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1 有下列命题:① 圆内接平行四边形是矩形;② 圆内接矩形是正方形;③ 圆内接菱形是正方形.其中,真命题是 (
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
D
)A.①②
B.①②③
C.②③
D.①③
答案
1. D
解析
【分析】
要判断三个命题的真假，核心依据是圆内接四边形对角互补的性质，再结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，逐个验证每个命题即可。具体思路：先明确每个命题中图形的固有性质，再结合圆内接四边形对角互补的条件推导，看是否能得出对应结论。
【解析】
圆内接四边形的对角互补（和为$180°$），我们逐个分析命题：
1. 分析命题①：平行四边形的对角相等，若平行四边形内接于圆，则它的对角既相等又互补，可得每个对角的度数为$180°÷2=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此①是真命题。
2. 分析命题②：矩形的四个角都是直角，天然满足圆内接四边形对角互补的要求，但矩形的邻边不一定相等，因此圆内接矩形可以是长、宽不相等的普通矩形，不一定是正方形，因此②是假命题。
3. 分析命题③：菱形的对角相等、四条边都相等，若菱形内接于圆，则它的对角既相等又互补，可得每个角为$90°$，四条边相等且四个角为直角的四边形是正方形，因此③是真命题。
综上，真命题为①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质，特殊平行四边形性质，特殊平行四边形判定
【点评】
本题是几何基础类判断题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的核心性质，以及各类特殊平行四边形的特征与判定条件，避免混淆不同特殊四边形的判定规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
要判断三个命题的真假，核心依据是圆内接四边形对角互补的性质，再结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，逐个验证每个命题即可。具体思路：先明确每个命题中图形的固有性质，再结合圆内接四边形对角互补的条件推导，看是否能得出对应结论。
【解析】
圆内接四边形的对角互补（和为$180°$），我们逐个分析命题：
1. 分析命题①：平行四边形的对角相等，若平行四边形内接于圆，则它的对角既相等又互补，可得每个对角的度数为$180°÷2=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此①是真命题。
2. 分析命题②：矩形的四个角都是直角，天然满足圆内接四边形对角互补的要求，但矩形的邻边不一定相等，因此圆内接矩形可以是长、宽不相等的普通矩形，不一定是正方形，因此②是假命题。
3. 分析命题③：菱形的对角相等、四条边都相等，若菱形内接于圆，则它的对角既相等又互补，可得每个角为$90°$，四条边相等且四个角为直角的四边形是正方形，因此③是真命题。
综上，真命题为①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形性质，特殊平行四边形性质，特殊平行四边形判定
【点评】
本题是几何基础类判断题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的核心性质，以及各类特殊平行四边形的特征与判定条件，避免混淆不同特殊四边形的判定规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
2 如图，经过原点的$\odot P$与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，$C$是$\overset{\frown}{OB}$上一点，则$∠ C$的度数为 （
A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
（第2题）
B
）A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$
（第2题）答案
2. B
解析
【分析】
首先观察到平面直角坐标系中x轴与y轴互相垂直，可得∠AOB=90°；已知A、O、B、C四点均在⊙P上，∠AOB是⊙P的圆周角，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可推出AB是⊙P的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
∵点A、B、O都在⊙P上，∠AOB是⊙P的圆周角，
∴根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙P的直径，
又
∵点C在⊙P上，∠C是直径AB所对的圆周角，
∴根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠C=90°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，平面直角坐标系的特征
【点评】
本题属于基础题，结合坐标系的垂直特征，灵活运用圆周角定理的推论即可快速求解，重点考查对圆周角相关性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察到平面直角坐标系中x轴与y轴互相垂直，可得∠AOB=90°；已知A、O、B、C四点均在⊙P上，∠AOB是⊙P的圆周角，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可推出AB是⊙P的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
∵点A、B、O都在⊙P上，∠AOB是⊙P的圆周角，
∴根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙P的直径，
又
∵点C在⊙P上，∠C是直径AB所对的圆周角，
∴根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠C=90°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，平面直角坐标系的特征
【点评】
本题属于基础题，结合坐标系的垂直特征，灵活运用圆周角定理的推论即可快速求解，重点考查对圆周角相关性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
3 新情境 生活实际 一块圆形玻璃镜面损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，则圆形玻璃镜面的半径为
$\frac{13}{2}$
$\mathrm{cm}$。答案
3. $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
要确定圆形玻璃镜面的半径，首先需要找到该圆的直径。观察图形可知，直角尺的∠ABC=90°，且点A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可知连接AC后AC就是圆的直径。接下来只需在直角三角形ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到半径。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且点A、B、C都在圆上，
∴AC是该圆形玻璃的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径）。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
∴圆形玻璃镜面的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题结合生活中修补圆形玻璃的实际场景，考查了圆周角相关推论和勾股定理的综合运用，解题的关键是结合直角特征判断出圆的直径，将实际问题转化为常见的几何计算问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
要确定圆形玻璃镜面的半径，首先需要找到该圆的直径。观察图形可知，直角尺的∠ABC=90°，且点A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可知连接AC后AC就是圆的直径。接下来只需在直角三角形ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再除以2即可得到半径。
【解析】
连接AC，
∵∠ABC=90°，且点A、B、C都在圆上，
∴AC是该圆形玻璃的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径）。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$，
