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1 已知P是$\odot O$内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为 （
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆中两类特殊弦的性质：过圆内一点的最长弦是该圆的直径，由此可先求出圆的半径；过圆内一点的最短弦是与过该点的直径垂直的弦，结合垂径定理可得到最短弦的半长，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
1. 求圆的半径：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，已知最长弦长为10 cm，因此$\odot O$的半径$r=10÷2=5$ cm。
2. 分析最短弦的性质：过点P的最短弦是与过点P的直径垂直的弦，设该最短弦为AB，$AB⊥ OP$于点P，已知$AB=6$ cm。
3. 结合垂径定理计算：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$ cm。
4. 用勾股定理求OP：连接OA，OA为$\odot O$的半径，即$OA=5$ cm，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 - AP^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题核心是掌握过圆内一点的最长弦、最短弦的位置特征，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确圆中两类特殊弦的性质：过圆内一点的最长弦是该圆的直径，由此可先求出圆的半径；过圆内一点的最短弦是与过该点的直径垂直的弦，结合垂径定理可得到最短弦的半长，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
1. 求圆的半径：过点P的最长弦为$\odot O$的直径，已知最长弦长为10 cm，因此$\odot O$的半径$r=10÷2=5$ cm。
2. 分析最短弦的性质：过点P的最短弦是与过点P的直径垂直的弦，设该最短弦为AB，$AB⊥ OP$于点P，已知$AB=6$ cm。
3. 结合垂径定理计算：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$ cm。
4. 用勾股定理求OP：连接OA，OA为$\odot O$的半径，即$OA=5$ cm，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2 - AP^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题核心是掌握过圆内一点的最长弦、最短弦的位置特征，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
2 一题多解 [2025 泗洪一模]如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的两点.若$∠ BCD=38°$，则$∠ ABD$的度数为（
A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
B
）A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
答案
2. B 【解析】解法一:如图①,连接 AD. $\because$ AB 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ADB=90°.\because ∠ A=∠ BCD=38°,\therefore ∠ ABD=90°-38°=52°.$
解法二:如图②,连接 OD. 根据圆周角定理,得$∠ DOB=2∠ DCB=76°.\because OD=OB,\therefore ∠ ODB=∠ ABD,\therefore$ 在$△ DOB$ 中,$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°.$
解析
【分析】
本题是圆中角度计算类题目，可通过两种常见思路求解：思路一，看到直径AB，可联想到“直径所对的圆周角为直角”，连接AD构造直角△ADB，再根据“同弧所对的圆周角相等”得到∠A=∠BCD，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠ABD；思路二，根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，连接OD先求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，再结合同圆半径相等得到△ODB为等腰三角形，利用三角形内角和计算底角∠ABD即可。
【解析】
解法一：如图①，连接AD。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。
∵$∠ A$与$∠ BCD$均为弧BD所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BCD=38°$。
在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ A=90°-38°=52°$。
解法二：如图②，连接OD。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角为圆周角的2倍，可得$∠ DOB=2∠ DCB=2×38°=76°$。
∵$OD=OB$（同圆的半径相等），
∴$∠ ODB=∠ ABD$。
在$△ DOB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，两种解题思路分别从圆周角等量关系、圆心角与圆周角的关系切入，能帮助同学们掌握圆中常见辅助线的构造方法，巩固圆周角相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
本题是圆中角度计算类题目，可通过两种常见思路求解：思路一，看到直径AB，可联想到“直径所对的圆周角为直角”，连接AD构造直角△ADB，再根据“同弧所对的圆周角相等”得到∠A=∠BCD，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠ABD；思路二，根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，连接OD先求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，再结合同圆半径相等得到△ODB为等腰三角形，利用三角形内角和计算底角∠ABD即可。
【解析】
解法一：如图①，连接AD。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。
∵$∠ A$与$∠ BCD$均为弧BD所对的圆周角，
∴$∠ A=∠ BCD=38°$。
在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ A=90°-38°=52°$。
解法二：如图②，连接OD。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角为圆周角的2倍，可得$∠ DOB=2∠ DCB=2×38°=76°$。
∵$OD=OB$（同圆的半径相等），
∴$∠ ODB=∠ ABD$。
