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1 一元二次方程$3x(x - 5) = 5(5 - x)$的根是 （
A.$x_1 = x_2 = -\frac{5}{3}$
B.$x_1 = x_2 = 5$
C.$x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = 5$
D.$x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = 5$
D
）A.$x_1 = x_2 = -\frac{5}{3}$
B.$x_1 = x_2 = 5$
C.$x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = 5$
D.$x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = 5$
答案
1. D
解析
【分析】
观察方程结构可知，左右两边都含有与(x-5)相关的项，其中(5-x)可变形为-(x-5)，因此适合采用因式分解法求解。注意不能直接在方程两边同时除以(x-5)，否则会漏掉x=5这个根。解题时先移项，再变形提取公因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程$3x(x - 5) = 5(5 - x)$按以下步骤求解：
1. 移项，得：$3x(x - 5) - 5(5 - x) = 0$
2. 变形：将$5-x=-(x-5)$代入上式，可得$3x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$
3. 提取公因式：提取公因式$(x-5)$，得$(x - 5)(3x + 5) = 0$
4. 转化为一元一次方程求解：根据乘积为0的性质，得$x - 5 = 0$或$3x + 5 = 0$
解$x - 5 = 0$，得$x_1=5$；
解$3x + 5 = 0$，得$x_2=-\frac{5}{3}$。
因此方程的根为$x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = 5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法，解题核心是观察方程结构选择简便的因式分解方法，要注意避免直接除以含未知数的整式导致漏根的错误，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可知，左右两边都含有与(x-5)相关的项，其中(5-x)可变形为-(x-5)，因此适合采用因式分解法求解。注意不能直接在方程两边同时除以(x-5)，否则会漏掉x=5这个根。解题时先移项，再变形提取公因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程$3x(x - 5) = 5(5 - x)$按以下步骤求解：
1. 移项，得：$3x(x - 5) - 5(5 - x) = 0$
2. 变形：将$5-x=-(x-5)$代入上式，可得$3x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$
3. 提取公因式：提取公因式$(x-5)$，得$(x - 5)(3x + 5) = 0$
4. 转化为一元一次方程求解：根据乘积为0的性质，得$x - 5 = 0$或$3x + 5 = 0$
解$x - 5 = 0$，得$x_1=5$；
解$3x + 5 = 0$，得$x_2=-\frac{5}{3}$。
因此方程的根为$x_1 = -\frac{5}{3}, x_2 = 5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法，解题核心是观察方程结构选择简便的因式分解方法，要注意避免直接除以含未知数的整式导致漏根的错误，熟练掌握因式分解法的解题步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2 方程$x^2 - 2x -24=0$的根是 （
A.$x_1=6,x_2=4$
B.$x_1=6,x_2=-4$
C.$x_1=-6,x_2=4$
D.$x_1=-6,x_2=-4$
B
）A.$x_1=6,x_2=4$
B.$x_1=6,x_2=-4$
C.$x_1=-6,x_2=4$
D.$x_1=-6,x_2=-4$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，对应因式分解法的考点，解题可优先选择十字相乘法对二次三项式因式分解：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，找到两个数满足乘积为$c$、和为$b$，即可将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可求出方程的根；也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对方程左边的二次三项式因式分解，需找两个数，乘积为$-24$，和为$-2$，可得这两个数为$-6$和$4$，因此：
$x^2-2x-24=(x-6)(x+4)$
原方程可化为：$(x-6)(x+4)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-6=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$，故选B。
解法2（代入验证法）：
将各选项的根代入方程$x^2-2x-24=0$验证：
A选项：$x=4$时，左边$=16-8-24=-16≠0$，排除；
B选项：$x=6$时，左边$=36-12-24=0$，$x=-4$时，左边$=16+8-24=0$，均满足方程，符合要求；
C选项：$x=-6$时，左边$=36+12-24=24≠0$，排除；
D选项：$x=-6$、$x=-2$代入均不满足方程，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，用十字相乘法因式分解可快速求解，也可通过代入选项的方法快速排除错误答案，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，对应因式分解法的考点，解题可优先选择十字相乘法对二次三项式因式分解：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，找到两个数满足乘积为$c$、和为$b$，即可将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可求出方程的根；也可通过代入选项验证的方法快速得到答案。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对方程左边的二次三项式因式分解，需找两个数，乘积为$-24$，和为$-2$，可得这两个数为$-6$和$4$，因此：
