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7 [2025 湖北]如图，△ABC 内接于$\odot O$，$∠ BAC=30°$.分别以点 A 和点 B 为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点，作直线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD 并延长，交$\odot O$于点 E，连接 OA，OE，则$∠ AOE$的度数是 （
A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
（第7题）
C
）A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
（第7题）答案
7. C
解析
【分析】
首先识别尺规作图的产物：直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等边对等角求出∠ABE的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
由尺规作图的规则可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，即∠ABE=30°。
∵∠ABE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠AOE=2∠ABE=2×30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题关键是先判断出MN为AB的垂直平分线，再结合圆周角定理计算角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的产物：直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，利用等边对等角求出∠ABE的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
由尺规作图的规则可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，即∠ABE=30°。
∵∠ABE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠AOE=2∠ABE=2×30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题关键是先判断出MN为AB的垂直平分线，再结合圆周角定理计算角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
8 [2025 宜宾]如图，∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=
50
°。答案
8. 50
解析
【分析】
解题时先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数，再结合圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OBC的度数。具体思路：①圆周角∠BAC对应弧BC，同弧对应的圆心角是∠BOC，根据圆周角定理，圆心角是圆周角的2倍，可算出∠BOC；②OB、OC都是圆的半径，长度相等，故△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等；③已知△OBC的顶角∠BOC，结合三角形内角和为180°，即可计算底角∠OBC的度数。
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC=40°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°。
∵OB和OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数，再结合圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OBC的度数。具体思路：①圆周角∠BAC对应弧BC，同弧对应的圆心角是∠BOC，根据圆周角定理，圆心角是圆周角的2倍，可算出∠BOC；②OB、OC都是圆的半径，长度相等，故△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等；③已知△OBC的顶角∠BOC，结合三角形内角和为180°，即可计算底角∠OBC的度数。
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC=40°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°。
∵OB和OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
9 如图，AB，CD是$\odot O$的弦，延长AB，CD相交于点P。若$∠ P=30°$，$∠ AOC=80°$，则BD的度数是
$20°$
。答案
9. $20°$
解析
【分析】
要求弧BD的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，也等于对应圆心角的度数。我们可以先利用圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出其所对的圆周角∠ABC的度数，再借助三角形外角的性质求出∠C的度数，最后由∠C是弧BD所对的圆周角，即可求出弧BD的度数；也可直接利用圆外角等于其所夹两段弧度数差的一半的规律，代入已知数值直接计算。
【解析】
方法1：
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
弧AC所对的圆心角∠AOC=80°，因此弧AC所对的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. $∠ ABC$是$△ PBC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ ABC=∠ P+∠ C$。
已知$∠ P=30°$，代入得$40°=30°+∠ C$，解得$∠ C=10°$。
3. $∠ C$是弧BD所对的圆周角，因此弧BD的度数为$2∠ C=2×10°=20°$。
方法2：
圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，$∠ P$是圆外角，所夹的弧为弧AC和弧BD。
已知$∠ AOC=80°$，因此弧AC的度数为$80°$，设弧BD的度数为$x$，可得：
$∠ P=\frac{1}{2}×(\mathrm{弧AC的度数}-\mathrm{弧BD的度数})$
代入数值：$30°=\frac{1}{2}×(80° - x)$
解得$x=20°$，即弧BD的度数为$20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，弧的度数定义
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题型，解题的核心是理清圆心角、圆周角、对应弧的度数之间的关系，也可通过圆外角的性质快速求解，解题时注意对应角和对应弧的匹配关系即可。
