7 [2025 泗洪期中]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC，记$∠ BAC$的度数为$α$，$∠ CAD$的度数为$β$。若$AB=AC$，$AB// CD$，则下列关系正确的是（）

A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
（第7题）

7. C

8 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，$\odot D$经过A，B，O，C四点，$∠ ACO=120°$，$AB=4$，则圆心D的坐标是。

8. $(-\sqrt{3},1)$

9 [2024长春]如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$DE⊥AB$于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD。给出下面两个结论：① $∠ABD=∠DAC$；② $AF=FG$。上述结论中，正确结论的序号为。

9. ①② 【解析】$\because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ ABD=∠ DAC.$ 故①正确. $\because AB$ 是半圆的直径,$\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$∠ DAB+∠ ABD=90°. \because DE⊥ AB,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAB + ∠ ADE = 90°,\therefore ∠ ABD = ∠ ADE,\therefore ∠ ADE = ∠ DAC,\therefore AF = DF. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中,$∠ DAC+∠ AGD=90°$,$∠ ADE+∠ FDG=90°,\therefore ∠ AGD=∠ FDG,\therefore DF=FG,\therefore AF=FG.$ 综上所述,正确结论的序号为①②.

10 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=60°$，对角线DB平分$∠ ADC$。
（1）求证：$△ ABC$是等边三角形；
（2）若$AD=2$，$DC=3$，求$△ ABC$的周长。

10. (1) $\because$ 四边形 ABCD 内接于$\odot O,\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°.$
$\because ∠ ABC=60°,\therefore ∠ ADC=120°. \because DB$ 平分$∠ ADC,\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ ACB = ∠ ADB = 60°$,$∠ BAC=∠ CDB=60°,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC,\therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) 如图,过点 A 作$AM⊥ CD$,交 CD 的延长线于点 M.
$\therefore ∠ AMD=90°. \because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中,$∠ DAM=30°,\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1,\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}. \because CD = 3,\therefore CM = CD + DM = 4,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中, $AC = \sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}. \because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19},\therefore △ ABC$ 的周长为 $3\sqrt{19}$

11 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数.
(2) 过点C作CF//AD,交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.

11. (1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ CDB. \because ∠ BAC=∠ ADB,$
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB,$ 即 DB 平分$∠ ADC. \because BD$ 平分$∠ ABC,$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD. \because △ ABD$ 与$△ CBD$ 的内角和均为 $180°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ BCD. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°,\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$
(2) $\because ∠ BAD = 90°,\therefore BD$ 是圆的直径. $\because ∠ ABD = ∠ CBD,$
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD. \because AC=AD,\therefore AC=AD=CD,\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°,\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD = 2BC. \because CF// AD,\therefore ∠ F + ∠ BAD = 180°,$
$\therefore ∠ F=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABC=120°,\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°,$
$\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\frac{1}{2}BC. \because BF=2,\therefore BC=4,\therefore BD=8. \because BD$ 是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4$