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10 [2025泗阳段考]对于实数$a,b$,定义运算“◎”如下:$a◎b=(a+b)^2-(a-b)^2$,如$1◎2=(1+2)^2-(1-2)^2=8$.若$(m+2)◎(m-3)=24$,则$m=$
-3或4
.答案
10. $-3$或$4$
【解析】根据题意,得$[(m+2)+(m-3)]^2-[(m+2)-(m-3)]^2=24$,整理,得$(2m-1)^2-49=0, \therefore (2m-1+7)·(2m-1-7)=0, \therefore 2m-1+7=0$或$2m-1-7=0, \therefore m_1=-3, m_2=4.$
【解析】根据题意,得$[(m+2)+(m-3)]^2-[(m+2)-(m-3)]^2=24$,整理,得$(2m-1)^2-49=0, \therefore (2m-1+7)·(2m-1-7)=0, \therefore 2m-1+7=0$或$2m-1-7=0, \therefore m_1=-3, m_2=4.$
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解新运算“◎”的运算规则，先确定本次运算中对应规则里的a为(m+2)、b为(m-3)，将二者代入新运算公式得到关于m的方程，再通过整式化简把方程整理为可因式分解的形式，最后用因式分解法求解方程即可得到m的取值。
【解析】
根据新运算的定义，将a=m+2，b=m-3代入$a◎b=(a+b)^2-(a-b)^2$，可得：
$[(m+2)+(m-3)]^2-[(m+2)-(m-3)]^2=24$
化简括号内的整式：
$(2m-1)^2-5^2=24$
整理得：
$(2m-1)^2-49=0$
利用平方差公式因式分解：
$(2m-1+7)(2m-1-7)=0$
即$2m+6=0$或$2m-8=0$，分别求解：
当$2m+6=0$时，$m=-3$；
当$2m-8=0$时，$m=4$。
【答案】
$-3$或$4$
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、整式化简
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题核心是正确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算和方程求解问题，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解新运算“◎”的运算规则，先确定本次运算中对应规则里的a为(m+2)、b为(m-3)，将二者代入新运算公式得到关于m的方程，再通过整式化简把方程整理为可因式分解的形式，最后用因式分解法求解方程即可得到m的取值。
【解析】
根据新运算的定义，将a=m+2，b=m-3代入$a◎b=(a+b)^2-(a-b)^2$，可得：
$[(m+2)+(m-3)]^2-[(m+2)-(m-3)]^2=24$
化简括号内的整式：
$(2m-1)^2-5^2=24$
整理得：
$(2m-1)^2-49=0$
利用平方差公式因式分解：
$(2m-1+7)(2m-1-7)=0$
即$2m+6=0$或$2m-8=0$，分别求解：
当$2m+6=0$时，$m=-3$；
当$2m-8=0$时，$m=4$。
【答案】
$-3$或$4$
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、整式化简
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题核心是正确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的整式运算和方程求解问题，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
11 用因式分解法解下列方程：
(1) $[2024$ 宿城模拟$](2y - 5)^2 = 4(3y - 1)^2$；
(2) $-x^2 - 5 = 2\sqrt{5}x$；
(3) $2(8 - x)^2 = x^2 - 64$；
(4) $(y - 1)^2 - 6(1 - y) + 9 = 0$。
(1) $[2024$ 宿城模拟$](2y - 5)^2 = 4(3y - 1)^2$；
(2) $-x^2 - 5 = 2\sqrt{5}x$；
(3) $2(8 - x)^2 = x^2 - 64$；
(4) $(y - 1)^2 - 6(1 - y) + 9 = 0$。
答案
11. (1) $y_1=-\frac{3}{4},y_2=\frac{7}{8}$ (2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$ (3) $x_1=8,x_2=24$
(4) $y_1=y_2=-2$
(4) $y_1=y_2=-2$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“若干个因式乘积=0”的形式，再令每个因式为0求解即可。各题具体思路：(1)移项后符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构，直接用平方差分解；(2)移项整理后是完全平方式，用完全平方公式分解；(3)先将右边利用平方差分解，再移项提取公因式求解；(4)先将含$(1-y)$的项变形为含$(y-1)$的项，再套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 移项得：