$x^2-2x-24=(x-6)(x+4)$
原方程可化为：$(x-6)(x+4)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-6=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$，故选B。
解法2（代入验证法）：
将各选项的根代入方程$x^2-2x-24=0$验证：
A选项：$x=4$时，左边$=16-8-24=-16≠0$，排除；
B选项：$x=6$时，左边$=36-12-24=0$，$x=-4$时，左边$=16+8-24=0$，均满足方程，符合要求；
C选项：$x=-6$时，左边$=36+12-24=24≠0$，排除；
D选项：$x=-6$、$x=-2$代入均不满足方程，排除。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，用十字相乘法因式分解可快速求解，也可通过代入选项的方法快速排除错误答案，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3（1）一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是
（2）[2024 滨州]方程$x^2 -4x=0$的根为
$x_1=2,x_2=-7$
；（2）[2024 滨州]方程$x^2 -4x=0$的根为
$x_1=0,x_2=4$
。答案
3. (1) $x_1=2,x_2=-7$ (2) $x_1=0,x_2=4$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。第(1)题方程已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接分别令每个因式等于0，解一元一次方程即可得到根；第(2)题先通过提公因式法把方程左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0求解即可。
【解析】
(1) 已知$(x-2)(x+7)=0$，根据零乘积性质可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x=2$；当$x+7=0$时，解得$x=-7$。
(2) 对$x^2-4x=0$左边提公因式$x$，因式分解得：
$x(x-4)=0$
根据零乘积性质可得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，解得$x=0$；当$x-4=0$时，解得$x=4$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-7$；(2) $x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式因式分解，零乘积性质
【点评】
这两道题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法解方程的基本步骤，熟练掌握因式分解的方法和零乘积性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。第(1)题方程已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接分别令每个因式等于0，解一元一次方程即可得到根；第(2)题先通过提公因式法把方程左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0求解即可。
【解析】
(1) 已知$(x-2)(x+7)=0$，根据零乘积性质可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x=2$；当$x+7=0$时，解得$x=-7$。
(2) 对$x^2-4x=0$左边提公因式$x$，因式分解得：
$x(x-4)=0$
根据零乘积性质可得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，解得$x=0$；当$x-4=0$时，解得$x=4$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-7$；(2) $x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式因式分解，零乘积性质
【点评】
这两道题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法解方程的基本步骤，熟练掌握因式分解的方法和零乘积性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4 一元二次方程 $x^2 + 3 - 2\sqrt{3}x = 0$ 的根是
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
.答案
4. $x_1=x_2=\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先将给定的一元二次方程整理为一般形式，观察左边多项式的结构特征：首项是x的平方，常数项3可写成$(\sqrt{3})^2$，一次项是$-2\sqrt{3}x$，刚好符合完全平方差公式的结构，因此可以用因式分解法中的完全平方公式对左边进行分解，进而求解方程的根。
【解析】
解：先将原方程整理为标准形式：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对左边因式分解得：
$(x - \sqrt{3})^2 = 0$
开方得：$x - \sqrt{3} = 0$
解得：$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别完全平方式，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.85
首先将给定的一元二次方程整理为一般形式，观察左边多项式的结构特征：首项是x的平方，常数项3可写成$(\sqrt{3})^2$，一次项是$-2\sqrt{3}x$，刚好符合完全平方差公式的结构，因此可以用因式分解法中的完全平方公式对左边进行分解，进而求解方程的根。
【解析】
解：先将原方程整理为标准形式：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对左边因式分解得：
$(x - \sqrt{3})^2 = 0$
开方得：$x - \sqrt{3} = 0$
