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8 已知关于$x$的方程$3x^2 - px + q = 0$通过配方可变形为$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，则$pq$的值为
-6
。答案
-6
【解析】由$(x-1)^2=\frac{4}{3},得3x^2-6x-1=0,即p=6,q=-1,\therefore pq=-6.$
【解析】由$(x-1)^2=\frac{4}{3},得3x^2-6x-1=0,即p=6,q=-1,\therefore pq=-6.$
9 若方程$2x^2 -8x -11=0$能配方成$(x+h)^2=k$的形式，则直线$y=hx -k$经过第
二、三、四
象限。答案
二、三、四
【解析】将$2x^2-8x-11=0$化为$(x-2)^2=\frac{19}{2}$,此时$h=-2,k=\frac{19}{2}$,则直线$y=-2x-\frac{19}{2}$经过第二、三、四象限.
【解析】将$2x^2-8x-11=0$化为$(x-2)^2=\frac{19}{2}$,此时$h=-2,k=\frac{19}{2}$,则直线$y=-2x-\frac{19}{2}$经过第二、三、四象限.
10 用配方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$；
(2) $3x^2 = 2x + 5$；
(3) $-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$；
(4) $(2x + 3)(x - 6) = 16$。
(1) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$；
(2) $3x^2 = 2x + 5$；
(3) $-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$；
(4) $(2x + 3)(x - 6) = 16$。
答案
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2},x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
11 当$x$满足不等式组$\begin{cases}x+1＜3x-3,\\\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)\end{cases}$时，求方程$2x^2 -3x -5=0$的根。
答案
解不等式组$\begin{cases}x+1＜3x-3,\\\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4),\end{cases}$得$2＜x＜4$. 解方程$2x^2-3x-5=0,得x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}.\because 2＜x＜4,\therefore$ 满足条件的方程的根为$x=\frac{5}{2}$
12 求证:对于任意实数 m,关于 x 的方程$(-2m^2 + 8m - 12)x^2 - 3x + 1 = 0$都是一元二次方程.
答案
$\because -2m^2+8m-12=-2(m-2)^2-4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2\ge0,\therefore -2(m-2)^2\le0,\therefore -2(m-2)^2-4\le-4,\therefore$ 对于任意实数$m$,代数式$-2m^2+8m-12$的值总不等于$0,\therefore$ 对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2+8m-12)x^2-3x+1=0$都是一元二次方程
