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8 已知关于$x$的方程$3x^2 - px + q = 0$通过配方可变形为$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，则$pq$的值为
-6
。答案
-6
【解析】由$(x-1)^2=\frac{4}{3},得3x^2-6x-1=0,即p=6,q=-1,\therefore pq=-6.$
【解析】由$(x-1)^2=\frac{4}{3},得3x^2-6x-1=0,即p=6,q=-1,\therefore pq=-6.$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确题目给出的两个方程是同一个一元二次方程的不同表达形式，因此先将配方后的方程展开，整理为和原方程二次项系数相同的一般形式，再通过对比两个方程的一次项系数、常数项求出p、q的值，最后计算pq的乘积即可。
【解析】
1. 展开并整理配方后的方程：
由$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，先展开左侧得$x^2 - 2x + 1 = \frac{4}{3}$，
两边同时乘3消去分母，得$3x^2 - 6x + 3 = 4$，
移项整理为一元二次方程一般形式：$3x^2 - 6x - 1 = 0$。
2. 对比系数求p、q：
已知原方程为$3x^2 - px + q = 0$，和上述整理后的方程为同一方程，对应系数相等：
一次项系数：$-p = -6$，解得$p=6$；
常数项：$q=-1$。
3. 计算pq的值：
$pq = 6×(-1) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
配方法；多项式恒等条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的逆运算以及多项式相等时对应系数相等的性质，解题关键是正确将配方后的方程还原为一般形式，再对应系数求解即可。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确题目给出的两个方程是同一个一元二次方程的不同表达形式，因此先将配方后的方程展开，整理为和原方程二次项系数相同的一般形式，再通过对比两个方程的一次项系数、常数项求出p、q的值，最后计算pq的乘积即可。
【解析】
1. 展开并整理配方后的方程：
由$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，先展开左侧得$x^2 - 2x + 1 = \frac{4}{3}$，
两边同时乘3消去分母，得$3x^2 - 6x + 3 = 4$，
移项整理为一元二次方程一般形式：$3x^2 - 6x - 1 = 0$。
2. 对比系数求p、q：
已知原方程为$3x^2 - px + q = 0$，和上述整理后的方程为同一方程，对应系数相等：
一次项系数：$-p = -6$，解得$p=6$；
常数项：$q=-1$。
3. 计算pq的值：
$pq = 6×(-1) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
配方法；多项式恒等条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的逆运算以及多项式相等时对应系数相等的性质，解题关键是正确将配方后的方程还原为一般形式，再对应系数求解即可。
【难度系数】
0.8
9 若方程$2x^2 -8x -11=0$能配方成$(x+h)^2=k$的形式，则直线$y=hx -k$经过第
二、三、四
象限。答案
二、三、四
【解析】将$2x^2-8x-11=0$化为$(x-2)^2=\frac{19}{2}$,此时$h=-2,k=\frac{19}{2}$,则直线$y=-2x-\frac{19}{2}$经过第二、三、四象限.
【解析】将$2x^2-8x-11=0$化为$(x-2)^2=\frac{19}{2}$,此时$h=-2,k=\frac{19}{2}$,则直线$y=-2x-\frac{19}{2}$经过第二、三、四象限.
