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6 [2024 牡丹江]某校八年级(3)班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
6. A
解析
【分析】
本题为等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确所有等可能的选法总数，可通过枚举或列表的方法列出从4名同学中任选2人的所有组合，确保不重不漏；再找到甲、乙两名同学同时被选中的结果数；最后根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$计算即可得到结果。
【解析】
我们先列举出从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选2名的所有等可能结果：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共6种。
其中甲、乙两名同学同时被选中的结果只有1种。
根据概率公式可得，甲、乙同时被选中的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是准确列举出所有等可能的结果，避免漏算或重复计算，熟练掌握概率公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
本题为等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确所有等可能的选法总数，可通过枚举或列表的方法列出从4名同学中任选2人的所有组合，确保不重不漏；再找到甲、乙两名同学同时被选中的结果数；最后根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果总数}$计算即可得到结果。
【解析】
我们先列举出从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选2名的所有等可能结果：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共6种。
其中甲、乙两名同学同时被选中的结果只有1种。
根据概率公式可得，甲、乙同时被选中的概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是准确列举出所有等可能的结果，避免漏算或重复计算，熟练掌握概率公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
7[2025东营]一个不透明的盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同。两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道两步有放回试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确试验为有放回抽取，两次抽取相互独立，所有结果是等可能的；第二步计算所有等可能的总结果数，因为每次抽取都有4种选择，可用分步计数的方法得到总结果数；第三步统计两人抽到图案相同的符合条件的结果数；最后代入概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算即可。解题时要注意区分“有放回”和“不放回”抽取的差异，避免总结果数计算错误。
【解析】
将四张印有不同图案的卡片分别记为A、B、C、D。
由于抽取后放回，因此第一名同学抽取卡片有4种等可能的结果，第二名同学抽取时仍有4种等可能的结果，故两次抽取的总等可能结果数为$4×4=16$种。
两人抽到卡片图案相同的情况有：$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$、$(D,D)$，共4种。
根据等可能事件的概率公式，可得两人抽到卡片图案相同的概率为：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，有放回抽样概率，两步试验概率
【点评】
本题考查基础的概率计算，解题核心是准确判断抽取类型，正确统计总结果数和符合要求的结果数，做题时要注意审题，不要混淆有放回和不放回的抽取规则。
【难度系数】
0.8
这是一道两步有放回试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确试验为有放回抽取，两次抽取相互独立，所有结果是等可能的；第二步计算所有等可能的总结果数，因为每次抽取都有4种选择，可用分步计数的方法得到总结果数；第三步统计两人抽到图案相同的符合条件的结果数；最后代入概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算即可。解题时要注意区分“有放回”和“不放回”抽取的差异，避免总结果数计算错误。
【解析】
将四张印有不同图案的卡片分别记为A、B、C、D。
由于抽取后放回，因此第一名同学抽取卡片有4种等可能的结果，第二名同学抽取时仍有4种等可能的结果，故两次抽取的总等可能结果数为$4×4=16$种。
两人抽到卡片图案相同的情况有：$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$、$(D,D)$，共4种。
根据等可能事件的概率公式，可得两人抽到卡片图案相同的概率为：
$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率，有放回抽样概率，两步试验概率
【点评】
本题考查基础的概率计算，解题核心是准确判断抽取类型，正确统计总结果数和符合要求的结果数，做题时要注意审题，不要混淆有放回和不放回的抽取规则。
【难度系数】
0.8
8 在四边形ABCD中,有下列四个条件:① $AB// CD$;② $AD// BC$;③ $AB=CD$;④ $AD=BC$.在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为
$\frac{2}{3}$
.答案
8. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步先计算从4个条件中任选2个的所有等可能情况总数；第二步结合平行四边形的判定定理，筛选出能判定四边形ABCD是平行四边形的组合数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。需要注意的是，“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，不能直接判定为平行四边形，避免判断出错。
【解析】
首先列举从4个条件中任选2个的所有等可能组合，共6种：
①②、①③、①④、②③、②④、③④
接下来逐一判断各组合能否判定平行四边形：
1. 选①②：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合要求；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
3. 选①④：$AB// CD$且$AD=BC$，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合；
4. 选②③：$AD// BC$且$AB=CD$，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
6. 选③④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合要求。
综上，符合条件的组合共4种，因此能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；列举法求概率
【点评】
本题将概率计算与平行四边形的判定相结合，既考查了概率的基本计算方法，又要求熟练掌握平行四边形的判定定理，解题的易错点是误将“一组对边平行、另一组对边相等”作为平行四边形的判定依据，需要特别注意这类特殊反例的记忆。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需分三步思考：第一步先计算从4个条件中任选2个的所有等可能情况总数；第二步结合平行四边形的判定定理，筛选出能判定四边形ABCD是平行四边形的组合数；最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果。需要注意的是，“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，不能直接判定为平行四边形，避免判断出错。
【解析】
首先列举从4个条件中任选2个的所有等可能组合，共6种：