在$△ DOB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABD=\frac{180°-∠ DOB}{2}=\frac{180°-76°}{2}=52°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，两种解题思路分别从圆周角等量关系、圆心角与圆周角的关系切入，能帮助同学们掌握圆中常见辅助线的构造方法，巩固圆周角相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
3 如图，在$\odot O$中，半径$OA$，$OB$互相垂直，点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上。若$∠ ABC=19°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$
D
）A.$23°$
B.$24°$
C.$25°$
D.$26°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件OA、OB互相垂直入手，可得圆心角∠AOB=90°，由此可知弧AB的度数为90°；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知的∠ABC=19°可求出它所对的弧AC的度数，进而求出弧BC的度数；最后再次利用圆周角定理，求出弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°，
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=19°，
∴弧AC的度数=2∠ABC=2×19°=38°，
∴弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°，
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=½×52°=26°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是灵活运用圆周角定理，理清圆周角和对应弧的度数关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，解题时要注意不要混淆圆周角对应的弧。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件OA、OB互相垂直入手，可得圆心角∠AOB=90°，由此可知弧AB的度数为90°；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知的∠ABC=19°可求出它所对的弧AC的度数，进而求出弧BC的度数；最后再次利用圆周角定理，求出弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
解：
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°，
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=19°，
∴弧AC的度数=2∠ABC=2×19°=38°，
∴弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°，
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=½×52°=26°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是灵活运用圆周角定理，理清圆周角和对应弧的度数关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，解题时要注意不要混淆圆周角对应的弧。
【难度系数】
0.7
4 [2025 扬州]如图，点A,B,C在$\odot O$上，$∠ BAC=50°$,则$∠ OBC=$
（第4题）
40
°.（第4题）答案
4. 40
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠BAC的度数，可求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步，因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和为180°，即可求出底角∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC
∵∠BAC=50°
∴∠BOC=2×50°=100°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理，结合等腰三角形的性质进行角度计算，是圆类角度计算的常见典型题型。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为两步：第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠BAC的度数，可求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步，因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和为180°，即可求出底角∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠BOC=2∠BAC
∵∠BAC=50°
∴∠BOC=2×50°=100°
又
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理，结合等腰三角形的性质进行角度计算，是圆类角度计算的常见典型题型。
【难度系数】
0.85
5 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫作格点）处，以O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为
(-1,-2)
。答案
5. (-1,-2)
解析
【分析】
要确定过A、B、C三点的圆的圆心，首先回忆外心的性质：过不在同一直线上三点的圆的圆心（即外心）到三个点的距离相等，是三点所连任意两条弦的垂直平分线的交点。首先观察到B、C两点纵坐标相同，弦BC为水平线段，它的垂直平分线是竖直直线，可先求出这条垂直平分线，再结合圆心到点A和点B的距离相等列方程求解，即可得到圆心坐标。
【解析】
首先根据网格和坐标系确定三点坐标：$A(0,1)$，$B(2,-1)$，$C(-4,-1)$。
1. 求弦$BC$的垂直平分线：
因为点B、C的纵坐标均为$-1$，所以$BC$平行于$x$轴，$BC$的中点坐标为$(\dfrac{-4+2}{2},\dfrac{-1+(-1)}{2})=(-1,-1)$，因此$BC$的垂直平分线为过中点且垂直于$BC$的竖直直线：$x=-1$，即圆心在直线$x=-1$上。
2. 设圆心坐标为$(-1,m)$，根据圆心到A、B的距离相等列方程：
$\sqrt{(-1-0)^2+(m-1)^2}=\sqrt{(-1-2)^2+(m+1)^2}$
两边平方消去根号得：
$1+(m-1)^2=9+(m+1)^2$
展开化简：
$1+m^2-2m+1=9+m^2+2m+1$
消去$m^2$后移项得：$-4m=8$，解得$m=-2$。
因此圆心坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；两点间距离公式
【点评】
