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一、选择题
1 [2025 巴中]如图,A,B,C 是$\odot O$上的点,BC 是圆的直径,在 BA 的延长线上取一点 D,使 $AD=AC$,连接 CD,则$∠ ACD$的度数为 (
A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
1 [2025 巴中]如图,A,B,C 是$\odot O$上的点,BC 是圆的直径,在 BA 的延长线上取一点 D,使 $AD=AC$,连接 CD,则$∠ ACD$的度数为 (
C
)A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件BC是圆的直径入手，根据圆周角定理的推论得到直径所对的圆周角∠BAC为直角，进而求出其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，判定△ACD为等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
∠BAC=90°，
∵点D在BA的延长线上，
∴∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
又
∵AD=AC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD = $\frac{180°-∠CAD}{2}$ = $\frac{180°-90°}{2}$ = 45°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将圆的性质与等腰三角形的角度计算结合考查，解题的突破口是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，整体逻辑清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件BC是圆的直径入手，根据圆周角定理的推论得到直径所对的圆周角∠BAC为直角，进而求出其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，判定△ACD为等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
∠BAC=90°，
∵点D在BA的延长线上，
∴∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
又
∵AD=AC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD = $\frac{180°-∠CAD}{2}$ = $\frac{180°-90°}{2}$ = 45°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题将圆的性质与等腰三角形的角度计算结合考查，解题的突破口是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，整体逻辑清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$\odot O$中,$OA⊥ BC$,$∠ ADB=30°$,$BC=2\sqrt{3}$,则OC的长为 （
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
B
）A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①看到OA垂直弦BC，首先运用垂径定理得到BC的一半长度；②∠ADB是圆周角，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出对应圆心角的度数；③在垂直构造出的直角三角形中，利用三角函数计算半径OC的长度。
【解析】
设OA与BC交于点E，
∵OA⊥BC，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴CE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$。
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，且OA⊥BC可得弧AB=弧AC，
∴∠AOC = 2∠ADB = 2×30° = 60°。
在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∠COE=60°，CE=$\sqrt{3}$，
∴sin∠COE = $\frac{CE}{OC}$，即sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{OC}$，
代入sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得OC = $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是结合垂径定理和圆周角定理得到直角三角形的边角条件，再解直角三角形得到线段长度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①看到OA垂直弦BC，首先运用垂径定理得到BC的一半长度；②∠ADB是圆周角，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出对应圆心角的度数；③在垂直构造出的直角三角形中，利用三角函数计算半径OC的长度。
【解析】
设OA与BC交于点E，
∵OA⊥BC，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴CE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$。
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，且OA⊥BC可得弧AB=弧AC，
∴∠AOC = 2∠ADB = 2×30° = 60°。
在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∠COE=60°，CE=$\sqrt{3}$，
∴sin∠COE = $\frac{CE}{OC}$，即sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{OC}$，
代入sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得OC = $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是结合垂径定理和圆周角定理得到直角三角形的边角条件，再解直角三角形得到线段长度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
3 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，在$\overset{\frown}{AB}$上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则$∠ BAD + ∠ ABD$的度数为（
A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
C
