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1 [2025 姑苏区段考]如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于点 C，点 D 在 OB 上。若 PC=3，OD=6，则△POD 的面积为（
A.3
B.6
C.9
D.18
（第1题）
C
）A.3
B.6
C.9
D.18
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
要计算△POD的面积，已知底OD的长度，只需求出OD边上的高，即点P到OB的距离。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知OP平分∠AOB，PC⊥OA且PC=3，可知点P到OB的距离等于PC的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PC=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
已知OD=6，根据三角形面积公式：
$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形对应底边上的高，进而代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算△POD的面积，已知底OD的长度，只需求出OD边上的高，即点P到OB的距离。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知OP平分∠AOB，PC⊥OA且PC=3，可知点P到OB的距离等于PC的长度，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PC=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
已知OD=6，根据三角形面积公式：
$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形对应底边上的高，进而代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
2 [2025苏州工业园区段考]如图,在三条公路AB,AC,BC围成的一块平地内部计划修建一个物流服务中心.若要使物流服务中心到三条公路的距离相等,则这个物流服务中心应修建在 （
A.三条高线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三条中线的交点处
D.三边垂直平分线的交点处
B
）A.三条高线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三条中线的交点处
D.三边垂直平分线的交点处
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心要求：物流中心到三条公路（也就是△ABC的三条边）的距离相等。我们需要回忆三角形不同特殊线段交点的性质，逐一匹配选项：首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点同时在三个内角的角平分线上，就能满足到三条边的距离都相等；再分别判断其他选项对应的交点性质是否符合要求，即可选出正确答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三条高线的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点，到△ABC的三条边AB、AC、BC的距离都相等，符合题目要求；
3. 选项C：三条中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，与到三边距离相等无关，不符合要求；
4. 选项D：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边的距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，解题的关键是区分清楚三角形不同特殊线段交点的性质，注意“到三角形三边距离相等”对应角平分线的交点，“到三角形三个顶点距离相等”对应垂直平分线的交点，不要混淆两类性质的适用场景。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确题目核心要求：物流中心到三条公路（也就是△ABC的三条边）的距离相等。我们需要回忆三角形不同特殊线段交点的性质，逐一匹配选项：首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点同时在三个内角的角平分线上，就能满足到三条边的距离都相等；再分别判断其他选项对应的交点性质是否符合要求，即可选出正确答案。
【解析】
我们先逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三条高线的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角的角平分线的交点，到△ABC的三条边AB、AC、BC的距离都相等，符合题目要求；
3. 选项C：三条中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，与到三边距离相等无关，不符合要求；
4. 选项D：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边的距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，解题的关键是区分清楚三角形不同特殊线段交点的性质，注意“到三角形三边距离相等”对应角平分线的交点，“到三角形三个顶点距离相等”对应垂直平分线的交点，不要混淆两类性质的适用场景。
【难度系数】
0.8
3 [2025 姑苏区段考]如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$和$∠ ACB$的平分线交于点$O$，连接$OB$。若$AB=6$，$BC=9$，$△ ABO$的面积为$6$，则$△ BCO$的面积为
9
。答案
3. 9
解析
【分析】
要解决本题，首先利用三角形三条角平分线交于一点的性质，可知点O同时在∠ABC的角平分线上；再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点O到AB、BC的距离相等。△ABO和△BCO分别以AB、BC为底时高相等，此时两个三角形的面积比等于底边长的比，结合已知条件即可求出△BCO的面积。
【解析】
∵O是∠BAC和∠ACB的角平分线的交点，
∴O是△ABC的内角平分线交点，即O在∠ABC的角平分线上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点O到AB边的距离等于点O到BC边的距离，设该距离为h。
已知△ABO的面积为6，AB=6，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × h =6$，
解得$h=2$。
又
∵BC=9，
∴$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h = \frac{1}{2} ×9 ×2=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，三角形角平分线交点性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是抓住角平分线上的点到角两边距离相等，得到两个三角形的高相等，将面积问题转化为边长的比例关系计算，难度不大，需要熟练掌握角平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用三角形三条角平分线交于一点的性质，可知点O同时在∠ABC的角平分线上；再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点O到AB、BC的距离相等。△ABO和△BCO分别以AB、BC为底时高相等，此时两个三角形的面积比等于底边长的比，结合已知条件即可求出△BCO的面积。
【解析】
∵O是∠BAC和∠ACB的角平分线的交点，
∴O是△ABC的内角平分线交点，即O在∠ABC的角平分线上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点O到AB边的距离等于点O到BC边的距离，设该距离为h。
已知△ABO的面积为6，AB=6，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h = \frac{1}{2} × 6 × h =6$，
解得$h=2$。
又
∵BC=9，
∴$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h = \frac{1}{2} ×9 ×2=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，三角形角平分线交点性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是抓住角平分线上的点到角两边距离相等，得到两个三角形的高相等，将面积问题转化为边长的比例关系计算，难度不大，需要熟练掌握角平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
4 在$△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，则$△ ABD$与$△ ACD$的面积之比为
4:3
.答案
4. 4:3
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。观察两个三角形，可分别以AB、AC为底，此时需要找两个三角形对应底边上的高的关系。已知AD是角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D向AB、AC作垂线，可得两条高长度相等，因此两个三角形的面积比就等于底边长AB与AC的比，代入数值计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得DE=DF。
