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7 分类讨论思想 在$△ ABC$中，$BC=10$，$AB$的垂直平分线与$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D$，$E$，且$DE=4$，则$AD+AE$的长为（
A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
C
）A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先根据题目中出现的线段垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质，可将所求的AD+AE转化为BD+CE的长度。由于AB、AC的垂直平分线与BC的交点D、E的位置顺序不固定，需要分两种情况讨论：D在E左侧、D在E右侧，分别计算两种情况下BD+CE的长度即可求解。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD；
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE；
因此AD+AE=BD+CE，分两种情况讨论：
1. 当点D位于点E左侧时：
BC=BD+DE+CE，已知BC=10，DE=4，
则BD+CE=BC-DE=10-4=6，即AD+AE=6；
2. 当点D位于点E右侧时：
BC=BD+CE-DE，
则BD+CE=BC+DE=10+4=14，即AD+AE=14。
综上，AD+AE的长为6或14，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的灵活应用，易错点是忽略D、E两点的位置有两种可能，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意结合图形考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题目中出现的线段垂直平分线，联想到线段垂直平分线的性质，可将所求的AD+AE转化为BD+CE的长度。由于AB、AC的垂直平分线与BC的交点D、E的位置顺序不固定，需要分两种情况讨论：D在E左侧、D在E右侧，分别计算两种情况下BD+CE的长度即可求解。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD；
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE；
因此AD+AE=BD+CE，分两种情况讨论：
1. 当点D位于点E左侧时：
BC=BD+DE+CE，已知BC=10，DE=4，
则BD+CE=BC-DE=10-4=6，即AD+AE=6；
2. 当点D位于点E右侧时：
BC=BD+CE-DE，
则BD+CE=BC+DE=10+4=14，即AD+AE=14。
综上，AD+AE的长为6或14，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的灵活应用，易错点是忽略D、E两点的位置有两种可能，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意结合图形考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
8 整体思想 如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点$P_1$，$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。当$P_1P_2=12\ \mathrm{cm}$时，$△ PMN$的周长为
12
cm。答案
8. 12
解析
【分析】
解题时首先结合轴对称的性质分析：对称轴是对应点连线的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可将△PMN的两条边PM、PN分别等价替换为P₁M、P₂N，此时△PMN的周长就可以转化为已知长度的线段P₁P₂，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点P与P₁关于OA对称，
∴ OA垂直平分线段PP₁，
∵ M在OA上，
∴ PM = P₁M，
同理，点P与P₂关于OB对称，OB垂直平分线段PP₂，N在OB上，
∴ PN = P₂N，
∴ △PMN的周长 = PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂，
已知P₁P₂=12cm，因此△PMN的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题通过轴对称性质实现线段的等量代换，将未知的三角形周长整体转化为已知长度的线段，体现了整体转化的数学思想，熟练掌握轴对称和线段垂直平分线的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合轴对称的性质分析：对称轴是对应点连线的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由此可将△PMN的两条边PM、PN分别等价替换为P₁M、P₂N，此时△PMN的周长就可以转化为已知长度的线段P₁P₂，直接代入数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点P与P₁关于OA对称，
∴ OA垂直平分线段PP₁，
∵ M在OA上，
∴ PM = P₁M，
同理，点P与P₂关于OB对称，OB垂直平分线段PP₂，N在OB上，
∴ PN = P₂N，
∴ △PMN的周长 = PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂，
已知P₁P₂=12cm，因此△PMN的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题通过轴对称性质实现线段的等量代换，将未知的三角形周长整体转化为已知长度的线段，体现了整体转化的数学思想，熟练掌握轴对称和线段垂直平分线的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9 [2025相城区段考]如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=10$，$AC=9$，$MN$为边$BC$的垂直平分线，$D$为直线$MN$上一动点，则$△ ABD$的周长的最小值为
14
。答案
9. 14 【解析】如图,连接 $CD$. $\because MN$ 为边 $BC$ 的垂直平分线, $\therefore DB=DC,\therefore △ ABD$ 的周长 $=AB+AD+BD=AB+AD+DC ≥ AB+AC=5+9=14,\therefore △ ABD$ 的周长的最小值为14。
解析
【分析】
要计算△ABD周长的最小值，首先拆分周长：△ABD的周长=AB+AD+BD，其中AB的长度固定为5，因此只需让AD+BD取得最小值即可。已知MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，因此BD=CD，可将AD+BD转化为AD+CD。再根据两点之间线段最短的原理，当A、D、C三点共线时，AD+CD的最小值等于AC的长度，此时即可求出△ABD周长的最小值。
【解析】
如图，连接CD。
∵ MN为边BC的垂直平分线，
∴ DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ △ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC。