【难度系数】
0.7
要求弧BD的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆周角度数的2倍，也等于对应圆心角的度数。我们可以先利用圆周角定理，由已知的圆心角∠AOC求出其所对的圆周角∠ABC的度数，再借助三角形外角的性质求出∠C的度数，最后由∠C是弧BD所对的圆周角，即可求出弧BD的度数；也可直接利用圆外角等于其所夹两段弧度数差的一半的规律，代入已知数值直接计算。
【解析】
方法1：
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
弧AC所对的圆心角∠AOC=80°，因此弧AC所对的圆周角$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. $∠ ABC$是$△ PBC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ ABC=∠ P+∠ C$。
已知$∠ P=30°$，代入得$40°=30°+∠ C$，解得$∠ C=10°$。
3. $∠ C$是弧BD所对的圆周角，因此弧BD的度数为$2∠ C=2×10°=20°$。
方法2：
圆外角的度数等于它所夹两段弧度数差的一半，$∠ P$是圆外角，所夹的弧为弧AC和弧BD。
已知$∠ AOC=80°$，因此弧AC的度数为$80°$，设弧BD的度数为$x$，可得：
$∠ P=\frac{1}{2}×(\mathrm{弧AC的度数}-\mathrm{弧BD的度数})$
代入数值：$30°=\frac{1}{2}×(80° - x)$
解得$x=20°$，即弧BD的度数为$20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，弧的度数定义
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题型，解题的核心是理清圆心角、圆周角、对应弧的度数之间的关系，也可通过圆外角的性质快速求解，解题时注意对应角和对应弧的匹配关系即可。
【难度系数】
0.7
10 转化与化归思想 如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2。若$∠ C=45°$，则DG的长为
$\sqrt{2}$
。答案
10. $\sqrt{2}$ 【解析】连接 AO,BO,AB. 根据圆周角定理,得$∠ AOB=2∠ C=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,根据勾股定理,可得$AB=2\sqrt{2}$. 在$△ CAB$中,根据三角形的中位线定理,可得$DG=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此将求DG的长度转化为求AB的长度；接下来AB是$\odot O$的弦，已知圆周角$∠ C=45°$，根据圆周角定理可求出AB所对的圆心角$∠ AOB$的度数，再结合$\odot O$的半径，利用勾股定理即可求出AB的长度，最后代入中位线公式就能得到DG的长。
【解析】
连接AO、BO、AB。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$的半径为2，因此$OA=OB=2$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得：
$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线，将所求线段通过中位线定理转化为圆的弦长求解，同时结合圆周角定理构造直角三角形计算弦长，很好地体现了转化与化归的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此将求DG的长度转化为求AB的长度；接下来AB是$\odot O$的弦，已知圆周角$∠ C=45°$，根据圆周角定理可求出AB所对的圆心角$∠ AOB$的度数，再结合$\odot O$的半径，利用勾股定理即可求出AB的长度，最后代入中位线公式就能得到DG的长。
【解析】
连接AO、BO、AB。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
2. 已知$\odot O$的半径为2，因此$OA=OB=2$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得：
$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是合理添加辅助线，将所求线段通过中位线定理转化为圆的弦长求解，同时结合圆周角定理构造直角三角形计算弦长，很好地体现了转化与化归的数学思想。
【难度系数】
0.7
11 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE//AD,交△ABC的外接圆⊙O于点E,连接AE,CO.求证:
（1）四边形AECD为平行四边形；
（2）CO平分∠BCE.
（1）四边形AECD为平行四边形；
（2）CO平分∠BCE.
答案
11. (1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, \therefore ∠ B=∠ E. \because ∠ B=∠ D, \therefore ∠ E=∠ D.$
$\because CE// AD, \therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°, \therefore ∠ E + ∠ ECD = 180°, \therefore AE// CD, \therefore$ 四边形 AECD 为平行四边形
(2) 如图,连接 OE, OB. $\because$ 四边形 AECD 为平行四边形, $\therefore AD = EC. \because AD = BC, \therefore EC = BC.$ 又$\because OC = OC, OE = OB, \therefore △ COE ≌ △ COB, \therefore ∠ OCE=∠ OCB$, 即 CO 平分$∠ BCE$
解析
【分析】
（1）要证四边形AECD为平行四边形，已知CE//AD，只需再证AE//CD即可。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠E，结合已知∠B=∠D推出∠E=∠D；再由CE//AD得∠D与∠ECD互补，等量代换得∠E与∠ECD互补，即可推出AE//CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证。
（2）要证CO平分∠BCE，即证∠OCE=∠OCB，可通过证明两角所在三角形全等实现。连接OE、OB，由平行四边形对边相等得AD=EC，结合已知AD=BC推出EC=BC；再结合同圆半径相等得OE=OB，OC为公共边，用SSS证明△COE≌△COB，对应角相等即可得证。
【解析】
(1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ B=∠ E$。
$\because ∠ B=∠ D$，$\therefore ∠ E=∠ D$。
