqrt{19}＜5$，
因此$\sqrt{19}$的值在4和5之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础常考题，考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见正整数的平方，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速判断取值范围。
【难度系数】
0.9
要估算$\sqrt{19}$的取值范围，核心思路是找到两个相邻的正整数，使它们的平方分别小于、大于被开方数19。我们可以先回忆常见正整数的平方数，再利用“正数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，通过比较平方数的大小，即可推出$\sqrt{19}$的取值范围。
【解析】
解：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，
且 $16＜19＜25$，
根据算术平方根的性质：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，
即 $4＜\sqrt{19}＜5$，
因此$\sqrt{19}$的值在4和5之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础常考题，考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见正整数的平方，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速判断取值范围。
【难度系数】
0.9
12 [2025苏州工业园区期中]数$m$在数轴上对应的点的位置如图所示，则$m$，$-m$，$\frac{1}{m}$，$-\frac{1}{m}$这四个数中最小的是（
A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
（第12题）
D
）A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
（第12题）答案
12. D
解析
【分析】
首先观察数轴可以得到m的取值范围是0＜m＜1，要比较m、-m、$\frac{1}{m}$、$-\frac{1}{m}$的大小，有两种常用思路：一是特殊值法，选取符合0＜m＜1的具体数值代入四个式子计算结果，直接比较大小，是选择题的快速解题方法；二是根据不等式的性质，分别推导四个数的取值范围，再排序找到最小值。
【解析】
由数轴可知$0＜m＜1$。
用特殊值法解题：取$m=\frac{1}{2}$（满足$0＜\frac{1}{2}＜1$），分别计算四个数：
$-m=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{m}=2$，$-\frac{1}{m}=-2$。
将四个数从小到大排序：$-2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{2} ＜ 2$，即$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$，因此最小的数是$-\frac{1}{m}$。
也可通过推导验证：
因为$0＜m＜1$，所以正数部分$\frac{1}{m}＞1＞m＞0$；不等式两边同乘-1，不等号方向改变，可得负数部分$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜0$，综上四个数的大小关系为$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，实数大小比较，倒数与相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查数的大小比较，解题时可灵活选用特殊值法简化计算，快速得到答案，特殊值法是解决这类选择题的常用技巧，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可以得到m的取值范围是0＜m＜1，要比较m、-m、$\frac{1}{m}$、$-\frac{1}{m}$的大小，有两种常用思路：一是特殊值法，选取符合0＜m＜1的具体数值代入四个式子计算结果，直接比较大小，是选择题的快速解题方法；二是根据不等式的性质，分别推导四个数的取值范围，再排序找到最小值。
【解析】
由数轴可知$0＜m＜1$。
用特殊值法解题：取$m=\frac{1}{2}$（满足$0＜\frac{1}{2}＜1$），分别计算四个数：
$-m=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{m}=2$，$-\frac{1}{m}=-2$。
将四个数从小到大排序：$-2 ＜ -\frac{1}{2} ＜ \frac{1}{2} ＜ 2$，即$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$，因此最小的数是$-\frac{1}{m}$。
也可通过推导验证：
因为$0＜m＜1$，所以正数部分$\frac{1}{m}＞1＞m＞0$；不等式两边同乘-1，不等号方向改变，可得负数部分$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜0$，综上四个数的大小关系为$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，实数大小比较，倒数与相反数的性质
【点评】
本题结合数轴考查数的大小比较，解题时可灵活选用特殊值法简化计算，快速得到答案，特殊值法是解决这类选择题的常用技巧，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
13 (1) $\sqrt[3]{1000}$的算术平方根为
(2) $\sqrt{64}$的立方根为
$\sqrt{10}$
；(2) $\sqrt{64}$的立方根为
2
.答案
13. (1) $\sqrt{10}$ (2) 2
解析
【分析】
解决这类多层开方运算的题目，要遵循“由内到外”的运算顺序，先计算内层根式的结果，再根据题干要求计算外层对应的算术平方根或立方根即可。解题时要注意区分算术平方根和立方根的定义，不要混淆两种运算的规则，也不要跳步直接对外层的被开方数运算，避免出错。