根据两点之间线段最短，AD+DC≥AC，当且仅当点D落在AC与MN的交点处时，等号成立，此时AD+DC=AC=9。
∴ △ABD的周长的最小值为AB+AC=5+9=14。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，最短路径计算
【点评】
本题是将军饮马模型的典型应用，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，考查几何性质的灵活运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
要计算△ABD周长的最小值，首先拆分周长：△ABD的周长=AB+AD+BD，其中AB的长度固定为5，因此只需让AD+BD取得最小值即可。已知MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，因此BD=CD，可将AD+BD转化为AD+CD。再根据两点之间线段最短的原理，当A、D、C三点共线时，AD+CD的最小值等于AC的长度，此时即可求出△ABD周长的最小值。
【解析】
如图，连接CD。
∵ MN为边BC的垂直平分线，
∴ DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴ △ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC。
根据两点之间线段最短，AD+DC≥AC，当且仅当点D落在AC与MN的交点处时，等号成立，此时AD+DC=AC=9。
∴ △ABD的周长的最小值为AB+AC=5+9=14。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，最短路径计算
【点评】
本题是将军饮马模型的典型应用，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，考查几何性质的灵活运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示）。请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
10. 如图,点 $P$ 即为所求
解析
【分析】
要确定到A、B、C三个点距离都相等的点P的位置，可结合线段垂直平分线的性质思考：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。因此到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就能同时满足到A、B、C三点的距离相等，只需作出两条线段的垂直平分线取交点即可得到点P。
【解析】
依据线段垂直平分线的性质求解：
1. 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上，因此任选两条线段（可选择AB和BC、AB和AC或AC和BC），分别作它们的垂直平分线；
2. 两条垂直平分线的交点即为所求的点P，该点到A、B、C三村的距离相等。
【答案】
如图,点 $P$ 即为所求
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图、垂直平分线的判定
【点评】
本题结合乡村医疗建设的生活情境，将实际问题转化为几何作图问题，核心考查线段垂直平分线的性质与作图方法，只要掌握相关性质和作图规范就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要确定到A、B、C三个点距离都相等的点P的位置，可结合线段垂直平分线的性质思考：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。因此到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就能同时满足到A、B、C三点的距离相等，只需作出两条线段的垂直平分线取交点即可得到点P。
【解析】
依据线段垂直平分线的性质求解：
1. 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上，因此任选两条线段（可选择AB和BC、AB和AC或AC和BC），分别作它们的垂直平分线；
2. 两条垂直平分线的交点即为所求的点P，该点到A、B、C三村的距离相等。
【答案】
如图,点 $P$ 即为所求
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图、垂直平分线的判定
【点评】
本题结合乡村医疗建设的生活情境，将实际问题转化为几何作图问题，核心考查线段垂直平分线的性质与作图方法，只要掌握相关性质和作图规范就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
11 [2025苏州工业园区段考]如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，$BE=AC$。
（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若$AB=BC$，求$∠ C$的度数。
（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若$AB=BC$，求$∠ C$的度数。
答案
11. (1) $AD ⊥ BC$ 理由:如图,连接 $AE$. $\because EF$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AE=BE$. $\because BE=AC,\therefore AE=AC$. $\because D$ 为线段 $CE$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC$. (2) $\because AE=BE,\therefore ∠ EAB=∠ B$,$\therefore ∠ AEC=2∠ B$. $\because AE=AC,\therefore ∠ AEC=∠ C,\therefore ∠ C=2∠ B$. $\because AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ C,\therefore ∠ B+2∠ B+2∠ B=180°,\therefore ∠ B=36°,\therefore ∠ C=72°$
解析
【分析】
（1）要判断AD与BC的位置关系，首先观察到EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可先连接AE，得到AE=BE，结合已知BE=AC，可推出△AEC为等腰三角形，再利用D是CE中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AD与BC的位置关系。
（2）求∠C的度数时，先利用等边对等角将△ABE中的角进行转化，通过三角形外角性质得到∠AEC与∠B的关系，再结合AE=AC、AB=BC的条件，将△ABC的三个内角都用∠B表示，最后代入三角形内角和公式求解即可。
【解析】
(1) $AD ⊥ BC$，理由如下：
如图，连接$AE$。
$\because EF$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$。
又$\because BE=AC$，
$\therefore AE=AC$，即$△ AEC$是等腰三角形。
$\because D$为线段$CE$的中点，
