7 [2025 湖北]如图，△ABC 内接于$\odot O$，$∠ BAC=30°$.分别以点 A 和点 B 为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点，作直线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD 并延长，交$\odot O$于点 E，连接 OA，OE，则$∠ AOE$的度数是 （）

A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
（第7题）

7. C

8 [2025 宜宾]如图，∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=°。

8. 50

9 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P。若$∠ P=30°$，$∠ AOC=80°$，则BD的度数是。

9. $20°$

10 转化与化归思想 如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2。若$∠ C=45°$，则DG的长为。

10. $\sqrt{2}$ 【解析】连接 AO,BO,AB. 根据圆周角定理,得$∠ AOB=2∠ C=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,根据勾股定理,可得$AB=2\sqrt{2}$. 在$△ CAB$中,根据三角形的中位线定理,可得$DG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}.$

11 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE//AD,交△ABC的外接圆⊙O于点E,连接AE,CO.求证:
（1）四边形AECD为平行四边形；
（2）CO平分∠BCE.

11. (1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, \therefore ∠ B=∠ E. \because ∠ B=∠ D, \therefore ∠ E=∠ D.$
$\because CE// AD, \therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°, \therefore ∠ E + ∠ ECD = 180°, \therefore AE// CD, \therefore$ 四边形 AECD 为平行四边形
(2) 如图,连接 OE, OB. $\because$ 四边形 AECD 为平行四边形, $\therefore AD = EC. \because AD = BC, \therefore EC = BC.$ 又$\because OC = OC, OE = OB, \therefore △ COE ≌ △ COB, \therefore ∠ OCE=∠ OCB$, 即 CO 平分$∠ BCE$

12 如图,四边形ABCD 的四个顶点均在$\odot O$上,$BC// AD,AC⊥ BD,∠ AOD=120°,AD=\sqrt{3}$.
（1）求$∠ CAO$的度数；
（2）BC 的长为.

12. (1) 如图,设 AC,BD 交于点 E. $\because AC⊥ BD, \therefore ∠ AED=90°.$
$\because BC// AD, \therefore ∠ DBC=∠ ADB. \because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ DBC=∠ DAC, \therefore ∠ ADB=∠ DAC, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ ADB=∠ DAC=45°.$
$\because OA=OD, \therefore ∠ OAD=∠ ODA. \because$ 在$△ OAD$ 中, $∠ AOD=120°, \therefore ∠ OAD=30°, \therefore ∠ CAO=∠ DAC - ∠ OAD=15°$
(2) 1 【解析】如图,连接 OB,OC,过点 O 作 $OH⊥ AD$,垂足为 H.
$\because OA=OD, OH⊥ AD, \therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中, $∠ OAH=30°, \therefore$ 易得 $OH=\frac{1}{2}OA.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中,由勾股定理,得 $OH^2+AH^2=OA^2, \therefore (\frac{1}{2}OA)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = OA^2$, 解得 $OA=1$(负值舍去).
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ COD=2∠ DAC=90°.$ 同理,得$∠ AOB=90°. \because ∠ AOD=120°, \therefore ∠ BOC=360° - 90° - 90° - 120°=60°.$
$\because OB=OC, \therefore △ OBC$ 是等边三角形, $\therefore BC=OB. \because OB=OA=1, \therefore BC=1.$