9 [2025武汉]如图,四边形ABCD的对角线交于点O,AD//BC.若(填序号),则AD=CB.从① OA=OC,② ∠ABC=∠CDA,③ AB=CD中选择一个作为条件,使结论成立,并说明理由.

9. 若选择① 理由:
∵ AD//BC,
∴ ∠DAO=∠BCO.在
△AOD 和 △COB 中,$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO,\\ OA=OC,\\ ∠AOD=∠COB, \end{cases}$
∴ △AOD≌△COB(ASA),
∴ AD=CB. 若选择② 理由:
∵ AD//BC,
∴ ∠BCA=∠DAC. 在 △ABC 和 △CDA 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠CDA,\\ ∠BCA=∠DAC,\\ AC=CA, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CDA(AAS),
∴ AD=CB.

10 如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC，垂足为F，且交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF。
（1）求证：AF=AD；
（2）若BF=7，DE=3，求CE的长。

10. (1)
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFE=∠D=90°.
∵ EA平分∠DEF,
∴ ∠FEA=∠DEA. 在△FAE 和△DAE 中,$\begin{cases} ∠AFE=∠D=90°,\\ ∠FEA=∠DEA,\\ EA=EA, \end{cases}$
∴ △FAE≌△DAE(AAS),
∴ AF=AD
(2)
∵ ∠D=90°,BE⊥AC,
∴ ∠AFB=∠D=90°,
∴ △ABF和△ACD 均为直角三角形. 在 Rt△ABF 和 Rt△ACD 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴ BF=CD=7.
∵ DE=3,
∴ CE=CD-DE=7-3=4

11 如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B，C，AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F，连接CD，BE.
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）求证：CD＝BE；
（3）连接AF，则图中共有对全等三角形.

11. (1)
∵ AB⊥DB,AC⊥EC,
∴ ∠ABD=∠ACE=90°.在Rt△ABD 和 Rt△ACE 中,$\begin{cases} AD=AE,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴ Rt△ABD ≌Rt△ACE(HL),
∴ ∠ADB=∠AEC
(2)
∵ Rt△ABD≌Rt△ACE,
∴ ∠BAD=∠CAE,
∴ ∠BAD - ∠BAC =∠CAE-∠BAC,即∠CAD=∠BAE.在△ACD 和△ABE 中,$\begin{cases} AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ABE(SAS),
∴ CD=BE
(3) 5 【解析】全等三角形为△ABD≌△ACE,△ACD≌△ABE,△CFD≌△BFE,△AFD≌△AFE,△ACF≌△ABF.