1 新情境 生活实际 [2025 苏州工业园区期末]如图所示为一个风筝的骨架示意图(筝形 ABCD).已知 AC 垂直平分 BD，AB=60 cm，CD=40 cm，则筝形 ABCD 的周长为 ()

A.100 cm
B.140 cm
C.160 cm
D.200 cm
(第1题)

1. D

【分析】
首先从已知条件“AC垂直平分BD”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点A和点C都在BD的垂直平分线AC上，因此可以推出AB=AD、CB=CD，结合已知的AB和CD的长度，就能得到四条边的长度，相加即可得到筝形的周长。
【解析】
解：
∵AC垂直平分BD，
根据线段垂直平分线的性质，可得：AB=AD，CB=CD，
已知AB=60cm，CD=40cm，
∴AD=AB=60cm，BC=CD=40cm，
∴筝形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=60+40+40+60=200cm，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；四边形周长计算
【点评】
本题结合生活中风筝的实际场景，考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等的边，难度较低，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2 [2024凉山]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$,连接$AD$.若$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$,则$AC+BC$的长为（）

A.$25\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$55\ \mathrm{cm}$

2. C

【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。看到DE垂直平分AB，可得AD=BD。再结合△ACD的周长公式，周长为AC+CD+AD，将AD替换为BD后，式子可转化为AC+CD+BD，而CD+BD恰好是BC的长度，因此△ACD的周长就等于AC+BC的长度，结合已知的周长数值即可直接求出结果。
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$。
∵△ACD的周长为$50\ \mathrm{cm}$，
∴$C_{△ ACD}=AC+CD+AD=50\ \mathrm{cm}$。
将$AD$替换为$BD$，可得：
$AC+CD+BD=50\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CD+BD=BC$，
∴$AC+BC=50\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将三角形周长转化为所求的两条线段的和，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

3 如图,点 D 在$△ ABC$的边 BC 上.如果$DB=DA$,那么点 D 在线段的垂直平分线上;如果$BC=BD+AD$,那么点 D 在线段的垂直平分线上.

3. AB AC

【分析】
解题的核心依据是线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1. 第一个空：已知$DB=DA$，说明点D到线段AB的两个端点A、B的距离相等，直接套用判定定理即可得出结论。
2. 第二个空：先分析线段BC的组成，D在BC上，因此$BC=BD+DC$，结合已知$BC=BD+AD$，通过等量代换可推出$AD=DC$，说明点D到线段AC的两个端点A、C的距离相等，再套用判定定理即可得到结果。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1. 当$DB=DA$时，点D到点A、点B的距离相等，因此点D在线段AB的垂直平分线上。
2. 已知点D在BC上，因此$BC=BD+DC$，又$\because BC=BD+AD$，$\therefore BD+DC=BD+AD$，等式两边同时减去BD，可得$AD=DC$，即点D到点A、点C的距离相等，因此点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
AB；AC
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段和差计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题关键是通过已知条件转化得到点到对应线段两端点的距离相等，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.85

4 如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10 cm，则点B到点P的距离为 cm.

4. 5

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先连接辅助线PB，因为点P在AB的垂直平分线上，可得PA=PB；又点P在BC的垂直平分线上，可得PB=PC，由此可推导出PA=PB=PC。已知AC=PA+PC=10cm，将PA、PC都替换为PB，即可求出PB的长度，也就是点B到点P的距离。
【解析】
连接PB，
∵ HK是线段AB的垂直平分线，点P在HK上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∵ EF是线段BC的垂直平分线，点P在EF上，
∴ PB = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴ PA = PB = PC，
∵ AC = PA + PC = 10 cm，
∴ 2PB = 10 cm，
解得 PB = 5 cm。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过性质建立PA、PB、PC三条线段的等量关系，再结合已知线段长度求解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

5 如图，D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧相交于点 A，连接 AB，AC，AD，E 为 AD 上一点，连接 BE，CE. 求证：$BE=CE$.

5. $\because D$ 是线段 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$. 根据画图过程,得$AB=AC$. 在 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADB=∠ ADC=\frac{1}{2} × 180°=90°,\therefore AD ⊥ BC,\therefore$ 直线 $AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线. $\because$ 点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore BE=CE$

【分析】
要证明$BE=CE$，可借助线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需证明点E在BC的垂直平分线上即可。首先结合已知条件：D是BC中点可得$BD=CD$，由题中的尺规作图方法可得$AB=AC$，先通过SSS判定$△ ABD$和$△ ACD$全等，推导得出AD垂直BC，即可确定AD是BC的垂直平分线，进而得到结论。
【解析】
$\because D$ 是线段 $BC$ 的中点, $\therefore BD=CD$.
根据画图过程,得$AB=AC$.
在 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=\frac{1}{2} × 180°=90°$,
$\therefore AD ⊥ BC$,
$\therefore$ 直线 $AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线.
$\because$ 点 $E$ 在 $AD$ 上,
$\therefore BE=CE$.
【答案】
$BE=CE$，得证。
【知识点】
SSS判定全等、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先结合作图特征和中点条件，证明AD为BC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到线段相等，侧重考查基础几何定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.85

6 如图，若$AC=AD$，$BC=BD$，则下列结论正确的是（）

A.AB 垂直平分CD
B.CD 垂直平分AB
C.AB 与CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$

6. A

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先观察已知条件，AC=AD说明点A满足到C、D距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD说明点B也在CD的垂直平分线上。再结合“两点确定一条直线”，就能推出AB是CD的垂直平分线，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：① 已知AC=AD，根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，可得点A在线段CD的垂直平分线上。
② 已知BC=BD，同理可得点B也在线段CD的垂直平分线上。
③ 因为两点确定一条直线，因此直线AB就是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD，故A选项正确。
对于其余选项：题目未给出AC=BC、AD=BD等能证明C、D到A、B距离相等的条件，因此无法推出CD垂直平分AB，也无法推出CD平分∠ACB，故B、C、D均错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，注意不要默认图形的对称性添加题干没有给出的条件，避免误选其余选项。
【难度系数】
0.8