【解析】
(1) 第一步先计算内层的立方根：
因为$10^3=1000$，所以$\sqrt[3]{1000}=10$；
第二步求10的算术平方根：非负数的正的平方根为它的算术平方根，因此10的算术平方根是$\sqrt{10}$。
(2) 第一步先计算内层的算术平方根：
因为$8^2=64$，所以$\sqrt{64}=8$；
第二步求8的立方根：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；(2) 2
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；开方运算
【点评】
本题考查多层开方的混合运算，解题核心是按照从内到外的顺序逐步计算，需准确掌握算术平方根（结果非负）和立方根的概念，避免因混淆两种开方运算的规则出现错误。
【难度系数】
0.8
解决这类多层开方运算的题目，要遵循“由内到外”的运算顺序，先计算内层根式的结果，再根据题干要求计算外层对应的算术平方根或立方根即可。解题时要注意区分算术平方根和立方根的定义，不要混淆两种运算的规则，也不要跳步直接对外层的被开方数运算，避免出错。
【解析】
(1) 第一步先计算内层的立方根：
因为$10^3=1000$，所以$\sqrt[3]{1000}=10$；
第二步求10的算术平方根：非负数的正的平方根为它的算术平方根，因此10的算术平方根是$\sqrt{10}$。
(2) 第一步先计算内层的算术平方根：
因为$8^2=64$，所以$\sqrt{64}=8$；
第二步求8的立方根：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；(2) 2
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；开方运算
【点评】
本题考查多层开方的混合运算，解题核心是按照从内到外的顺序逐步计算，需准确掌握算术平方根（结果非负）和立方根的概念，避免因混淆两种开方运算的规则出现错误。
【难度系数】
0.8
14 如图,实数$-\sqrt{5}$,$\sqrt{15}$,$m$在数轴上的对应点分别为$A$,$B$,$C$,点$B$关于原点$O$的对称点为$D$.若$m$为整数,则$m$的值为
$-3$
.答案
14. $-3$
解析
【分析】
解题时首先利用关于原点对称的点的性质，得到点D对应的数；再根据数轴上点的位置关系得到m的取值范围；最后估算无理数的大小，找出取值范围内的整数即可得到m的值。
【解析】
1. 求点D对应的数：
已知点B对应实数$\sqrt{15}$，关于原点对称的点对应的数互为相反数，因此点B关于原点O的对称点D对应的数为$-\sqrt{15}$。
2. 确定m的取值范围：
由数轴可知，点C（对应数m）在点D和点A之间，点A对应实数$-\sqrt{5}$，因此可得不等式：
$-\sqrt{15} ＜ m ＜ -\sqrt{5}$
3. 估算无理数的范围：
因为$3=\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}=4$，所以$-4 ＜ -\sqrt{15} ＜ -3$；
又因为$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$。
4. 确定整数m的值：
结合上述范围，m的取值在$-4$和$-2$之间，又因为m是整数，所以$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，相反数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴、相反数和无理数估算的知识点结合考查，解题的核心是先确定m的取值区间，再通过估算无理数得到区间内的整数，是无理数相关应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用关于原点对称的点的性质，得到点D对应的数；再根据数轴上点的位置关系得到m的取值范围；最后估算无理数的大小，找出取值范围内的整数即可得到m的值。
【解析】
1. 求点D对应的数：
已知点B对应实数$\sqrt{15}$，关于原点对称的点对应的数互为相反数，因此点B关于原点O的对称点D对应的数为$-\sqrt{15}$。
2. 确定m的取值范围：
由数轴可知，点C（对应数m）在点D和点A之间，点A对应实数$-\sqrt{5}$，因此可得不等式：
$-\sqrt{15} ＜ m ＜ -\sqrt{5}$
3. 估算无理数的范围：
因为$3=\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}=4$，所以$-4 ＜ -\sqrt{15} ＜ -3$；
又因为$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$。
4. 确定整数m的值：
结合上述范围，m的取值在$-4$和$-2$之间，又因为m是整数，所以$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，相反数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将数轴、相反数和无理数估算的知识点结合考查，解题的核心是先确定m的取值区间，再通过估算无理数得到区间内的整数，是无理数相关应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
15【阅读理解】∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即 $2＜\sqrt{5}＜3$，∴ $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5}-2$，$1＜\sqrt{5}-1＜2$，∴ $\sqrt{5}-1$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{5}-1-1=\sqrt{5}-2$。
【解决问题】已知 $a$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的整数部分，$b$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的小数部分.求：
(1) $a,b$ 的值；
(2) $(-3a)^3+(b+4)^2$ 的立方根.