$(2y - 5)^2 - [2(3y - 1)]^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：
$[2y - 5 - 2(3y - 1)][2y - 5 + 2(3y - 1)] = 0$
化简因式得：
$(-4y - 3)(8y - 7) = 0$
令每个因式为0：
$-4y-3=0$，解得$y_1=-\frac{3}{4}$；
$8y-7=0$，解得$y_2=\frac{7}{8}$。
(2) 移项整理得：
$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(x + \sqrt{5})^2 = 0$
解得$x_1=x_2=-\sqrt{5}$。
(3) 先将右边因式分解$x^2-64=(x-8)(x+8)$，原方程变形为：
$2(x - 8)^2 = (x - 8)(x + 8)$
移项得：
$2(x - 8)^2 - (x - 8)(x + 8) = 0$
提取公因式$(x-8)$得：
$(x - 8)[2(x - 8) - (x + 8)] = 0$
化简因式得：
$(x - 8)(x - 24) = 0$
令每个因式为0：
$x-8=0$，解得$x_1=8$；
$x-24=0$，解得$x_2=24$。
(4) 原方程变形为：
$(y - 1)^2 + 6(y - 1) + 9 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$[(y - 1) + 3]^2 = 0$
即$(y+2)^2=0$，解得$y_1=y_2=-2$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{3}{4},y_2=\frac{7}{8}$；(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$；(3) $x_1=8,x_2=24$；(4) $y_1=y_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择平方差、完全平方公式或提公因式法分解因式，计算过程中要注意符号变形，避免因符号出错导致解题失误。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“若干个因式乘积=0”的形式，再令每个因式为0求解即可。各题具体思路：(1)移项后符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构，直接用平方差分解；(2)移项整理后是完全平方式，用完全平方公式分解；(3)先将右边利用平方差分解，再移项提取公因式求解；(4)先将含$(1-y)$的项变形为含$(y-1)$的项，再套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 移项得：
$(2y - 5)^2 - [2(3y - 1)]^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：
$[2y - 5 - 2(3y - 1)][2y - 5 + 2(3y - 1)] = 0$
化简因式得：
$(-4y - 3)(8y - 7) = 0$
令每个因式为0：
$-4y-3=0$，解得$y_1=-\frac{3}{4}$；
$8y-7=0$，解得$y_2=\frac{7}{8}$。
(2) 移项整理得：
$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(x + \sqrt{5})^2 = 0$
解得$x_1=x_2=-\sqrt{5}$。
(3) 先将右边因式分解$x^2-64=(x-8)(x+8)$，原方程变形为：
$2(x - 8)^2 = (x - 8)(x + 8)$
移项得：
$2(x - 8)^2 - (x - 8)(x + 8) = 0$
提取公因式$(x-8)$得：
$(x - 8)[2(x - 8) - (x + 8)] = 0$
化简因式得：
$(x - 8)(x - 24) = 0$
令每个因式为0：
$x-8=0$，解得$x_1=8$；
$x-24=0$，解得$x_2=24$。
(4) 原方程变形为：
$(y - 1)^2 + 6(y - 1) + 9 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$[(y - 1) + 3]^2 = 0$
即$(y+2)^2=0$，解得$y_1=y_2=-2$。
【答案】
(1) $y_1=-\frac{3}{4},y_2=\frac{7}{8}$；(2) $x_1=x_2=-\sqrt{5}$；(3) $x_1=8,x_2=24$；(4) $y_1=y_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择平方差、完全平方公式或提公因式法分解因式，计算过程中要注意符号变形，避免因符号出错导致解题失误。
【难度系数】
0.7
12 新考向 新定义题 [2025宿迁段考]如果关于x的方程$x^2+bx+c=0$有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”.例如，方程$x^2+2x=0$的两个根是$x_1=0$，$x_2=-2$，则方程$x^2+2x=0$是“隔根方程”.
（1）方程$x^2 -x -20=0$是“隔根方程”吗？
（2）若关于x的方程$x^2+mx+m-1=0$是“隔根方程”，求m的值.
