7 分类讨论思想 在$△ ABC$中，$BC=10$，$AB$的垂直平分线与$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D$，$E$，且$DE=4$，则$AD+AE$的长为（）

A.6
B.10
C.6或14
D.6或10

7. C

8 整体思想 如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点$P_1$，$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。当$P_1P_2=12\ \mathrm{cm}$时，$△ PMN$的周长为cm。

8. 12

9 [2025相城区段考]如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=10$，$AC=9$，$MN$为边$BC$的垂直平分线，$D$为直线$MN$上一动点，则$△ ABD$的周长的最小值为。

9. 14 【解析】如图,连接 $CD$. $\because MN$ 为边 $BC$ 的垂直平分线, $\therefore DB=DC,\therefore △ ABD$ 的周长 $=AB+AD+BD=AB+AD+DC ≥ AB+AC=5+9=14,\therefore △ ABD$ 的周长的最小值为14。

10 新情境 生活实际 为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示）。请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。

10. 如图,点 $P$ 即为所求

11 [2025苏州工业园区段考]如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，$BE=AC$。
（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若$AB=BC$，求$∠ C$的度数。

11. (1) $AD ⊥ BC$ 理由:如图,连接 $AE$. $\because EF$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AE=BE$. $\because BE=AC,\therefore AE=AC$. $\because D$ 为线段 $CE$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC$. (2) $\because AE=BE,\therefore ∠ EAB=∠ B$,$\therefore ∠ AEC=2∠ B$. $\because AE=AC,\therefore ∠ AEC=∠ C,\therefore ∠ C=2∠ B$. $\because AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ C,\therefore ∠ B+2∠ B+2∠ B=180°,\therefore ∠ B=36°,\therefore ∠ C=72°$

12 如图，AB=CD，AC，BD 的垂直平分线 EM，EN 相交于点 E，连接 BE，DE，BC。求证：∠ABE=∠CDE。

12. 如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ABE=∠ CDE$