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7 [2025 泗洪期中]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC，记$∠ BAC$的度数为$α$，$∠ CAD$的度数为$β$。若$AB=AC$，$AB// CD$，则下列关系正确的是（
A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
（第7题）
C
）A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
（第7题）答案
7. C
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先根据等腰三角形AB=AC的性质，求出△ABC的底角∠ACB的度数；②结合AB//CD的平行线性质，利用内错角相等得到∠ACD的度数，进而求出∠BCD的总度数；③再利用圆内接四边形对角互补的性质，将∠BAD（即α+β）和∠BCD代入互补关系，整理等式即可得到α和β的数量关系。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$∠ BAC=α$，在等腰$△ ABC$中，底角相等：
$∠ ACB=\frac{180°-α}{2}$
2. 因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得：
$∠ ACD=∠ BAC=α$
3. 因此$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=\frac{180°-α}{2}+α=\frac{180°+α}{2}$
4. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ BAD+∠ BCD=180°$，其中$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=α+β$，代入得：
$α+β+\frac{180°+α}{2}=180°$
两边同乘2去分母得：$2α+2β+180°+α=360°$
整理后得：$3α+2β=180°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合了三角形、平行线与圆的基础性质，解题的核心是找准不同图形性质对应的角的等量关系，逐步推导建立待求角的等式，是基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：①先根据等腰三角形AB=AC的性质，求出△ABC的底角∠ACB的度数；②结合AB//CD的平行线性质，利用内错角相等得到∠ACD的度数，进而求出∠BCD的总度数；③再利用圆内接四边形对角互补的性质，将∠BAD（即α+β）和∠BCD代入互补关系，整理等式即可得到α和β的数量关系。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$∠ BAC=α$，在等腰$△ ABC$中，底角相等：
$∠ ACB=\frac{180°-α}{2}$
2. 因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得：
$∠ ACD=∠ BAC=α$
3. 因此$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=\frac{180°-α}{2}+α=\frac{180°+α}{2}$
4. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ BAD+∠ BCD=180°$，其中$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=α+β$，代入得：
$α+β+\frac{180°+α}{2}=180°$
两边同乘2去分母得：$2α+2β+180°+α=360°$
整理后得：$3α+2β=180°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合了三角形、平行线与圆的基础性质，解题的核心是找准不同图形性质对应的角的等量关系，逐步推导建立待求角的等式，是基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
8 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，$\odot D$经过A，B，O，C四点，$∠ ACO=120°$，$AB=4$，则圆心D的坐标是
$(-\sqrt{3},1)$
。答案
8. $(-\sqrt{3},1)$
解析
【分析】
首先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理的推论可判断AB是⊙D的直径，即D为AB的中点；再利用圆内接四边形对角互补的性质，由∠ACO=120°求出∠ABO的度数；接着在Rt△AOB中结合AB的长度和三角函数求出OA、OB的长度，得到A、B两点的坐标；最后用中点坐标公式计算AB中点D的坐标即可。
【解析】
1. 判定直径：
∵∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙D的直径，
∴点D是AB的中点。
2. 求∠ABO的度数：
∵四边形ABOC内接于⊙D，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠ABO+∠ACO=180°，已知∠ACO=120°，
∴∠ABO=180°-120°=60°。
3. 求A、B坐标：在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=60°：
$OB=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，故B点坐标为$(0,2)$；
$OA=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，A在x轴负半轴，故A点坐标为$(-2\sqrt{3},0)$。
4. 求D点坐标：根据中点坐标公式，AB中点D的横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}=-\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是判断AB为圆的直径，再结合圆的性质和直角三角形相关知识求解，难度适中，侧重对基础定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7
首先根据∠AOB=90°，结合圆周角定理的推论可判断AB是⊙D的直径，即D为AB的中点；再利用圆内接四边形对角互补的性质，由∠ACO=120°求出∠ABO的度数；接着在Rt△AOB中结合AB的长度和三角函数求出OA、OB的长度，得到A、B两点的坐标；最后用中点坐标公式计算AB中点D的坐标即可。
【解析】
1. 判定直径：
∵∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB为⊙D的直径，
∴点D是AB的中点。
2. 求∠ABO的度数：
∵四边形ABOC内接于⊙D，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠ABO+∠ACO=180°，已知∠ACO=120°，
∴∠ABO=180°-120°=60°。
3. 求A、B坐标：在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=60°：