解得：$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别完全平方式，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.85
5 若关于$x$的方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的一个解是$x=-2$，则$k$的值为
0或4
。答案
5. 0或4
解析
【分析】
根据一元二次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此可将已知解$x=-2$代入原方程，得到只含有未知数$k$的一元二次方程，再求解该方程即可得到$k$的值，求解时注意不要漏解。
【解析】
解：$\because x=-2$是方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的解，
$\therefore$将$x=-2$代入方程，得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简得：$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项整理得：$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：$k(k - 4) = 0$
$\therefore k=0$或$k-4=0$，
解得$k=0$或$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
一元二次方程的解的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的含义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，求解一元二次方程时注意检查是否有漏解的情况。
【难度系数】
0.8
根据一元二次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此可将已知解$x=-2$代入原方程，得到只含有未知数$k$的一元二次方程，再求解该方程即可得到$k$的值，求解时注意不要漏解。
【解析】
解：$\because x=-2$是方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的解，
$\therefore$将$x=-2$代入方程，得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简得：$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项整理得：$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：$k(k - 4) = 0$
$\therefore k=0$或$k-4=0$，
解得$k=0$或$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
一元二次方程的解的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的含义将已知根代入原方程，转化为关于参数的方程求解，求解一元二次方程时注意检查是否有漏解的情况。
【难度系数】
0.8
6 教材变式题 用因式分解法解下列方程：
(1) $-4x^2 + \sqrt{5}x = 0$；
(2) $36x^2 + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
(3) $[2025 泗阳期中]x(x - 3) = 3 - x$；
(4) 一题多解 $(3y + 2)^2 - 4y^2 = 0$。
(1) $-4x^2 + \sqrt{5}x = 0$；
(2) $36x^2 + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
(3) $[2025 泗阳期中]x(x - 3) = 3 - x$；
(4) 一题多解 $(3y + 2)^2 - 4y^2 = 0$。
答案
6. (1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$ (2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$ (3) $x_1=3,x_2=-1$
(4) 解法一(因式分解法):原方程可变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$,即$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0, \therefore 3y+2-2y=0$或$3y+2+2y=0$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解法二(直接开平方法):移项,得$(3y+2)^2=4y^2$,直接开平方,得$3y+2=\pm2y$,即$3y+2=2y$或$3y+2=-2y$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
(4) 解法一(因式分解法):原方程可变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$,即$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0, \therefore 3y+2-2y=0$或$3y+2+2y=0$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解法二(直接开平方法):移项,得$(3y+2)^2=4y^2$,直接开平方,得$3y+2=\pm2y$,即$3y+2=2y$或$3y+2=-2y$,$\therefore y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”降次求解。各小题思路如下：
(1) 方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2) 方程左边符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式分解；
(3) 先将右边的3-x移到左边，变形后提取公因式(x-3)分解；
(4) 方法一：左边符合平方差公式特征，用平方差公式因式分解求解；方法二：移项后左右两边都是完全平方式，可直接开平方降次求解。
【解析】
(1) 提取公因式x，得：$x(-4x+\sqrt{5})=0$
∴ $x=0$ 或 $-4x+\sqrt{5}=0$
解$-4x+\sqrt{5}=0$，得 $x=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) 方程左边用完全平方公式分解，得：$(6x+\frac{1}{2})^2=0$