①②、①③、①④、②③、②④、③④
接下来逐一判断各组合能否判定平行四边形：
1. 选①②：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合要求；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
3. 选①④：$AB// CD$且$AD=BC$，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合；
4. 选②③：$AD// BC$且$AB=CD$，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合要求；
6. 选③④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合要求。
综上，符合条件的组合共4种，因此能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；列举法求概率
【点评】
本题将概率计算与平行四边形的判定相结合，既考查了概率的基本计算方法，又要求熟练掌握平行四边形的判定定理，解题的易错点是误将“一组对边平行、另一组对边相等”作为平行四边形的判定依据，需要特别注意这类特殊反例的记忆。
【难度系数】
0.7
9 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子的点数之和为7的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
9. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道两次试验下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确抛掷两枚质地均匀的骰子属于等可能试验，先计算所有等可能的总结果数：每枚骰子有6种点数，两枚骰子的结果互不影响，因此总共有6×6=36种等可能结果；接下来有序列举出“两枚骰子点数之和为7”的所有符合条件的结果；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可求出概率。
【解析】
解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，通过列表法可统计出所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
其中两枚骰子点数之和为7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{点数之和为}7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率、概率计算公式
【点评】
本题是等可能事件概率计算的基础题型，核心是掌握通过列举或列表梳理所有等可能结果的方法，计算时要注意有序列举，避免漏算或重复计数符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
这是一道两次试验下的概率计算问题，解题思路如下：首先明确抛掷两枚质地均匀的骰子属于等可能试验，先计算所有等可能的总结果数：每枚骰子有6种点数，两枚骰子的结果互不影响，因此总共有6×6=36种等可能结果；接下来有序列举出“两枚骰子点数之和为7”的所有符合条件的结果；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可求出概率。
【解析】
解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，通过列表法可统计出所有等可能的结果共有$6×6=36$种。
其中两枚骰子点数之和为7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{点数之和为}7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率、概率计算公式
【点评】
本题是等可能事件概率计算的基础题型，核心是掌握通过列举或列表梳理所有等可能结果的方法，计算时要注意有序列举，避免漏算或重复计数符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
10 新情境 地域特色 [2025长春]长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名.如图，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A，B，C三个出口中随机选择一个出口驶出.用列表法求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率.
答案
10. 列表如下：
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表,可知甲、乙两辆车从三个出口中随机选择一个出口驶出共有9种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种：(A,A),(B,B),(C,C),$\therefore P$(甲、乙两辆车从同一出口驶出)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表,可知甲、乙两辆车从三个出口中随机选择一个出口驶出共有9种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种：(A,A),(B,B),(C,C),$\therefore P$(甲、乙两辆车从同一出口驶出)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是两步随机试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两车选择出口为相互独立的事件，每辆车都有A、B、C共3种等可能的选择；接着用列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果；再从中找出两车从同一出口驶出的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先列表列举所有可能的结果：
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，甲、乙两辆车随机选择出口驶出共有9种等可能的结果，其中两车从同一出口驶出的结果有3种，分别为(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{甲、乙两辆车从同一出口驶出})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题结合城市交通的实际场景，考查两步试验的概率求解，解题核心是正确列举所有等可能结果，准确匹配符合条件的情况后代入公式计算，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
本题是两步随机试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两车选择出口为相互独立的事件，每辆车都有A、B、C共3种等可能的选择；接着用列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果；再从中找出两车从同一出口驶出的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先列表列举所有可能的结果：
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表格可知，甲、乙两辆车随机选择出口驶出共有9种等可能的结果，其中两车从同一出口驶出的结果有3种，分别为(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{甲、乙两辆车从同一出口驶出})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题结合城市交通的实际场景，考查两步试验的概率求解，解题核心是正确列举所有等可能结果，准确匹配符合条件的情况后代入公式计算，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
11 [2024宿迁模拟]在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1,2,3.现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标.