$OB=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，故B点坐标为$(0,2)$；
$OA=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，A在x轴负半轴，故A点坐标为$(-2\sqrt{3},0)$。
4. 求D点坐标：根据中点坐标公式，AB中点D的横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}=-\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是判断AB为圆的直径，再结合圆的性质和直角三角形相关知识求解，难度适中，侧重对基础定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7
9 [2024长春]如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$DE⊥AB$于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD。给出下面两个结论：① $∠ABD=∠DAC$；② $AF=FG$。上述结论中，正确结论的序号为
①②
。答案
9. ①② 【解析】$\because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ ABD=∠ DAC.$ 故①正确. $\because AB$ 是半圆的直径,$\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$∠ DAB+∠ ABD=90°. \because DE⊥ AB,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAB + ∠ ADE = 90°,\therefore ∠ ABD = ∠ ADE,\therefore ∠ ADE = ∠ DAC,\therefore AF = DF. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中,$∠ DAC+∠ AGD=90°$,$∠ ADE+∠ FDG=90°,\therefore ∠ AGD=∠ FDG,\therefore DF=FG,\therefore AF=FG.$ 综上所述,正确结论的序号为①②.
解析
【分析】
要判断两个结论是否正确，可按以下思路分析：
1. 判断结论①：已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，找到∠ABD和∠DAC分别对应的弧，即可判断两个角相等。
2. 判断结论②：要证AF=FG，可通过中间量DF转换，先证AF=DF，再证DF=FG。首先利用直径所对的圆周角是直角、同角的余角相等推导角的等量关系，结合①的结论可得∠ADE=∠DAC，由等角对等边得AF=DF；再在Rt△ADG中利用余角的性质推导∠AGD=∠FDG，得DF=FG，即可推出AF=FG。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ABD=∠DAC$，故①正确。
∵ AB是半圆的直径，
∴ $∠ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB+∠ABD=90°$。
∵ $DE⊥AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△AED$中，$∠DAB + ∠ADE = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ABD = ∠ADE$。
结合①的结论$∠ABD=∠DAC$，可得$∠ADE = ∠DAC$，根据等角对等边，得$AF = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠DAC+∠AGD=90°$，又$∠ADE+∠FDG=∠ADB=90°$，且$∠DAC=∠ADE$，所以$∠AGD=∠FDG$，根据等角对等边，得$DF=FG$。
因此$AF=FG$，故②正确。
【答案】
①②
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形判定、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形判定的综合题，解题核心是通过同角的余角相等完成角的等量转换，属于圆相关性质应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
要判断两个结论是否正确，可按以下思路分析：
1. 判断结论①：已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，找到∠ABD和∠DAC分别对应的弧，即可判断两个角相等。
2. 判断结论②：要证AF=FG，可通过中间量DF转换，先证AF=DF，再证DF=FG。首先利用直径所对的圆周角是直角、同角的余角相等推导角的等量关系，结合①的结论可得∠ADE=∠DAC，由等角对等边得AF=DF；再在Rt△ADG中利用余角的性质推导∠AGD=∠FDG，得DF=FG，即可推出AF=FG。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ABD=∠DAC$，故①正确。
∵ AB是半圆的直径，
∴ $∠ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠DAB+∠ABD=90°$。
∵ $DE⊥AB$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△AED$中，$∠DAB + ∠ADE = 90°$，根据同角的余角相等，得$∠ABD = ∠ADE$。
结合①的结论$∠ABD=∠DAC$，可得$∠ADE = ∠DAC$，根据等角对等边，得$AF = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ADG$中，$∠DAC+∠AGD=90°$，又$∠ADE+∠FDG=∠ADB=90°$，且$∠DAC=∠ADE$，所以$∠AGD=∠FDG$，根据等角对等边，得$DF=FG$。
因此$AF=FG$，故②正确。
【答案】
①②
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形判定、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形判定的综合题，解题核心是通过同角的余角相等完成角的等量转换，属于圆相关性质应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
10 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=60°$，对角线DB平分$∠ ADC$。
（1）求证：$△ ABC$是等边三角形；
（2）若$AD=2$，$DC=3$，求$△ ABC$的周长。
（1）求证：$△ ABC$是等边三角形；
（2）若$AD=2$，$DC=3$，求$△ ABC$的周长。
答案
10. (1) $\because$ 四边形 ABCD 内接于$\odot O,\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°.$
$\because ∠ ABC=60°,\therefore ∠ ADC=120°. \because DB$ 平分$∠ ADC,\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ ACB = ∠ ADB = 60°$,$∠ BAC=∠ CDB=60°,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC,\therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) 如图,过点 A 作$AM⊥ CD$,交 CD 的延长线于点 M.