∵$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}× AB × DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}× AC × DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2}× AB × DE}{\frac{1}{2}× AC × DF} = \frac{AB}{AC}$。
又
∵AB=4，AC=3，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{4}{3}$，即面积比为4:3。
【答案】
4:3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算△ABD与△ACD的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。观察两个三角形，可分别以AB、AC为底，此时需要找两个三角形对应底边上的高的关系。已知AD是角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D向AB、AC作垂线，可得两条高长度相等，因此两个三角形的面积比就等于底边长AB与AC的比，代入数值计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得DE=DF。
∵$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}× AB × DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}× AC × DF$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2}× AB × DE}{\frac{1}{2}× AC × DF} = \frac{AB}{AC}$。
又
∵AB=4，AC=3，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{4}{3}$，即面积比为4:3。
【答案】
4:3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，利用直尺和圆规在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
5. 如图，点 D 即为所求
解析
【分析】
要在BC上找一点D，使得D到AB的距离等于DC：首先观察到∠C=90°，即DC⊥AC，所以DC是点D到AC的距离，那么题目要求等价于点D到∠BAC的两边AC、AB的距离相等。根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点D在∠BAC的角平分线上，因此只需作出∠BAC的角平分线，它与BC的交点即为所求的点D。
【解析】
作图依据：角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
作图过程：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与边AC、AB交于两个点；
2. 分别以上述两个交点为圆心，取大于两个交点之间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
3. 过点A和两弧的交点作射线，该射线与BC边的交点即为点D，此时点D到AB的距离等于DC的长度，符合要求。
【答案】
如图，点 D 即为所求
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质与判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，考查对角平分线相关性质和作图方法的掌握，解题的关键是将题目要求转化为作角平分线的问题，熟练掌握角平分线的尺规作图方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要在BC上找一点D，使得D到AB的距离等于DC：首先观察到∠C=90°，即DC⊥AC，所以DC是点D到AC的距离，那么题目要求等价于点D到∠BAC的两边AC、AB的距离相等。根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点D在∠BAC的角平分线上，因此只需作出∠BAC的角平分线，它与BC的交点即为所求的点D。
【解析】
作图依据：角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
作图过程：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与边AC、AB交于两个点；
2. 分别以上述两个交点为圆心，取大于两个交点之间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
3. 过点A和两弧的交点作射线，该射线与BC边的交点即为点D，此时点D到AB的距离等于DC的长度，符合要求。
【答案】
如图，点 D 即为所求
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的性质与判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，考查对角平分线相关性质和作图方法的掌握，解题的关键是将题目要求转化为作角平分线的问题，熟练掌握角平分线的尺规作图方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6 [2025 姑苏区段考]如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.求证:AD平分∠BAC.
答案
6.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
∵ D 是 BC 的中点，
∴ BD = CD. 在 △BED 和 △CFD 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD,\\BD=CD,\end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(AAS),
∴ DE=DF.
∵ DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上,
∴ AD 平分∠BAC
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
∵ D 是 BC 的中点，
∴ BD = CD. 在 △BED 和 △CFD 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD,\\BD=CD,\end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(AAS),
∴ DE=DF.
∵ DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上,
∴ AD 平分∠BAC
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知条件，DE⊥AB、DF⊥AC可推出两个直角相等，D是BC中点可得BD=CD，再结合给出的∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BED和△CFD全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到DE=DF，即可推导得出最终结论。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°。
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在 △BED 和 △CFD 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD,\\BD=CD,\end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(AAS)，
∴ DE=DF。
∵ DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，
∴ AD 平分∠BAC
【答案】AD平分∠BAC
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确角平分线的判定条件，通过证明三角形全等得到所需的等线段，将两个知识点结合即可求解，做题时要注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.85
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知条件，DE⊥AB、DF⊥AC可推出两个直角相等，D是BC中点可得BD=CD，再结合给出的∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BED和△CFD全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到DE=DF，即可推导得出最终结论。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°。
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在 △BED 和 △CFD 中，
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF,\\∠BED=∠CFD,\\BD=CD,\end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(AAS)，
∴ DE=DF。
∵ DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，
∴ AD 平分∠BAC
【答案】AD平分∠BAC
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确角平分线的判定条件，通过证明三角形全等得到所需的等线段，将两个知识点结合即可求解，做题时要注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.85