【解决问题】已知 $a$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的整数部分，$b$ 是 $\sqrt{17}-3$ 的小数部分.求：
(1) $a,b$ 的值；
(2) $(-3a)^3+(b+4)^2$ 的立方根.
答案
15. (1) $\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{17}＜5$,$\therefore 1＜\sqrt{17}-3＜2$,$\therefore a=1$,$b=\sqrt{17}-3-1=\sqrt{17}-4$ (2) $(-3a)^3+(b+4)^2=(-3×1)^3+(\sqrt{17}-4+4)^2=-27+17=-10$,$\therefore (-3a)^3+(b+4)^2$的立方根为$\sqrt[3]{-10}=-\sqrt[3]{10}$
解析
【分析】
解题时可沿用材料给出的估算思路：①解决第一问先找和17相邻的两个完全平方数，用“夹逼法”确定$\sqrt{17}$的取值范围，再通过不等式变形得到$\sqrt{17}-3$的范围，即可直接得到其整数部分$a$；小数部分等于原数减去整数部分，据此可求出$b$。②第二问将$a$、$b$代入代数式计算，再根据立方根的定义求结果即可，代入时注意观察$b+4$的结构可简化运算。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{17}$的取值范围：
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
对不等式三边同时减3，得$4-3＜\sqrt{17}-3＜5-3$，即$1＜\sqrt{17}-3＜2$
$\therefore \sqrt{17}-3$的整数部分$a=1$
小数部分$b=(\sqrt{17}-3)-a=\sqrt{17}-3-1=\sqrt{17}-4$
(2) 将$a=1$，$b=\sqrt{17}-4$代入$(-3a)^3+(b+4)^2$：
$\begin{aligned}原式&=(-3×1)^3+(\sqrt{17}-4+4)^2\\&=(-3)^3+(\sqrt{17})^2\\&=-27+17\\&=-10\end{aligned}$
根据立方根的定义，$-10$的立方根为$\sqrt[3]{-10}=-\sqrt[3]{10}$
【答案】
(1) $a=1$，$b=\sqrt{17}-4$；
(2) $(-3a)^3+(b+4)^2$的立方根为$-\sqrt[3]{10}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；立方根的计算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围，能正确区分无理数的整数部分和小数部分，代入计算时注意观察式子特点可降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时可沿用材料给出的估算思路：①解决第一问先找和17相邻的两个完全平方数，用“夹逼法”确定$\sqrt{17}$的取值范围，再通过不等式变形得到$\sqrt{17}-3$的范围，即可直接得到其整数部分$a$；小数部分等于原数减去整数部分，据此可求出$b$。②第二问将$a$、$b$代入代数式计算，再根据立方根的定义求结果即可，代入时注意观察$b+4$的结构可简化运算。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{17}$的取值范围：
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
对不等式三边同时减3，得$4-3＜\sqrt{17}-3＜5-3$，即$1＜\sqrt{17}-3＜2$
$\therefore \sqrt{17}-3$的整数部分$a=1$
小数部分$b=(\sqrt{17}-3)-a=\sqrt{17}-3-1=\sqrt{17}-4$
(2) 将$a=1$，$b=\sqrt{17}-4$代入$(-3a)^3+(b+4)^2$：
$\begin{aligned}原式&=(-3×1)^3+(\sqrt{17}-4+4)^2\\&=(-3)^3+(\sqrt{17})^2\\&=-27+17\\&=-10\end{aligned}$
根据立方根的定义，$-10$的立方根为$\sqrt[3]{-10}=-\sqrt[3]{10}$
【答案】
(1) $a=1$，$b=\sqrt{17}-4$；
(2) $(-3a)^3+(b+4)^2$的立方根为$-\sqrt[3]{10}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；立方根的计算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值范围，能正确区分无理数的整数部分和小数部分，代入计算时注意观察式子特点可降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
16 将两块边长均为3 cm 的小正方形纸板按如图①所示的方式剪开,拼成如图②所示的一块边长为a cm 的大正方形纸板,你能求出这块大正方形纸板的面积吗?如果能,请写出它的面积.a 是有理数吗?如果不是,那么请你估计a 的值在哪两个相邻的整数之间.