$\therefore ∠ AMD=90°. \because ∠ ADC=120°,\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中,$∠ DAM=30°,\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1,\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}. \because CD = 3,\therefore CM = CD + DM = 4,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中, $AC = \sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}. \because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19},\therefore △ ABC$ 的周长为 $3\sqrt{19}$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC$为等边三角形，已知$∠ ABC=60°$，只需证明其余两个内角均为$60°$即可。首先利用圆内接四边形对角互补计算$∠ ADC$的度数，结合角平分线的性质得到$∠ ADB$、$∠ CDB$的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，推导得到$∠ ACB$和$∠ BAC$的度数，即可完成证明。
（2）要求等边$△ ABC$的周长，需先求出边长$AC$的长度。通过过点$A$作$CD$延长线的垂线构造直角三角形，先利用邻补角的性质求出$∠ ADM$的度数，在$\mathrm{Rt}△ AMD$中借助$30°$角所对直角边是斜边一半的性质求出$DM$、$AM$的长度，再求出$CM$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ AMC$中用勾股定理算出$AC$的长度，乘以3即可得到$△ ABC$的周长。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$，$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$。
$\because ∠ABC=60°$，$\therefore ∠ADC=120°$。$\because DB$ 平分$∠ADC$，$\therefore ∠ADB=∠CDB=60°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ACB = ∠ADB = 60°$，$∠BAC=∠CDB=60°$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB=∠BAC$，$\therefore △ ABC$ 是等边三角形。
(2) 如图，过点 $A$ 作$AM⊥CD$，交 $CD$ 的延长线于点 $M$。
$\therefore ∠AMD=90°$。$\because ∠ADC=120°$，$\therefore ∠ADM=180°-∠ADC=60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AMD$中，$∠DAM=30°$，$\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1$，
$\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because CD = 3$，$\therefore CM = CD + DM = 3+1=4$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AMC$中, $AC = \sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{19}$。
$\because △ABC$ 是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19}$，
$\therefore △ABC$ 的周长为 $\sqrt{19} × 3=3\sqrt{19}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明成立；
(2) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{3\sqrt{19}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问侧重对圆的基础性质的应用，第二问通过构造直角三角形将未知边长的求解转化为勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$△ ABC$为等边三角形，已知$∠ ABC=60°$，只需证明其余两个内角均为$60°$即可。首先利用圆内接四边形对角互补计算$∠ ADC$的度数，结合角平分线的性质得到$∠ ADB$、$∠ CDB$的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，推导得到$∠ ACB$和$∠ BAC$的度数，即可完成证明。
（2）要求等边$△ ABC$的周长，需先求出边长$AC$的长度。通过过点$A$作$CD$延长线的垂线构造直角三角形，先利用邻补角的性质求出$∠ ADM$的度数，在$\mathrm{Rt}△ AMD$中借助$30°$角所对直角边是斜边一半的性质求出$DM$、$AM$的长度，再求出$CM$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ AMC$中用勾股定理算出$AC$的长度，乘以3即可得到$△ ABC$的周长。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$，$\therefore ∠ABC+∠ADC=180°$。
$\because ∠ABC=60°$，$\therefore ∠ADC=120°$。$\because DB$ 平分$∠ADC$，$\therefore ∠ADB=∠CDB=60°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ACB = ∠ADB = 60°$，$∠BAC=∠CDB=60°$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB=∠BAC$，$\therefore △ ABC$ 是等边三角形。
(2) 如图，过点 $A$ 作$AM⊥CD$，交 $CD$ 的延长线于点 $M$。
$\therefore ∠AMD=90°$。$\because ∠ADC=120°$，$\therefore ∠ADM=180°-∠ADC=60°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AMD$中，$∠DAM=30°$，$\therefore DM=\frac{1}{2}AD=1$，
