1 有下列命题:① 圆内接平行四边形是矩形;② 圆内接矩形是正方形;③ 圆内接菱形是正方形.其中,真命题是 ()

A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③

1. D

2 如图，经过原点的$\odot P$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，$C$是$\overset{\frown}{OB}$上一点，则$∠ C$的度数为 （）

A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
（第2题）

2. B

3 新情境 生活实际 一块圆形玻璃镜面损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，则圆形玻璃镜面的半径为$\mathrm{cm}$。

3. $\frac{13}{2}$

4 [2025甘肃]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，连接BD。若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC$的度数为。

4. $55°$

5 [2025 宿城段考]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ B=50°$，$∠ ACD=25°$，$∠ BAD=65°$，求证：
(1) $AD=CD$；
(2) $AB$是$\odot O$的直径。

5. (1) 如图,连接BD.$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=∠ ABC-∠ 1=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore$ 易得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径

6 一题多解 如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且$∠ ADC=120°$，E是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，连接BC，BE，CE，则$∠ BEC$的度数为 （）

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$

6. B 【解析】解法一:连接AC. $\because$ AB 是半圆 O 的直径,
$\therefore ∠ ACB=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°. \because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ABC=60°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°-∠ ABC=30°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BEC=∠ BAC=30°.$ 解法二:连接 OC. $\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC = 180°. \because ∠ ADC = 120°,\therefore ∠ ABC = 60°.$
$\because OB=OC,\therefore △ OCB$ 是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠ BEC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°.$