）A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先利用等腰三角形的性质求出△ABC的底角，或先推导弧AB的度数；第二步结合圆的性质转化待求角的关系。具体来说，我们可以先根据等腰三角形等边对等角、内角和为180°算出∠ACB的度数，再利用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，将∠BAD和∠ABD转化为对应弧的度数关系，即可快速求和；也可以通过圆内接四边形对角互补先求出∠ADB的度数，再结合三角形内角和计算两角之和。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，根据等腰三角形内角和性质：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
方法1：根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
$∠ ACB$所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数为$2×∠ ACB=2×72°=144°$。
$∠ BAD$所对的弧为$\overset{\frown}{BD}$，$∠ ABD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，因此：
$∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BD}\mathrm{的度数}+\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}\mathrm{的度数}=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AB}\mathrm{的度数}=\frac{1}{2}×144°=72°$。
方法2：因为四边形$ACBD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补：
$∠ ADB+∠ ACB=180°$，代入$∠ ACB=72°$得$∠ ADB=180°-72°=108°$。
在$△ ABD$中，内角和为180°，因此$∠ BAD+∠ ABD=180°-∠ ADB=180°-108°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是等腰三角形与圆性质的基础综合题，核心是掌握角与对应弧的转化关系，或利用圆内接四边形的性质搭建角的关联，解题时选择自己熟练的方法即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步先利用等腰三角形的性质求出△ABC的底角，或先推导弧AB的度数；第二步结合圆的性质转化待求角的关系。具体来说，我们可以先根据等腰三角形等边对等角、内角和为180°算出∠ACB的度数，再利用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，将∠BAD和∠ABD转化为对应弧的度数关系，即可快速求和；也可以通过圆内接四边形对角互补先求出∠ADB的度数，再结合三角形内角和计算两角之和。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，根据等腰三角形内角和性质：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
方法1：根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
$∠ ACB$所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数为$2×∠ ACB=2×72°=144°$。
$∠ BAD$所对的弧为$\overset{\frown}{BD}$，$∠ ABD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，因此：
$∠ BAD+∠ ABD=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{BD}\mathrm{的度数}+\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}\mathrm{的度数}=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AB}\mathrm{的度数}=\frac{1}{2}×144°=72°$。
方法2：因为四边形$ACBD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补：
$∠ ADB+∠ ACB=180°$，代入$∠ ACB=72°$得$∠ ADB=180°-72°=108°$。
在$△ ABD$中，内角和为180°，因此$∠ BAD+∠ ABD=180°-∠ ADB=180°-108°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是等腰三角形与圆性质的基础综合题，核心是掌握角与对应弧的转化关系，或利用圆内接四边形的性质搭建角的关联，解题时选择自己熟练的方法即可。
【难度系数】
0.7
4 [2025武汉]如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是（
A.$\dfrac{13}{4}$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.5
A
）A.$\dfrac{13}{4}$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.5
答案
4. A 【解析】如图，过点O作$OE⊥AB$，垂足为F，交$\odot O$于点E，连接OA，AE，则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=3$。$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AE=CD=\sqrt{13}$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=2$。设$\odot O$的半径为R，则$OA=R$，$OF=R-2$。在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理，得$OA^2=OF^2+AF^2$，即$R^2=(R-2)^2+3^2$，解得$R=\frac{13}{4}$。$\therefore \odot O$的半径是$\frac{13}{4}$。
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，已知弧的倍数关系和对应弦长，可按以下思路推导：①利用垂径定理作辅助线平分弧$AB$，将2倍弧的关系转化为等弧关系，进而得到等弦，把已知的$CD$长度转化为圆内另一条弦的长度；②在直角三角形中用勾股定理求出未知线段的长度；③设半径为未知数，结合垂径定理得到的直角三角形列方程求解即可。
【解析】
过点$O$作$OE⊥AB$，垂足为$F$，交$\odot O$于点$E$，连接$OA$，$AE$。
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，
同圆中等弧对等弦，因此$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=OE-EF=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入数据得：$R^2=(R-2)^2+3^2$，
展开化简：$R^2=R^2-4R+4+9$，