∴ $6x+\frac{1}{2}=0$
解得 $x=-\frac{1}{12}$，即方程有两个相等的实数根
(3) 移项，得：$x(x-3)+(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$，得：$(x-3)(x+1)=0$
∴ $x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$
(4) 解法一（因式分解法）：
原方程变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$
用平方差公式分解，得：$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$
化简得：$(y+2)(5y+2)=0$
∴ $y+2=0$ 或 $5y+2=0$
解得 $y_1=-2$，$y_2=-\frac{2}{5}$
解法二（直接开平方法）：
移项，得：$(3y+2)^2=4y^2$
直接开平方，得：$3y+2=\pm2y$
分两种情况：
① $3y+2=2y$，解得 $y=-2$
② $3y+2=-2y$，解得 $y=-\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
(4) $y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本组题是一元二次方程解法的基础训练，需根据方程的结构特征灵活选择因式分解的方法，将二次方程降次为一次方程是解题的核心，第(4)题的多解训练有助于拓宽解题思路，提升灵活解题的能力。
【难度系数】
0.8
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”降次求解。各小题思路如下：
(1) 方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2) 方程左边符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式分解；
(3) 先将右边的3-x移到左边，变形后提取公因式(x-3)分解；
(4) 方法一：左边符合平方差公式特征，用平方差公式因式分解求解；方法二：移项后左右两边都是完全平方式，可直接开平方降次求解。
【解析】
(1) 提取公因式x，得：$x(-4x+\sqrt{5})=0$
∴ $x=0$ 或 $-4x+\sqrt{5}=0$
解$-4x+\sqrt{5}=0$，得 $x=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) 方程左边用完全平方公式分解，得：$(6x+\frac{1}{2})^2=0$
∴ $6x+\frac{1}{2}=0$
解得 $x=-\frac{1}{12}$，即方程有两个相等的实数根
(3) 移项，得：$x(x-3)+(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$，得：$(x-3)(x+1)=0$
∴ $x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-1$
(4) 解法一（因式分解法）：
原方程变形为$(3y+2)^2-(2y)^2=0$
用平方差公式分解，得：$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$
化简得：$(y+2)(5y+2)=0$
∴ $y+2=0$ 或 $5y+2=0$
解得 $y_1=-2$，$y_2=-\frac{2}{5}$
解法二（直接开平方法）：
移项，得：$(3y+2)^2=4y^2$
直接开平方，得：$3y+2=\pm2y$
分两种情况：
① $3y+2=2y$，解得 $y=-2$
② $3y+2=-2y$，解得 $y=-\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=\frac{\sqrt{5}}{4}$
(2) $x_1=x_2=-\frac{1}{12}$
(3) $x_1=3,x_2=-1$
(4) $y_1=-2,y_2=-\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
本组题是一元二次方程解法的基础训练，需根据方程的结构特征灵活选择因式分解的方法，将二次方程降次为一次方程是解题的核心，第(4)题的多解训练有助于拓宽解题思路，提升灵活解题的能力。
【难度系数】
0.8
7 已知关于$x$的一元二次方程$(k-6)x^2 +6x +k^2 -6k=0$的一个根是$x=0$，则$k$的值是（
A.6
B.0
C.6或0
D.$-6$或0
B
）A.6
B.0
C.6或0
D.$-6$或0
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先利用方程根的性质：方程的根代入方程可使等式成立，将x=0代入原方程得到关于k的方程，解出k的可能取值；再结合一元二次方程的定义：一元二次方程的二次项系数不能为0，排除不符合条件的k值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将根x=0代入原方程，得：
$(k-6)×0^2 + 6×0 + k^2 -6k=0$
化简得：$k^2-6k=0$
因式分解得：$k(k-6)=0$
解得：$k=0$或$k=6$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即$k-6≠0$，得$k≠6$
第三步：舍去不符合条件的$k=6$，故$k=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接代入求出k的两个值就选择C，解题时要注意题目中“一元二次方程”的限定条件，全面考虑所有约束。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用方程根的性质：方程的根代入方程可使等式成立，将x=0代入原方程得到关于k的方程，解出k的可能取值；再结合一元二次方程的定义：一元二次方程的二次项系数不能为0，排除不符合条件的k值，即可得到正确结果。
【解析】
第一步：将根x=0代入原方程，得：
$(k-6)×0^2 + 6×0 + k^2 -6k=0$
化简得：$k^2-6k=0$
因式分解得：$k(k-6)=0$
解得：$k=0$或$k=6$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即$k-6≠0$，得$k≠6$
第三步：舍去不符合条件的$k=6$，故$k=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接代入求出k的两个值就选择C，解题时要注意题目中“一元二次方程”的限定条件，全面考虑所有约束。