∴圆形玻璃镜面的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题结合生活中修补圆形玻璃的实际场景，考查了圆周角相关推论和勾股定理的综合运用，解题的关键是结合直角特征判断出圆的直径，将实际问题转化为常见的几何计算问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
4 [2025甘肃]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，连接BD。若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC$的度数为
$55°$
。答案
4. $55°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先根据等弧对等弦，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$得到$AB=BC$，确定$△ ABC$为等腰三角形；②结合已知$∠ ABC=70°$，利用等腰三角形内角和计算出底角$∠ BAC$的度数；③最后根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，$∠ BDC$和$∠ BAC$均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，二者相等即可得到$∠ BDC$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore AB=BC$，即$△ ABC$是等腰三角形
$\because ∠ ABC=70°$，三角形内角和为$180°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
弧与弦的关系；等腰三角形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是找到等弧对应的等弦，再利用同弧所对圆周角相等建立角的等量关系，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先根据等弧对等弦，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$得到$AB=BC$，确定$△ ABC$为等腰三角形；②结合已知$∠ ABC=70°$，利用等腰三角形内角和计算出底角$∠ BAC$的度数；③最后根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，$∠ BDC$和$∠ BAC$均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，二者相等即可得到$∠ BDC$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore AB=BC$，即$△ ABC$是等腰三角形
$\because ∠ ABC=70°$，三角形内角和为$180°$
$\therefore ∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
$\because ∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角
$\therefore ∠ BDC=∠ BAC=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
弧与弦的关系；等腰三角形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题的核心是找到等弧对应的等弦，再利用同弧所对圆周角相等建立角的等量关系，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5 [2025 宿城段考]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ B=50°$，$∠ ACD=25°$，$∠ BAD=65°$，求证：
(1) $AD=CD$；
(2) $AB$是$\odot O$的直径。
(1) $AD=CD$；
(2) $AB$是$\odot O$的直径。
答案
5. (1) 如图,连接BD.$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=∠ ABC-∠ 1=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore$ 易得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
解析
【分析】
(1) 要证明同圆中两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等，再转化为证明弧所对的圆周角相等。观察已知条件给出了∠ACD的度数，可构造辅助线连接BD，利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠ABD与∠ACD相等，结合∠ABC的度数求出∠CBD，即可得到相等的圆周角，进而推导出弧相等、弦相等。
(2) 要证明AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，只需证明AB所对的圆周角为直角即可。利用已得的∠1的度数和已知的∠BAD的度数，通过三角形内角和计算出∠ADB的度数，即可判断是否为直角，完成证明。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BD。
∵ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ 1=∠ ACD=25°$，
又
∵ $∠ ABC=50°$，
∴ $∠ 2=∠ ABC-∠ 1=50°-25°=25°$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，
∵ 相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 同圆中等弧所对的弦相等，
∴ $AD=CD$。
(2) 证明：在$△ ABD$中，
$∠ BAD=65°$，$∠ 1=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ 1=180°-65°-25°=90°$，
∵ 90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ $AB$是$\odot O$的直径。
【答案】
5. (1) 如图,连接BD.$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=∠ ABC-∠ 1=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore$ 易得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，直径的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是合理构造辅助线，熟练运用圆中角、弧、弦的对应转化关系和圆周角相关推论推导结论，同时结合三角形内角和定理完成角度计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明同圆中两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等，再转化为证明弧所对的圆周角相等。观察已知条件给出了∠ACD的度数，可构造辅助线连接BD，利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠ABD与∠ACD相等，结合∠ABC的度数求出∠CBD，即可得到相等的圆周角，进而推导出弧相等、弦相等。
(2) 要证明AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，只需证明AB所对的圆周角为直角即可。利用已得的∠1的度数和已知的∠BAD的度数，通过三角形内角和计算出∠ADB的度数，即可判断是否为直角，完成证明。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BD。
∵ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，
∴ $∠ 1=∠ ACD=25°$，
又
∵ $∠ ABC=50°$，
∴ $∠ 2=∠ ABC-∠ 1=50°-25°=25°$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，
∵ 相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 同圆中等弧所对的弦相等，
∴ $AD=CD$。
(2) 证明：在$△ ABD$中，
$∠ BAD=65°$，$∠ 1=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ADB=180°-∠ BAD-∠ 1=180°-65°-25°=90°$，