（1）方程$x^2 -x -20=0$是“隔根方程”吗？
（2）若关于x的方程$x^2+mx+m-1=0$是“隔根方程”，求m的值.
答案
12. (1) $\because x^2 -x -20=0$,即$(x-5)(x+4)=0, \therefore x_1=5,x_2=-4.$
$\because 5-(-4)=9≠2, \therefore$ 方程$x^2 -x -20=0$不是“隔根方程”
(2) $\because x^2 +mx +m-1=0$,即$(x+1)[x+(m-1)]=0, \therefore x_1=-1,$
$x_2=1-m.$ 又$\because$ 关于$x$的方程$x^2 +mx +m-1=0$是“隔根方程”,
$\therefore |1-m-(-1)|=2$,解得$m=0$或$m=4. \therefore m$的值为0或4
$\because 5-(-4)=9≠2, \therefore$ 方程$x^2 -x -20=0$不是“隔根方程”
(2) $\because x^2 +mx +m-1=0$,即$(x+1)[x+(m-1)]=0, \therefore x_1=-1,$
$x_2=1-m.$ 又$\because$ 关于$x$的方程$x^2 +mx +m-1=0$是“隔根方程”,
$\therefore |1-m-(-1)|=2$,解得$m=0$或$m=4. \therefore m$的值为0或4
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“隔根方程”的定义：方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2（即两根差的绝对值为2）。解题通用思路如下：①用因式分解法求出对应一元二次方程的两个实数根；②第（1）问属于判断类问题，计算两根的差是否等于2，即可判断是否为“隔根方程”；③第（2）问属于求参类问题，根据两根差的绝对值为2列方程，求解即可得到参数m的值。
【解析】
（1）解方程$x^2 -x -20=0$，因式分解可得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$
两根的差为$5-(-4)=9≠2$，不符合“隔根方程”的定义。
（2）解方程$x^2+mx+m-1=0$，因式分解可得：
$(x+1)[x+(m-1)]=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1-m$
∵该方程是“隔根方程”，
∴两根差的绝对值为2，即：
$|(1-m)-(-1)|=2$
化简得$|2-m|=2$
分两种情况求解：
当$2-m=2$时，解得$m=0$；
当$2-m=-2$时，解得$m=4$。
【答案】
（1）方程$x^2 -x -20=0$不是“隔根方程”；（2）$m$的值为0或4
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，新定义理解，绝对值方程求解
【点评】
本题是典型的新定义题型，核心是将陌生的“隔根方程”定义转化为已学的一元二次方程求根、绝对值方程求解的常规问题，解题逻辑清晰，注重对基础解方程能力和新定义转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“隔根方程”的定义：方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2（即两根差的绝对值为2）。解题通用思路如下：①用因式分解法求出对应一元二次方程的两个实数根；②第（1）问属于判断类问题，计算两根的差是否等于2，即可判断是否为“隔根方程”；③第（2）问属于求参类问题，根据两根差的绝对值为2列方程，求解即可得到参数m的值。
【解析】
（1）解方程$x^2 -x -20=0$，因式分解可得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$
两根的差为$5-(-4)=9≠2$，不符合“隔根方程”的定义。
（2）解方程$x^2+mx+m-1=0$，因式分解可得：
$(x+1)[x+(m-1)]=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1-m$
∵该方程是“隔根方程”，
∴两根差的绝对值为2，即：
$|(1-m)-(-1)|=2$
化简得$|2-m|=2$
分两种情况求解：
当$2-m=2$时，解得$m=0$；
当$2-m=-2$时，解得$m=4$。
【答案】
（1）方程$x^2 -x -20=0$不是“隔根方程”；（2）$m$的值为0或4
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，新定义理解，绝对值方程求解
【点评】
本题是典型的新定义题型，核心是将陌生的“隔根方程”定义转化为已学的一元二次方程求根、绝对值方程求解的常规问题，解题逻辑清晰，注重对基础解方程能力和新定义转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
13 新考向 阅读理解题 阅读下面的解答过程，请判断是否有错.若有错，请写出正确的解答过程.