$\therefore AD ⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：
$\because AE=BE$，
$\therefore ∠ EAB=∠ B$，
$\therefore ∠ AEC=∠ EAB+∠ B=2∠ B$。
$\because AE=AC$，
$\therefore ∠ AEC=∠ C$，
$\therefore ∠ C=2∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ C$。
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，
代入得$∠ B+2∠ B+2∠ B=180°$，
解得$∠ B=36°$，
$\therefore ∠ C=2×36°=72°$。
【答案】
(1) $AD ⊥ BC$，理由见解析；(2) $∠ C=72°$
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形，将已知条件转化为边、角的等量关系，结合相关几何性质即可求解，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断AD与BC的位置关系，首先观察到EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可先连接AE，得到AE=BE，结合已知BE=AC，可推出△AEC为等腰三角形，再利用D是CE中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AD与BC的位置关系。
（2）求∠C的度数时，先利用等边对等角将△ABE中的角进行转化，通过三角形外角性质得到∠AEC与∠B的关系，再结合AE=AC、AB=BC的条件，将△ABC的三个内角都用∠B表示，最后代入三角形内角和公式求解即可。
【解析】
(1) $AD ⊥ BC$，理由如下：
如图，连接$AE$。
$\because EF$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$。
又$\because BE=AC$，
$\therefore AE=AC$，即$△ AEC$是等腰三角形。
$\because D$为线段$CE$的中点，
$\therefore AD ⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：
$\because AE=BE$，
$\therefore ∠ EAB=∠ B$，
$\therefore ∠ AEC=∠ EAB+∠ B=2∠ B$。
$\because AE=AC$，
$\therefore ∠ AEC=∠ C$，
$\therefore ∠ C=2∠ B$。
$\because AB=BC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ C$。
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，
代入得$∠ B+2∠ B+2∠ B=180°$，
解得$∠ B=36°$，
$\therefore ∠ C=2×36°=72°$。
【答案】
(1) $AD ⊥ BC$，理由见解析；(2) $∠ C=72°$
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形，将已知条件转化为边、角的等量关系，结合相关几何性质即可求解，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12 如图，AB=CD，AC，BD 的垂直平分线 EM，EN 相交于点 E，连接 BE，DE，BC。求证：∠ABE=∠CDE。
答案
12. 如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ABE=∠ CDE$
解析
【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的△ABE和△CDE全等实现。首先观察已知条件，已给出AB=CD，还需要两组对应边相等；题目中出现了线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此连接AE、CE，即可得到AE=CE、BE=DE，此时△ABE和△CDE三组对应边都相等，可用SSS判定全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：连接$AE$、$CE$。
∵ AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，
∴ 由线段垂直平分线的性质可得：$AE=CE$，$BE=DE$。
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD, \\BE=DE, \\AE=CE,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})$，
∴ ∠ABE=∠CDE（全等三角形对应角相等）。
【答案】
12. 如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ABE=∠ CDE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是合理构造辅助线，利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，为证明三角形全等创造条件，需要熟练掌握相关几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的△ABE和△CDE全等实现。首先观察已知条件，已给出AB=CD，还需要两组对应边相等；题目中出现了线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此连接AE、CE，即可得到AE=CE、BE=DE，此时△ABE和△CDE三组对应边都相等，可用SSS判定全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：连接$AE$、$CE$。
∵ AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，
∴ 由线段垂直平分线的性质可得：$AE=CE$，$BE=DE$。
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD, \\BE=DE, \\AE=CE,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})$，
∴ ∠ABE=∠CDE（全等三角形对应角相等）。
【答案】
12. 如图,连接 $AE$,$CE$. $\because AC$,$BD$ 的垂直平分线 $EM$,$EN$ 相交于点 $E$,$\therefore AE=CE$,$BE=DE$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BE=DE, \\ AE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ABE=∠ CDE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是合理构造辅助线，利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，为证明三角形全等创造条件，需要熟练掌握相关几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