$\because CE// AD$，$\therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°$，
等量代换得$∠ E + ∠ ECD = 180°$，
由同旁内角互补，两直线平行得$AE// CD$。
又$\because CE// AD$，$\therefore$ 四边形AECD为平行四边形。
(2) 连接OE、OB。
$\because$ 四边形AECD为平行四边形，$\therefore AD = EC$。
$\because AD = BC$，$\therefore EC = BC$。
又$\because OC = OC$（公共边），$OE = OB$（同圆的半径相等），
$\therefore △ COE ≌ △ COB$（SSS），
$\therefore ∠ OCE=∠ OCB$，即CO平分$∠ BCE$。
【答案】
11. (1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, \therefore ∠ B=∠ E. \because ∠ B=∠ D, \therefore ∠ E=∠ D.$
$\because CE// AD, \therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°, \therefore ∠ E + ∠ ECD = 180°, \therefore AE// CD, \therefore$ 四边形 AECD 为平行四边形
(2) 如图,连接 OE, OB. $\because$ 四边形 AECD 为平行四边形, $\therefore AD = EC. \because AD = BC, \therefore EC = BC.$ 又$\because OC = OC, OE = OB, \therefore △ COE ≌ △ COB, \therefore ∠ OCE=∠ OCB$, 即 CO 平分$∠ BCE$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与四边形结合的基础综合题，解题核心是灵活运用圆周角性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，通过构造辅助线将角平分线的证明转化为全等三角形的证明，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证四边形AECD为平行四边形，已知CE//AD，只需再证AE//CD即可。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠E，结合已知∠B=∠D推出∠E=∠D；再由CE//AD得∠D与∠ECD互补，等量代换得∠E与∠ECD互补，即可推出AE//CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证。
（2）要证CO平分∠BCE，即证∠OCE=∠OCB，可通过证明两角所在三角形全等实现。连接OE、OB，由平行四边形对边相等得AD=EC，结合已知AD=BC推出EC=BC；再结合同圆半径相等得OE=OB，OC为公共边，用SSS证明△COE≌△COB，对应角相等即可得证。
【解析】
(1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ B=∠ E$。
$\because ∠ B=∠ D$，$\therefore ∠ E=∠ D$。
$\because CE// AD$，$\therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°$，
等量代换得$∠ E + ∠ ECD = 180°$，
由同旁内角互补，两直线平行得$AE// CD$。
又$\because CE// AD$，$\therefore$ 四边形AECD为平行四边形。
(2) 连接OE、OB。
$\because$ 四边形AECD为平行四边形，$\therefore AD = EC$。
$\because AD = BC$，$\therefore EC = BC$。
又$\because OC = OC$（公共边），$OE = OB$（同圆的半径相等），
$\therefore △ COE ≌ △ COB$（SSS），
$\therefore ∠ OCE=∠ OCB$，即CO平分$∠ BCE$。
【答案】
11. (1) $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}, \therefore ∠ B=∠ E. \because ∠ B=∠ D, \therefore ∠ E=∠ D.$
$\because CE// AD, \therefore ∠ D + ∠ ECD = 180°, \therefore ∠ E + ∠ ECD = 180°, \therefore AE// CD, \therefore$ 四边形 AECD 为平行四边形
(2) 如图,连接 OE, OB. $\because$ 四边形 AECD 为平行四边形, $\therefore AD = EC. \because AD = BC, \therefore EC = BC.$ 又$\because OC = OC, OE = OB, \therefore △ COE ≌ △ COB, \therefore ∠ OCE=∠ OCB$, 即 CO 平分$∠ BCE$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与四边形结合的基础综合题，解题核心是灵活运用圆周角性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，通过构造辅助线将角平分线的证明转化为全等三角形的证明，能够有效考查学生的逻辑推理能力和几何知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图,四边形ABCD 的四个顶点均在$\odot O$上,$BC// AD,AC⊥ BD,∠ AOD=120°,AD=\sqrt{3}$.
（1）求$∠ CAO$的度数；
（2）BC 的长为
（1）求$∠ CAO$的度数；
（2）BC 的长为
1
.答案
12. (1) 如图,设 AC,BD 交于点 E. $\because AC⊥ BD, \therefore ∠ AED=90°.$
$\because BC// AD, \therefore ∠ DBC=∠ ADB. \because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ DBC=∠ DAC, \therefore ∠ ADB=∠ DAC, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ ADB=∠ DAC=45°.$
$\because OA=OD, \therefore ∠ OAD=∠ ODA. \because$ 在$△ OAD$ 中, $∠ AOD=120°, \therefore ∠ OAD=30°, \therefore ∠ CAO=∠ DAC - ∠ OAD=15°$
(2) 1 【解析】如图,连接 OB,OC,过点 O 作 $OH⊥ AD$,垂足为 H.