∵ 90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ $AB$是$\odot O$的直径。
【答案】
5. (1) 如图,连接BD.$\because ∠ 1=∠ ACD=25°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ 2=∠ ABC-∠ 1=25°,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore$ 易得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$
(2) $\because ∠ BAD=65°,∠ 1=25°,\therefore ∠ ADB=180°-∠ 1-∠ BAD=90°,\therefore AB$ 为$\odot O$的直径
【知识点】
圆周角定理，等弧对等弦，直径的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是合理构造辅助线，熟练运用圆中角、弧、弦的对应转化关系和圆周角相关推论推导结论，同时结合三角形内角和定理完成角度计算。
【难度系数】
0.7
6 一题多解 如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且$∠ ADC=120°$，E是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点，连接BC，BE，CE，则$∠ BEC$的度数为 （
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$
答案
6. B 【解析】解法一:连接AC. $\because$ AB 是半圆 O 的直径,
$\therefore ∠ ACB=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°. \because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ABC=60°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°-∠ ABC=30°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BEC=∠ BAC=30°.$ 解法二:连接 OC. $\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC = 180°. \because ∠ ADC = 120°,\therefore ∠ ABC = 60°.$
$\because OB=OC,\therefore △ OCB$ 是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠ BEC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°.$
$\therefore ∠ ACB=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°. \because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ABC=60°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°-∠ ABC=30°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BEC=∠ BAC=30°.$ 解法二:连接 OC. $\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC = 180°. \because ∠ ADC = 120°,\therefore ∠ ABC = 60°.$
$\because OB=OC,\therefore △ OCB$ 是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°. \because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠ BEC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°.$
解析
【分析】
要求∠BEC的度数，可根据圆周角定理将其转化为求同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角或圆心角的度数。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知$∠ADC=120°$求出$∠ABC$的度数；再结合AB是直径的条件，有两种解题思路：一是利用直径所对圆周角为直角，在$Rt△ABC$中求出$∠BAC$，再由同弧所对圆周角相等得到$∠BEC$的度数；二是先证明$△OBC$是等边三角形得到圆心角$∠BOC$的度数，再由圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）求出$∠BEC$的度数。
【解析】
解法一：连接AC。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ $∠ACB=90°$。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$。
∵ $∠ADC=120°$，
∴ $∠ABC=180°-120°=60°$。
在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°$。
∵ $∠BEC$和$∠BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠BEC=∠BAC=30°$。
解法二：连接OC。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$。
∵ $∠ADC=120°$，
∴ $∠ABC=180°-120°=60°$。
∵ $OB=OC$，
∴ $△OCB$是等边三角形，
∴ $∠BOC=60°$。
∵ $∠BEC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ $∠BEC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题的核心是通过圆内接四边形的性质建立已知角和未知角的关联，再结合圆周角相关定理转化求解，熟练掌握圆的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要求∠BEC的度数，可根据圆周角定理将其转化为求同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角或圆心角的度数。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知$∠ADC=120°$求出$∠ABC$的度数；再结合AB是直径的条件，有两种解题思路：一是利用直径所对圆周角为直角，在$Rt△ABC$中求出$∠BAC$，再由同弧所对圆周角相等得到$∠BEC$的度数；二是先证明$△OBC$是等边三角形得到圆心角$∠BOC$的度数，再由圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）求出$∠BEC$的度数。
【解析】
解法一：连接AC。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ $∠ACB=90°$。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$。
∵ $∠ADC=120°$，
∴ $∠ABC=180°-120°=60°$。
在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°$。
∵ $∠BEC$和$∠BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠BEC=∠BAC=30°$。
解法二：连接OC。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ $∠ADC+∠ABC=180°$。
∵ $∠ADC=120°$，
∴ $∠ABC=180°-120°=60°$。
∵ $OB=OC$，
∴ $△OCB$是等边三角形，
∴ $∠BOC=60°$。
∵ $∠BEC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ $∠BEC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，直径所对圆周角特征
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题的核心是通过圆内接四边形的性质建立已知角和未知角的关联，再结合圆周角相关定理转化求解，熟练掌握圆的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