解析
【分析】
解题分为两个步骤：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+h)^2=k$的形式，对应求出$h$和$k$的值；第二步将$h$、$k$代入直线解析式，根据一次函数的斜率和与y轴的截距判断直线经过的象限。配方法操作时，先把二次项系数化为1，再移项，给等式两边加上一次项系数一半的平方即可完成配方；判断一次函数经过的象限，可根据斜率和截距的正负性分析。
【解析】
1. 对一元二次方程配方：
先将方程$2x^2 -8x -11=0$的二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2 -4x - \frac{11}{2}=0$
移项得：$x^2 -4x = \frac{11}{2}$
配方，给等式两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$：
$x^2 -4x +4 = \frac{11}{2} +4$
左边写成完全平方形式，右边计算得：
$(x-2)^2 = \frac{19}{2}$
2. 确定$h$、$k$的值：
对比$(x+h)^2=k$的形式，可得$h=-2$，$k=\frac{19}{2}$。
3. 判断直线经过的象限：
将$h$、$k$代入直线解析式得$y=-2x - \frac{19}{2}$，
其中斜率为$-2＜0$，直线从左到右下降，经过第二、四象限；
截距为$-\frac{19}{2}＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此还经过第三象限。
【答案】
二、三、四
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质相结合，只要熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数系数与图象位置的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题分为两个步骤：第一步先利用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+h)^2=k$的形式，对应求出$h$和$k$的值；第二步将$h$、$k$代入直线解析式，根据一次函数的斜率和与y轴的截距判断直线经过的象限。配方法操作时，先把二次项系数化为1，再移项，给等式两边加上一次项系数一半的平方即可完成配方；判断一次函数经过的象限，可根据斜率和截距的正负性分析。
【解析】
1. 对一元二次方程配方：
先将方程$2x^2 -8x -11=0$的二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2 -4x - \frac{11}{2}=0$
移项得：$x^2 -4x = \frac{11}{2}$
配方，给等式两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$：
$x^2 -4x +4 = \frac{11}{2} +4$
左边写成完全平方形式，右边计算得：
$(x-2)^2 = \frac{19}{2}$
2. 确定$h$、$k$的值：
对比$(x+h)^2=k$的形式，可得$h=-2$，$k=\frac{19}{2}$。
3. 判断直线经过的象限：
将$h$、$k$代入直线解析式得$y=-2x - \frac{19}{2}$，
其中斜率为$-2＜0$，直线从左到右下降，经过第二、四象限；
截距为$-\frac{19}{2}＜0$，直线与y轴交于负半轴，因此还经过第三象限。
【答案】
二、三、四
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质相结合，只要熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数系数与图象位置的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10 用配方法解下列方程：
(1) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$；
(2) $3x^2 = 2x + 5$；
(3) $-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$；
(4) $(2x + 3)(x - 6) = 16$。
(1) $\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$；
(2) $3x^2 = 2x + 5$；
(3) $-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$；
(4) $(2x + 3)(x - 6) = 16$。
答案
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2},x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
解析
【分析】
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，核心是通过变形将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式再求解，通用解题步骤为：①化1：方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移项：将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方：若右侧常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的根，四个小题均按上述步骤执行即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$
步骤1：二次项系数化为1，两边同乘3得：$x^2 + x - \frac{1}{2}=0$
步骤2：移项得：$x^2 + x = \frac{1}{2}$
步骤3：配方，两边加一次项系数1一半的平方$\frac{1}{4}$得：$x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}$，即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$
步骤4：开平方得：$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
步骤5：解得：$x=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 = 2x + 5$
步骤1：移项整理为一般式：$3x^2 - 2x -5=0$
步骤2：二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}=0$
步骤3：移项得：$x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}$
步骤4：配方，两边加一次项系数$-\frac{2}{3}$一半的平方$\frac{1}{9}$得：$x^2 - \frac{2}{3}x +\frac{1}{9} = \frac{5}{3}+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$
步骤5：开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$
步骤6：解得：$x=\frac{1}{3}\pm\frac{4}{3}$，即$x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) 解方程$-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$
步骤1：二次项系数化为1，两边同除以$-2$得：$y^2 - \sqrt{2}y - \frac{1}{2}=0$
步骤2：移项得：$y^2 - \sqrt{2}y = \frac{1}{2}$
步骤3：配方，两边加一次项系数$-\sqrt{2}$一半的平方$\frac{1}{2}$得：$y^2 - \sqrt{2}y +\frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，即$(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1$
步骤4：开平方得：$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$
步骤5：解得：$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm1$
(4) 解方程$(2x + 3)(x - 6) = 16$
步骤1：去括号整理为一般式：$2x^2 -12x +3x -18 =16$，即$2x^2 -9x -34=0$
步骤2：二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 - \frac{9}{2}x -17=0$
步骤3：移项得：$x^2 - \frac{9}{2}x =17$
步骤4：配方，两边加一次项系数$-\frac{9}{2}$一半的平方$\frac{81}{16}$得：$x^2 - \frac{9}{2}x +\frac{81}{16} =17+\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$
步骤5：开平方得：$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$