已知$x=m$是关于$x$的方程$mx^2 - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解:把$x=m$代入原方程，化简，得$m^3 = m$.
两边同时除以$m$，得$m^2 = 1$，解得$m=1$.
把$m=1$代入原方程检验，可知$m=1$符合题意.
$\therefore m$的值是$1$.
已知$x=m$是关于$x$的方程$mx^2 - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解:把$x=m$代入原方程，化简，得$m^3 = m$.
两边同时除以$m$，得$m^2 = 1$，解得$m=1$.
把$m=1$代入原方程检验，可知$m=1$符合题意.
$\therefore m$的值是$1$.
答案
13. 解答过程有错 正确的解答过程如下:把$x=m$代入原方程,化简,得$m^3 -m=0. \therefore m(m+1)(m-1)=0, \therefore m=0$或$m+1=0$或$m-1=0, \therefore m_1=0,m_2=-1,m_3=1.$将$m$的三个值分别代入原方程检验,均符合题意,$\therefore m$的值是0或$-1$或1
解析
【分析】
本题考查根据方程根的性质求参数值，解题思路如下：首先根据方程根的定义，将$x=m$代入原方程化简得到关于$m$的等式；原解答存在两处错误：一是对等式$m^3=m$变形时直接两边除以$m$，忽略了$m$可能为0的情况，除以0无意义，会造成漏解；二是解$m^2=1$时漏掉了$m=-1$这个根。正确的处理方式是先移项，再通过因式分解将等式转化为几个一次因式乘积为0的形式，求出所有可能的$m$值，最后代入原方程检验是否符合题意即可。
【解析】
原解答过程有错，正确解答过程如下：
把$x=m$代入原方程$mx^2 - 2x + m = 0$，得：
$m· m^2 - 2· m + m = 0$
化简得$m^3 - m = 0$
因式分解，先提取公因式$m$，再用平方差公式分解：
$m(m^2 - 1) = 0$
$m(m+1)(m-1) = 0$
则$m=0$或$m+1=0$或$m-1=0$
解得$m_1=0$，$m_2=-1$，$m_3=1$
将三个值分别代入原方程检验，均符合题意。
【答案】
$m$的值是$0$或$-1$或$1$
【知识点】
方程根的定义；因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题是易错题，解题时要注意：对含未知数的等式变形时，不能随意两边同时除以含有未知数的整式，否则会漏掉未知数为0的解；求解平方等于正数的方程时，要注意正负两个根，求出参数值后要代入原方程检验是否成立。
【难度系数】
0.6
本题考查根据方程根的性质求参数值，解题思路如下：首先根据方程根的定义，将$x=m$代入原方程化简得到关于$m$的等式；原解答存在两处错误：一是对等式$m^3=m$变形时直接两边除以$m$，忽略了$m$可能为0的情况，除以0无意义，会造成漏解；二是解$m^2=1$时漏掉了$m=-1$这个根。正确的处理方式是先移项，再通过因式分解将等式转化为几个一次因式乘积为0的形式，求出所有可能的$m$值，最后代入原方程检验是否符合题意即可。
【解析】
原解答过程有错，正确解答过程如下：
把$x=m$代入原方程$mx^2 - 2x + m = 0$，得：
$m· m^2 - 2· m + m = 0$
化简得$m^3 - m = 0$
因式分解，先提取公因式$m$，再用平方差公式分解：
$m(m^2 - 1) = 0$
$m(m+1)(m-1) = 0$
则$m=0$或$m+1=0$或$m-1=0$
解得$m_1=0$，$m_2=-1$，$m_3=1$
将三个值分别代入原方程检验，均符合题意。
【答案】
$m$的值是$0$或$-1$或$1$
【知识点】
方程根的定义；因式分解法解方程；等式的性质
【点评】
本题是易错题，解题时要注意：对含未知数的等式变形时，不能随意两边同时除以含有未知数的整式，否则会漏掉未知数为0的解；求解平方等于正数的方程时，要注意正负两个根，求出参数值后要代入原方程检验是否成立。
【难度系数】
0.6