$\because OA=OD, OH⊥ AD, \therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中, $∠ OAH=30°, \therefore$ 易得 $OH=\frac{1}{2}OA.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHA$ 中,由勾股定理,得 $OH^2+AH^2=OA^2, \therefore (\frac{1}{2}OA)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = OA^2$, 解得 $OA=1$(负值舍去).
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ COD=2∠ DAC=90°.$ 同理,得$∠ AOB=90°. \because ∠ AOD=120°, \therefore ∠ BOC=360° - 90° - 90° - 120°=60°.$
$\because OB=OC, \therefore △ OBC$ 是等边三角形, $\therefore BC=OB. \because OB=OA=1, \therefore BC=1.$
解析
【分析】
（1）求解∠CAO的度数，可先推导∠DAC的度数：已知AC⊥BD，BC//AD，结合平行线内错角相等、同弧所对圆周角相等，可证得∠ADB=∠DAC，在Rt△AED中可得∠DAC=45°；再结合OA=OD，∠AOD=120°，可求出等腰△OAD的底角∠OAD=30°，最后用∠DAC减去∠OAD即可得到∠CAO的度数。
（2）求解BC的长度，先求⊙O的半径：过O作OH⊥AD，利用垂径定理可得AH的长度，结合∠OAH=30°，用勾股定理求出半径OA=1；再根据圆周角定理，由∠DAC=45°可得对应的圆心角∠COD=90°，同理得∠AOB=90°，结合周角为360°可求出∠BOC=60°，由OB=OC可判定△OBC是等边三角形，即可得BC等于半径长。
【解析】
（1）设AC，BD交于点E。
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°。
∵BC//AD，
∴∠DBC=∠ADB。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠DBC=∠DAC，
∴∠ADB=∠DAC，在Rt△AED中，∠ADB=∠DAC=45°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
在△OAD中，∠AOD=120°，
∴∠OAD=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠CAO=∠DAC - ∠OAD=45°-30°=15°。
（2）连接OB，OC，过点O作OH⊥AD，垂足为H。
∵OA=OD，OH⊥AD，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△OHA中，∠OAH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA。
由勾股定理得$OH^2+AH^2=OA^2$，
代入得$(\frac{1}{2}OA)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = OA^2$，解得OA=1（负值舍去）。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠COD=2∠DAC=90°，同理得∠AOB=90°。
∵∠AOD=120°，
∴∠BOC=360° - 90° - 90° - 120°=60°。
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OA=1。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质与特殊三角形的相关知识，解题时需要熟练掌握角的转化方法，理清圆周角与圆心角的对应关系，结合特殊三角形的性质求解线段长度，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）求解∠CAO的度数，可先推导∠DAC的度数：已知AC⊥BD，BC//AD，结合平行线内错角相等、同弧所对圆周角相等，可证得∠ADB=∠DAC，在Rt△AED中可得∠DAC=45°；再结合OA=OD，∠AOD=120°，可求出等腰△OAD的底角∠OAD=30°，最后用∠DAC减去∠OAD即可得到∠CAO的度数。
（2）求解BC的长度，先求⊙O的半径：过O作OH⊥AD，利用垂径定理可得AH的长度，结合∠OAH=30°，用勾股定理求出半径OA=1；再根据圆周角定理，由∠DAC=45°可得对应的圆心角∠COD=90°，同理得∠AOB=90°，结合周角为360°可求出∠BOC=60°，由OB=OC可判定△OBC是等边三角形，即可得BC等于半径长。
【解析】
（1）设AC，BD交于点E。
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°。
∵BC//AD，
∴∠DBC=∠ADB。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠DBC=∠DAC，
∴∠ADB=∠DAC，在Rt△AED中，∠ADB=∠DAC=45°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA。
在△OAD中，∠AOD=120°，
∴∠OAD=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠CAO=∠DAC - ∠OAD=45°-30°=15°。
（2）连接OB，OC，过点O作OH⊥AD，垂足为H。
∵OA=OD，OH⊥AD，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△OHA中，∠OAH=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA。
由勾股定理得$OH^2+AH^2=OA^2$，
代入得$(\frac{1}{2}OA)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = OA^2$，解得OA=1（负值舍去）。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠COD=2∠DAC=90°，同理得∠AOB=90°。
∵∠AOD=120°，
∴∠BOC=360° - 90° - 90° - 120°=60°。
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OA=1。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质与特殊三角形的相关知识，解题时需要熟练掌握角的转化方法，理清圆周角与圆心角的对应关系，结合特殊三角形的性质求解线段长度，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