移项得$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型综合题，解题关键是通过作垂直于弦的直径，将弧的倍数关系转化为弦长相等的条件，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了转化思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
要求$\odot O$的半径，已知弧的倍数关系和对应弦长，可按以下思路推导：①利用垂径定理作辅助线平分弧$AB$，将2倍弧的关系转化为等弧关系，进而得到等弦，把已知的$CD$长度转化为圆内另一条弦的长度；②在直角三角形中用勾股定理求出未知线段的长度；③设半径为未知数，结合垂径定理得到的直角三角形列方程求解即可。
【解析】
过点$O$作$OE⊥AB$，垂足为$F$，交$\odot O$于点$E$，连接$OA$，$AE$。
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，
同圆中等弧对等弦，因此$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=R$，$OF=OE-EF=R-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入数据得：$R^2=(R-2)^2+3^2$，
展开化简：$R^2=R^2-4R+4+9$，
移项得$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型综合题，解题关键是通过作垂直于弦的直径，将弧的倍数关系转化为弦长相等的条件，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了转化思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题
5 [2025甘孜]如图,点A,B,C在$\odot O$上.若$∠ O=64°$,则$∠ A$的度数为
（第5题）
（第6题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）
5 [2025甘孜]如图,点A,B,C在$\odot O$上.若$∠ O=64°$,则$∠ A$的度数为
$32°$
.（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）答案
5. $32°$
解析
【分析】
首先明确已知角∠O是⊙O中弧BC所对的圆心角，待求的∠A是弧BC所对的圆周角，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此只需用∠O的度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角，∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×64°=32°$。
【答案】
$32°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟记定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先明确已知角∠O是⊙O中弧BC所对的圆心角，待求的∠A是弧BC所对的圆周角，回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此只需用∠O的度数除以2即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是⊙O中弧BC所对的圆心角，∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×64°=32°$。
【答案】
$32°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟记定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6 [2025沭阳段考]如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$BE=1$，$AE=5$，$∠ AEC=30°$，则CD的长为
$4\sqrt{2}$
.答案
6. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
要求弦CD的长度，圆中求弦长优先使用垂径定理，解题思路如下：第一步先计算圆的半径，再通过作圆心到弦CD的垂线，构造直角三角形，结合已知的30°角求出圆心到弦的距离，最后用勾股定理求出弦长的一半，乘以2即可得到CD的总长。
【解析】
过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接OC。
根据垂径定理可知$CF=FD$，即$CD=2CF$。
由题意得，直径$AB=AE+BE=5+1=6$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=3$，
则$OE=OB-BE=3-1=2$。
在$Rt△ OEF$中，$∠ AEC=∠ OEF=30°$，含30°角的直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，因此$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
所以$CD=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要求弦CD的长度，圆中求弦长优先使用垂径定理，解题思路如下：第一步先计算圆的半径，再通过作圆心到弦CD的垂线，构造直角三角形，结合已知的30°角求出圆心到弦的距离，最后用勾股定理求出弦长的一半，乘以2即可得到CD的总长。
【解析】
过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接OC。
根据垂径定理可知$CF=FD$，即$CD=2CF$。
由题意得，直径$AB=AE+BE=5+1=6$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=3$，
则$OE=OB-BE=3-1=2$。
在$Rt△ OEF$中，$∠ AEC=∠ OEF=30°$，含30°角的直角三角形中30°角对的直角边为斜边的一半，因此$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
所以$CD=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的关系转化为直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$.为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
4
台.答案
7. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确监视器的监控角度对应的是圆周角，结合圆周角定理可以推出每台监视器能覆盖的弧对应的圆心角大小；接下来要监控整个圆形展区，本质就是让多台监视器覆盖的圆心角总和至少等于整个圆周的圆心角360°，最后通过计算得到最少需要的监视器数量，注意结果需取满足条件的最小正整数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知每台监视器的监控角度（圆周角）为55°，因此每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设需要安装$n$台这样的监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足：