答案
16. 能 根据题意,大正方形纸板是由两块小正方形纸板拼成的,$\therefore$ 这块大正方形纸板的面积为$3^2+3^2=18(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$ 大正方形纸板的边长为$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$,即$a=\sqrt{18}$. $\because$ 找不到平方后等于18的有理数,$\therefore a$ 不是有理数. $\because 16＜18＜25$,$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$,即$4＜\sqrt{18}＜5$,$\therefore a$ 的值在4和5之间
解析
【分析】
解题时首先抓住图形剪裁拼接前后总面积保持不变这一核心规律，第一步先计算两个小正方形的总面积，即可得到大正方形的面积；第二步根据正方形面积和边长的关系，可得大正方形边长a是面积的算术平方根，结合有理数的定义即可判断a是否为有理数；第三步估算a的范围时，只需找到与18相邻的两个完全平方数，对其开平方即可得到a的取值范围。
【解析】
解：拼接前后图形的总面积不变，
$\because$ 大正方形纸板是由两块边长为3cm的小正方形纸板拼成的，
$\therefore$ 大正方形纸板的面积为$3^2+3^2=9+9=18(\mathrm{cm}^2)$。
由正方形面积公式可得$a^2=18$，因此$a=\sqrt{18}$（边长为正数，取算术平方根）。
$\because$ 不存在平方后等于18的有理数，
$\therefore a$不是有理数。
又$\because 16＜18＜25$，根据算术平方根的性质，对不等式同时开平方不等号方向不变，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜a＜5$，因此a的值在4和5两个相邻整数之间。
【答案】
能求出大正方形纸板的面积，面积为$18\ \mathrm{cm}^2$；$a$不是有理数，$a$的值在4和5之间。
【知识点】
拼接图形面积不变性；算术平方根；无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查了面积计算、无理数的判断与估算，解题的关键是明确拼接前后总面积不变，再结合算术平方根的相关知识逐步推导即可，侧重对基础概念和方法的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住图形剪裁拼接前后总面积保持不变这一核心规律，第一步先计算两个小正方形的总面积，即可得到大正方形的面积；第二步根据正方形面积和边长的关系，可得大正方形边长a是面积的算术平方根，结合有理数的定义即可判断a是否为有理数；第三步估算a的范围时，只需找到与18相邻的两个完全平方数，对其开平方即可得到a的取值范围。
【解析】
解：拼接前后图形的总面积不变，
$\because$ 大正方形纸板是由两块边长为3cm的小正方形纸板拼成的，
$\therefore$ 大正方形纸板的面积为$3^2+3^2=9+9=18(\mathrm{cm}^2)$。
由正方形面积公式可得$a^2=18$，因此$a=\sqrt{18}$（边长为正数，取算术平方根）。
$\because$ 不存在平方后等于18的有理数，
$\therefore a$不是有理数。
又$\because 16＜18＜25$，根据算术平方根的性质，对不等式同时开平方不等号方向不变，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{18}＜\sqrt{25}$，即$4＜a＜5$，因此a的值在4和5两个相邻整数之间。
【答案】
能求出大正方形纸板的面积，面积为$18\ \mathrm{cm}^2$；$a$不是有理数，$a$的值在4和5之间。
【知识点】
拼接图形面积不变性；算术平方根；无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查了面积计算、无理数的判断与估算，解题的关键是明确拼接前后总面积不变，再结合算术平方根的相关知识逐步推导即可，侧重对基础概念和方法的应用。
【难度系数】
0.7