步骤6：解得：$x=\frac{9}{4}\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2},x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法的基础应用训练，重点考查二次项系数不为1时的配方操作，解题时需注意二次项系数化1时不要漏乘除常数项，配方时左右两边需同时加相同的数保证等式成立，计算过程中要细心，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，核心是通过变形将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式再求解，通用解题步骤为：①化1：方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移项：将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方：若右侧常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的根，四个小题均按上述步骤执行即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$
步骤1：二次项系数化为1，两边同乘3得：$x^2 + x - \frac{1}{2}=0$
步骤2：移项得：$x^2 + x = \frac{1}{2}$
步骤3：配方，两边加一次项系数1一半的平方$\frac{1}{4}$得：$x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}$，即$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$
步骤4：开平方得：$x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
步骤5：解得：$x=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 = 2x + 5$
步骤1：移项整理为一般式：$3x^2 - 2x -5=0$
步骤2：二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}=0$
步骤3：移项得：$x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}$
步骤4：配方，两边加一次项系数$-\frac{2}{3}$一半的平方$\frac{1}{9}$得：$x^2 - \frac{2}{3}x +\frac{1}{9} = \frac{5}{3}+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$
步骤5：开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$
步骤6：解得：$x=\frac{1}{3}\pm\frac{4}{3}$，即$x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) 解方程$-2y^2 + 2\sqrt{2}y + 1 = 0$
步骤1：二次项系数化为1，两边同除以$-2$得：$y^2 - \sqrt{2}y - \frac{1}{2}=0$
步骤2：移项得：$y^2 - \sqrt{2}y = \frac{1}{2}$
步骤3：配方，两边加一次项系数$-\sqrt{2}$一半的平方$\frac{1}{2}$得：$y^2 - \sqrt{2}y +\frac{1}{2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，即$(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1$
步骤4：开平方得：$y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\pm1$
步骤5：解得：$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm1$
(4) 解方程$(2x + 3)(x - 6) = 16$
步骤1：去括号整理为一般式：$2x^2 -12x +3x -18 =16$，即$2x^2 -9x -34=0$
步骤2：二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 - \frac{9}{2}x -17=0$
步骤3：移项得：$x^2 - \frac{9}{2}x =17$
步骤4：配方，两边加一次项系数$-\frac{9}{2}$一半的平方$\frac{81}{16}$得：$x^2 - \frac{9}{2}x +\frac{81}{16} =17+\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$
步骤5：开平方得：$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$
步骤6：解得：$x=\frac{9}{4}\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2},x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
(2) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$
(3) $y_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4},x_2=-\frac{\sqrt{353}}{4}+\frac{9}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法的基础应用训练，重点考查二次项系数不为1时的配方操作，解题时需注意二次项系数化1时不要漏乘除常数项，配方时左右两边需同时加相同的数保证等式成立，计算过程中要细心，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
11 当$x$满足不等式组$\begin{cases}x+1＜3x-3,\\\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)\end{cases}$时，求方程$2x^2 -3x -5=0$的根。
答案
解不等式组$\begin{cases}x+1＜3x-3,\\\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4),\end{cases}$得$2＜x＜4$. 解方程$2x^2-3x-5=0,得x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}.\because 2＜x＜4,\therefore$ 满足条件的方程的根为$x=\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到x的取值范围；②选择九年级阶段所学的因式分解法、公式法或配方法求解一元二次方程，得到方程的两个根；③结合第一步得到的x的取值范围，筛选出符合条件的方程根即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解第一个不等式$x+1＜3x-3$：
移项得：$1+3＜3x-x$，
合并同类项得：$4＜2x$，
系数化为1得：$x＞2$。
解第二个不等式$\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)$：
两边同乘6消去分母得：$3(x-4)＜2(x-4)$，
去括号得：$3x-12＜2x-8$，
移项合并同类项得：$x＜4$。
因此不等式组的解集为$2＜x＜4$。
第二步：解方程$2x^2 -3x -5=0$
用因式分解法求解：
将方程左边十字相乘因式分解得：$(2x-5)(x+1)=0$，
则$2x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$。
第三步：筛选符合条件的根
因为$2＜x＜4$，$-1$不在该范围内，$\frac{5}{2}=2.5$满足$2＜\frac{5}{2}＜4$，因此符合条件的根为$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式组，解一元二次方程，根的筛选
【点评】
本题属于基础综合题，将不等式组求解与一元二次方程求解结合考查，解题时需注意不能直接写出方程的所有根，要结合不等式组的解集筛选出符合条件的根，避免遗漏约束条件出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到x的取值范围；②选择九年级阶段所学的因式分解法、公式法或配方法求解一元二次方程，得到方程的两个根；③结合第一步得到的x的取值范围，筛选出符合条件的方程根即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解第一个不等式$x+1＜3x-3$：
移项得：$1+3＜3x-x$，
合并同类项得：$4＜2x$，
系数化为1得：$x＞2$。
解第二个不等式$\frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4)$：
两边同乘6消去分母得：$3(x-4)＜2(x-4)$，
去括号得：$3x-12＜2x-8$，
移项合并同类项得：$x＜4$。
因此不等式组的解集为$2＜x＜4$。
第二步：解方程$2x^2 -3x -5=0$
用因式分解法求解：
将方程左边十字相乘因式分解得：$(2x-5)(x+1)=0$，
则$2x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$。
第三步：筛选符合条件的根
因为$2＜x＜4$，$-1$不在该范围内，$\frac{5}{2}=2.5$满足$2＜\frac{5}{2}＜4$，因此符合条件的根为$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式组，解一元二次方程，根的筛选
【点评】
本题属于基础综合题，将不等式组求解与一元二次方程求解结合考查，解题时需注意不能直接写出方程的所有根，要结合不等式组的解集筛选出符合条件的根，避免遗漏约束条件出错。
【难度系数】
0.7
12 求证:对于任意实数 m,关于 x 的方程$(-2m^2 + 8m - 12)x^2 - 3x + 1 = 0$都是一元二次方程.