（1）写出点M的坐标的所有可能的结果（用列表法）；
（2）求点M在直线$y=x$上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
（1）写出点M的坐标的所有可能的结果（用列表法）；
（2）求点M在直线$y=x$上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
答案
11. (1) 点M的坐标的所有结果列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
(2) 由(1)中表格,可知共有9种等可能的结果,其中点M在直线$y=x$上,即点M的横、纵坐标相等的结果有3种,$\therefore P$(点M在直线$y=x$上)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
(3) 点M的横坐标与纵坐标之和的所有结果列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格,可得共有9种等可能的结果,其中点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的结果有5种,$\therefore P$(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)$=\frac{5}{9}$
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
(2) 由(1)中表格,可知共有9种等可能的结果,其中点M在直线$y=x$上,即点M的横、纵坐标相等的结果有3种,$\therefore P$(点M在直线$y=x$上)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
(3) 点M的横坐标与纵坐标之和的所有结果列表如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格,可得共有9种等可能的结果,其中点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的结果有5种,$\therefore P$(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)$=\frac{5}{9}$
解析
【分析】
本题是有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，所有结果出现的可能性相等。解题思路如下：(1)用行表示第一次摸出的横坐标，列表示第二次摸出的纵坐标，列出所有组合即可得到点M坐标的全部可能；(2)明确直线y=x上的点满足横、纵坐标相等的特征，从第一问的列表中数出符合该特征的结果数，再根据概率公式计算概率；(3)先计算所有点的横纵坐标之和，找出和为偶数的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 根据题意，列表展示点M坐标的所有可能结果如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
(2) 由(1)中表格可知共有9种等可能的结果，其中点M在直线$y=x$上，即横、纵坐标相等的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种，
$\therefore P$(点M在直线$y=x$上)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(3) 列表计算所有点的横、纵坐标之和如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可得共有9种等可能的结果，其中横坐标与纵坐标之和是偶数的结果有5种，
$\therefore P$(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)$=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) 点M坐标的所有可能结果为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)（列表见解析）；
(2) $\frac{1}{3}$；
(3) $\frac{5}{9}$。
【知识点】
列表法求概率、概率计算公式、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，重点考查用列表法梳理有放回试验的所有等可能结果，解题核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数，熟练掌握列表法可有效避免漏算、错算结果。
【难度系数】
0.7
本题是有放回的两次摸球试验，两次摸球结果相互独立，所有结果出现的可能性相等。解题思路如下：(1)用行表示第一次摸出的横坐标，列表示第二次摸出的纵坐标，列出所有组合即可得到点M坐标的全部可能；(2)明确直线y=x上的点满足横、纵坐标相等的特征，从第一问的列表中数出符合该特征的结果数，再根据概率公式计算概率；(3)先计算所有点的横纵坐标之和，找出和为偶数的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 根据题意，列表展示点M坐标的所有可能结果如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
(2) 由(1)中表格可知共有9种等可能的结果，其中点M在直线$y=x$上，即横、纵坐标相等的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种，
$\therefore P$(点M在直线$y=x$上)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(3) 列表计算所有点的横、纵坐标之和如下：
| 横坐标\纵坐标 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
由表格可得共有9种等可能的结果，其中横坐标与纵坐标之和是偶数的结果有5种，
$\therefore P$(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)$=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) 点M坐标的所有可能结果为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)（列表见解析）；
(2) $\frac{1}{3}$；
(3) $\frac{5}{9}$。
【知识点】
列表法求概率、概率计算公式、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，重点考查用列表法梳理有放回试验的所有等可能结果，解题核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数，熟练掌握列表法可有效避免漏算、错算结果。
【难度系数】
0.7