【难度系数】
0.7
8 已知一元二次方程$x^2 -14x +48=0$的两个根是菱形的两条对角线的长，则这个菱形的面积为（
A.12
B.20
C.24
D.48
C
）A.12
B.20
C.24
D.48
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题可按思路逐步推导：首先回忆菱形面积公式，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此只要得到方程两个根（即两条对角线长）的乘积，就能求出面积；其次可结合本节课所学的因式分解法直接解出方程的两个根，代入公式计算即可，也可利用根与系数的关系快速求得两根之积简化计算。
【解析】
解法1（因式分解法）：
解一元二次方程$x^2 -14x +48=0$，
对等式左侧因式分解可得：$(x-6)(x-8)=0$，
则$x-6=0$或$x-8=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形的两条对角线长分别为6和8。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线长\_\_\_\_\_\_1×对角线长\_\_\_\_\_\_2$，
代入数据得：$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、菱形面积计算、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程解法与几何图形性质结合的基础题，既可以通过直接解方程得到对角线长度计算面积，也可以利用根与系数的关系快速求解，侧重考查对基础公式、定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按思路逐步推导：首先回忆菱形面积公式，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，因此只要得到方程两个根（即两条对角线长）的乘积，就能求出面积；其次可结合本节课所学的因式分解法直接解出方程的两个根，代入公式计算即可，也可利用根与系数的关系快速求得两根之积简化计算。
【解析】
解法1（因式分解法）：
解一元二次方程$x^2 -14x +48=0$，
对等式左侧因式分解可得：$(x-6)(x-8)=0$，
则$x-6=0$或$x-8=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形的两条对角线长分别为6和8。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线长\_\_\_\_\_\_1×对角线长\_\_\_\_\_\_2$，
代入数据得：$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、菱形面积计算、一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程解法与几何图形性质结合的基础题，既可以通过直接解方程得到对角线长度计算面积，也可以利用根与系数的关系快速求解，侧重考查对基础公式、定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
9 [2024 赤峰]若等腰三角形的两边长分别是方程$x^2 -10x +21=0$的两个根，则这个三角形的周长为
17
。答案
9. 17
解析
【分析】
解题可分三步展开：第一步先求解一元二次方程得到两个根，确定等腰三角形两边的可能长度；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质分类讨论，分别假设两种根为腰长，得到对应的三边组合；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种组合是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -10x +21=0$，用因式分解法对左边因式分解：
$(x-3)(x-7)=0$
可得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两边长为3和7。
接下来分情况讨论：
1. 若腰长为3，底边长为7，则三角形三边长为3、3、7。
此时$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，舍去该情况。
2. 若腰长为7，底边长为3，则三角形三边长为7、7、3。
此时$7+3＞7$，$7+7＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
该三角形的周长为$7+7+3=17$。
【答案】
17
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需要注意在分类讨论等腰三角形边长的基础上，必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略验证步骤得到错误结果。
【难度系数】
0.7
解题可分三步展开：第一步先求解一元二次方程得到两个根，确定等腰三角形两边的可能长度；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质分类讨论，分别假设两种根为腰长，得到对应的三边组合；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种组合是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -10x +21=0$，用因式分解法对左边因式分解：
$(x-3)(x-7)=0$
可得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=7$，即等腰三角形的两边长为3和7。
接下来分情况讨论：
1. 若腰长为3，底边长为7，则三角形三边长为3、3、7。
此时$3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，舍去该情况。
2. 若腰长为7，底边长为3，则三角形三边长为7、7、3。
此时$7+3＞7$，$7+7＞3$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
该三角形的周长为$7+7+3=17$。
【答案】
17
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需要注意在分类讨论等腰三角形边长的基础上，必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略验证步骤得到错误结果。
【难度系数】
0.7