$\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because CD = 3$，$\therefore CM = CD + DM = 3+1=4$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AMC$中, $AC = \sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{19}$。
$\because △ABC$ 是等边三角形，$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19}$，
$\therefore △ABC$ 的周长为 $\sqrt{19} × 3=3\sqrt{19}$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形，证明成立；
(2) $△ ABC$的周长为$\boldsymbol{3\sqrt{19}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问侧重对圆的基础性质的应用，第二问通过构造直角三角形将未知边长的求解转化为勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6
11 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数.
(2) 过点C作CF//AD,交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.
(1) 求证:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度数.
(2) 过点C作CF//AD,交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径.
答案
11. (1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ CDB. \because ∠ BAC=∠ ADB,$
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB,$ 即 DB 平分$∠ ADC. \because BD$ 平分$∠ ABC,$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD. \because △ ABD$ 与$△ CBD$ 的内角和均为 $180°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ BCD. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°,\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$
(2) $\because ∠ BAD = 90°,\therefore BD$ 是圆的直径. $\because ∠ ABD = ∠ CBD,$
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD. \because AC=AD,\therefore AC=AD=CD,\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°,\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD = 2BC. \because CF// AD,\therefore ∠ F + ∠ BAD = 180°,$
$\therefore ∠ F=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABC=120°,\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°,$
$\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\frac{1}{2}BC. \because BF=2,\therefore BC=4,\therefore BD=8. \because BD$ 是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4$
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB,$ 即 DB 平分$∠ ADC. \because BD$ 平分$∠ ABC,$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD. \because △ ABD$ 与$△ CBD$ 的内角和均为 $180°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ BCD. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°,\therefore ∠ BAD = ∠ BCD = 90°$
(2) $\because ∠ BAD = 90°,\therefore BD$ 是圆的直径. $\because ∠ ABD = ∠ CBD,$
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD. \because AC=AD,\therefore AC=AD=CD,\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°,\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD = 2BC. \because CF// AD,\therefore ∠ F + ∠ BAD = 180°,$
$\therefore ∠ F=90°. \because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC=180°,\therefore ∠ ABC=120°,\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°,$
$\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\frac{1}{2}BC. \because BF=2,\therefore BC=4,\therefore BD=8. \because BD$ 是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4$
解析
【分析】
(1) 要证DB平分∠ADC，需证明∠CDB=∠ADB：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CDB，结合已知∠BAC=∠ADB，即可推得两角相等，证明角平分线；求∠BAD的度数时，先由BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，结合三角形内角和可得∠BAD=∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD=90°。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径；再结合角平分线可得弧AD=弧CD，即AD=CD，结合AC=AD可证△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出Rt△BCD中BD=2BC；再由CF//AD得∠F=90°，结合圆内接四边形性质求出∠FBC=60°，在Rt△BFC中利用30°角对的直角边是斜边的一半求出BC的长，即可得到直径BD的长度，进而求出半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ BAC=∠ CDB$，