$110°× n≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆心角性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆周角相关知识的应用，解题的核心是将实际的监控角度转化为数学中的圆周角，再通过圆周角与圆心角的关系转化为圆心角覆盖问题，计算时注意结果要取符合要求的最小正整数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确监视器的监控角度对应的是圆周角，结合圆周角定理可以推出每台监视器能覆盖的弧对应的圆心角大小；接下来要监控整个圆形展区，本质就是让多台监视器覆盖的圆心角总和至少等于整个圆周的圆心角360°，最后通过计算得到最少需要的监视器数量，注意结果需取满足条件的最小正整数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知每台监视器的监控角度（圆周角）为55°，因此每台监视器可监控的弧对应的圆心角为：
$2×55°=110°$
设需要安装$n$台这样的监视器，要覆盖整个圆形展区，需满足：
$110°× n≥360°$
解得$n≥\frac{360}{110}\approx3.27$
由于$n$为正整数，因此$n$的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，圆心角性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆周角相关知识的应用，解题的核心是将实际的监控角度转化为数学中的圆周角，再通过圆周角与圆心角的关系转化为圆心角覆盖问题，计算时注意结果要取符合要求的最小正整数。
【难度系数】
0.7
8 [2025常州]如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB=45°$，$AD=1$，则AB的长为
$\sqrt{2}$
.答案
8. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时可先从已知条件入手：①AB是⊙O的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，因此可连接辅助线BD，得到Rt△ADB；②已知∠DCB=45°，∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB=45°，进而判断出Rt△ADB是等腰直角三角形，最后结合已知AD=1，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠DAB=45°，
∴BD=AD=1，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合圆周角定理得到角的关系，再利用勾股定理计算边长，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时可先从已知条件入手：①AB是⊙O的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，因此可连接辅助线BD，得到Rt△ADB；②已知∠DCB=45°，∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB=45°，进而判断出Rt△ADB是等腰直角三角形，最后结合已知AD=1，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠DAB=45°，
∴BD=AD=1，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合圆周角定理得到角的关系，再利用勾股定理计算边长，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9 如图，$\odot O$的半径是2，直线$l$与$\odot O$相交于A，B两点，M，N是$\odot O$上的两个动点，且在直线$l$的异侧.若$∠ AMB=45°$，则四边形MANB面积的最大值是
$4\sqrt{2}$
.答案
9. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据圆周角定理，由已知圆周角∠AMB=45°求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，结合圆的半径算出定弦AB的长度；其次将四边形MANB的面积拆分为△MAB和△NAB的面积之和，两个三角形共底AB，因此面积最大值等价于M、N两点到直线AB的距离之和的最大值；最后根据圆的性质，当MN为垂直于AB的直径时，两点到AB的距离之和最大，代入面积公式即可求解。
【解析】
1. 连接OA、OB，
∵∠AMB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ AMB=2×45°=90°$。
2. 在$Rt△ AOB$中，$OA=OB=2$，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 四边形MANB的面积$S=S_{△ MAB}+S_{△ NAB}=\frac{1}{2}× AB× h_1+\frac{1}{2}× AB× h_2=\frac{1}{2}× AB×(h_1+h_2)$，其中$h_1$是M到直线AB的距离，$h_2$是N到直线AB的距离。
4. 要使S最大，需$h_1+h_2$最大，当MN为垂直于AB的直径时，$h_1+h_2$取得最大值，等于直径长度4。
5. 代入得S的最大值为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；三角形面积公式；圆的最值问题
【点评】
本题解题核心是运用转化思想，将四边形面积最值转化为两点到直线的距离和的最值问题，结合圆的性质快速定位最值对应的位置，对综合运用几何性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据圆周角定理，由已知圆周角∠AMB=45°求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，结合圆的半径算出定弦AB的长度；其次将四边形MANB的面积拆分为△MAB和△NAB的面积之和，两个三角形共底AB，因此面积最大值等价于M、N两点到直线AB的距离之和的最大值；最后根据圆的性质，当MN为垂直于AB的直径时，两点到AB的距离之和最大，代入面积公式即可求解。
【解析】
1. 连接OA、OB，
∵∠AMB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ AMB=2×45°=90°$。
2. 在$Rt△ AOB$中，$OA=OB=2$，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 四边形MANB的面积$S=S_{△ MAB}+S_{△ NAB}=\frac{1}{2}× AB× h_1+\frac{1}{2}× AB× h_2=\frac{1}{2}× AB×(h_1+h_2)$，其中$h_1$是M到直线AB的距离，$h_2$是N到直线AB的距离。
4. 要使S最大，需$h_1+h_2$最大，当MN为垂直于AB的直径时，$h_1+h_2$取得最大值，等于直径长度4。
5. 代入得S的最大值为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；三角形面积公式；圆的最值问题
【点评】
本题解题核心是运用转化思想，将四边形面积最值转化为两点到直线的距离和的最值问题，结合圆的性质快速定位最值对应的位置，对综合运用几何性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