答案
$\because -2m^2+8m-12=-2(m-2)^2-4$,且对于任意实数$m$,总有$(m-2)^2\ge0,\therefore -2(m-2)^2\le0,\therefore -2(m-2)^2-4\le-4,\therefore$ 对于任意实数$m$,代数式$-2m^2+8m-12$的值总不等于$0,\therefore$ 对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2+8m-12)x^2-3x+1=0$都是一元二次方程
解析
【分析】
要判定一个关于x的方程是一元二次方程，核心条件是二次项系数不为0（本题已满足仅含x一个未知数、x的最高次数为2的要求），因此解题的关键是证明对任意实数m，二次项系数$-2m^2+8m-12$的值恒不等于0。我们可以通过配方法将这个含m的二次代数式变形，再结合平方的非负性判断它的取值范围，即可完成证明。
【解析】
证明过程如下：
首先对二次项系数进行配方变形：
$\begin{aligned}-2m^2+8m-12&=-2(m^2-4m)-12\\&=-2(m^2-4m+4-4)-12\\&=-2(m-2)^2+8-12\\&=-2(m-2)^2-4\end{aligned}$
∵ 对任意实数m，平方具有非负性，总有$(m-2)^2\ge0$
∴ 不等式两边同乘$-2$，不等号方向改变，得$-2(m-2)^2\le0$
∴ 不等式两边同时减4，得$-2(m-2)^2-4\le-4＜0$
即对任意实数m，二次项系数$-2m^2+8m-12$的值恒小于等于-4，始终不等于0，符合一元二次方程的定义要求。
【答案】
对于任意实数m，关于x的方程$(-2m^2 + 8m - 12)x^2 - 3x + 1 = 0$都是一元二次方程。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 配方法的应用
3. 平方的非负性
【点评】
本题是基础代数证明题，解题核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的判定条件，将问题转化为代数式取值范围的证明，通过配方法结合偶次幂的非负性即可快速求解，能很好地考查对配方法和一元二次方程概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判定一个关于x的方程是一元二次方程，核心条件是二次项系数不为0（本题已满足仅含x一个未知数、x的最高次数为2的要求），因此解题的关键是证明对任意实数m，二次项系数$-2m^2+8m-12$的值恒不等于0。我们可以通过配方法将这个含m的二次代数式变形，再结合平方的非负性判断它的取值范围，即可完成证明。
【解析】
证明过程如下：
首先对二次项系数进行配方变形：
$\begin{aligned}-2m^2+8m-12&=-2(m^2-4m)-12\\&=-2(m^2-4m+4-4)-12\\&=-2(m-2)^2+8-12\\&=-2(m-2)^2-4\end{aligned}$
∵ 对任意实数m，平方具有非负性，总有$(m-2)^2\ge0$
∴ 不等式两边同乘$-2$，不等号方向改变，得$-2(m-2)^2\le0$
∴ 不等式两边同时减4，得$-2(m-2)^2-4\le-4＜0$
即对任意实数m，二次项系数$-2m^2+8m-12$的值恒小于等于-4，始终不等于0，符合一元二次方程的定义要求。
【答案】
对于任意实数m，关于x的方程$(-2m^2 + 8m - 12)x^2 - 3x + 1 = 0$都是一元二次方程。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 配方法的应用
3. 平方的非负性
【点评】
本题是基础代数证明题，解题核心是抓住一元二次方程二次项系数不为0的判定条件，将问题转化为代数式取值范围的证明，通过配方法结合偶次幂的非负性即可快速求解，能很好地考查对配方法和一元二次方程概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