又
∵ $∠ BAC=∠ ADB$，
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB$，即 DB 平分$∠ ADC$。
∵ BD 平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD$，
∵ $△ ABD$与$△ CBD$的内角和均为 $180°$，
$\therefore 180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-∠ CBD-∠ CDB$，即$∠ BAD=∠ BCD$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
$\therefore 2∠ BAD=180°$，解得$∠ BAD = 90°$。
(2) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，90°的圆周角所对的弦是直径，$\therefore BD$是圆的直径。
∵ $∠ ABD = ∠ CBD$，相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AD=CD$，
∵ $AC=AD$，$\therefore AC=AD=CD$，$\therefore △ ADC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADC=60°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，$∠ CDB=30°$，$\therefore BD = 2BC$。
∵ $CF// AD$，$\therefore ∠ F + ∠ BAD = 180°$，$\therefore ∠ F=180°-90°=90°$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC=180°$，$\therefore ∠ ABC=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB=90°-60°=30°$，$\therefore BC=2BF$，
∵ $BF=2$，$\therefore BC=2×2=4$，
$\therefore BD=2BC=8$，
∵ BD是圆的直径，$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
(1) DB平分∠ADC得证，$∠ BAD=90°$；
(2) 此圆的半径为$\boxed{4}$
【知识点】
1. 圆周角定理及推论
2. 圆内接四边形的性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合常规题型，将圆的性质与特殊三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导得到特殊角和特殊三角形，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了基础几何计算能力，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证DB平分∠ADC，需证明∠CDB=∠ADB：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CDB，结合已知∠BAC=∠ADB，即可推得两角相等，证明角平分线；求∠BAD的度数时，先由BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，结合三角形内角和可得∠BAD=∠BCD，再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD=90°。
(2) 首先由∠BAD=90°可得BD是圆的直径；再结合角平分线可得弧AD=弧CD，即AD=CD，结合AC=AD可证△ACD是等边三角形，得到∠ADC=60°，进而推出Rt△BCD中BD=2BC；再由CF//AD得∠F=90°，结合圆内接四边形性质求出∠FBC=60°，在Rt△BFC中利用30°角对的直角边是斜边的一半求出BC的长，即可得到直径BD的长度，进而求出半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ BAC=∠ CDB$，
又
∵ $∠ BAC=∠ ADB$，
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADB$，即 DB 平分$∠ ADC$。
∵ BD 平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD = ∠ CBD$，
∵ $△ ABD$与$△ CBD$的内角和均为 $180°$，
$\therefore 180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-∠ CBD-∠ CDB$，即$∠ BAD=∠ BCD$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
$\therefore 2∠ BAD=180°$，解得$∠ BAD = 90°$。
(2) 解：
∵ $∠ BAD = 90°$，90°的圆周角所对的弦是直径，$\therefore BD$是圆的直径。
∵ $∠ ABD = ∠ CBD$，相等的圆周角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AD=CD$，
∵ $AC=AD$，$\therefore AC=AD=CD$，$\therefore △ ADC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADC=60°$，
∵ DB平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，$∠ CDB=30°$，$\therefore BD = 2BC$。
∵ $CF// AD$，$\therefore ∠ F + ∠ BAD = 180°$，$\therefore ∠ F=180°-90°=90°$，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，$\therefore ∠ ADC + ∠ ABC=180°$，$\therefore ∠ ABC=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ FCB=90°-60°=30°$，$\therefore BC=2BF$，
∵ $BF=2$，$\therefore BC=2×2=4$，
$\therefore BD=2BC=8$，
∵ BD是圆的直径，$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
(1) DB平分∠ADC得证，$∠ BAD=90°$；
(2) 此圆的半径为$\boxed{4}$
【知识点】
1. 圆周角定理及推论
2. 圆内接四边形的性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合常规题型，将圆的性质与特殊三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导得到特殊角和特殊三角形，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了基础几何计算能力，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.6