本题考查外心性质与平面直角坐标系的结合应用，解题的关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质缩小圆心的位置范围，再结合距离公式求解，读取坐标时要注意准确性，避免因坐标看错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要确定过A、B、C三点的圆的圆心，首先回忆外心的性质：过不在同一直线上三点的圆的圆心（即外心）到三个点的距离相等，是三点所连任意两条弦的垂直平分线的交点。首先观察到B、C两点纵坐标相同，弦BC为水平线段，它的垂直平分线是竖直直线，可先求出这条垂直平分线，再结合圆心到点A和点B的距离相等列方程求解，即可得到圆心坐标。
【解析】
首先根据网格和坐标系确定三点坐标：$A(0,1)$，$B(2,-1)$，$C(-4,-1)$。
1. 求弦$BC$的垂直平分线：
因为点B、C的纵坐标均为$-1$，所以$BC$平行于$x$轴，$BC$的中点坐标为$(\dfrac{-4+2}{2},\dfrac{-1+(-1)}{2})=(-1,-1)$，因此$BC$的垂直平分线为过中点且垂直于$BC$的竖直直线：$x=-1$，即圆心在直线$x=-1$上。
2. 设圆心坐标为$(-1,m)$，根据圆心到A、B的距离相等列方程：
$\sqrt{(-1-0)^2+(m-1)^2}=\sqrt{(-1-2)^2+(m+1)^2}$
两边平方消去根号得：
$1+(m-1)^2=9+(m+1)^2$
展开化简：
$1+m^2-2m+1=9+m^2+2m+1$
消去$m^2$后移项得：$-4m=8$，解得$m=-2$。
因此圆心坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；两点间距离公式
【点评】
本题考查外心性质与平面直角坐标系的结合应用，解题的关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质缩小圆心的位置范围，再结合距离公式求解，读取坐标时要注意准确性，避免因坐标看错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6 [2025 陕西]如图，点A，B，C，D在$\odot O$上.若$∠ 1+∠ 2=100°$,则$∠ B$的度数为
80°
.答案
6. $80°$
解析
【分析】
解题时首先观察角的位置，可发现∠1是△ADC的内角∠ACD，∠2是△ADC的内角∠CAD，第一步先利用三角形内角和定理求出∠ADC的度数；第二步回忆圆周角定理，∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠B的度数。
【解析】
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADC = 180° - (∠ ACD + ∠ CAD)$
由题意知$∠ 1=∠ ACD$，$∠ 2=∠ CAD$，且$∠1+∠2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
又因为$∠ ADC$和$∠ B$都是$\odot O$中弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所以$∠ B=∠ ADC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题考查基础几何性质的应用，解题的关键是找准角的归属，结合圆周角的性质转化角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察角的位置，可发现∠1是△ADC的内角∠ACD，∠2是△ADC的内角∠CAD，第一步先利用三角形内角和定理求出∠ADC的度数；第二步回忆圆周角定理，∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，即可得到∠B的度数。
【解析】
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADC = 180° - (∠ ACD + ∠ CAD)$
由题意知$∠ 1=∠ ACD$，$∠ 2=∠ CAD$，且$∠1+∠2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
又因为$∠ ADC$和$∠ B$都是$\odot O$中弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所以$∠ B=∠ ADC=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题考查基础几何性质的应用，解题的关键是找准角的归属，结合圆周角的性质转化角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
7 求证:垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.
答案
7. 已知:如图,CD为$\odot O$的直径,AB为$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,垂足为M. 求证:$AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB. $\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形. $\because AB⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
解析
【分析】
要证明垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，首先可以连接圆心与弦的两个端点，利用圆的半径相等构造等腰三角形；再结合直径与弦垂直的条件，通过等腰三角形“三线合一”的性质得到弦被平分，同时得到两组相等的圆心角；最后根据“同圆中相等的圆心角对应相等的弧”，即可证明弦所对的两条弧也被直径平分。
【解析】
已知：如图，CD为$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为M。
求证：$AM=BM$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
证明：连接OA、OB。
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$是等腰三角形。
∵$AB⊥ CD$，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AM=BM$，$∠ AOC=∠ BOC$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
又
∵$∠ AOD=180°-∠ AOC$，$∠ BOD=180°-∠ BOC$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，同理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
已知:如图,CD为$\odot O$的直径,AB为$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,垂足为M. 求证:$AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB. $\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形. $\because AB⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；圆心角与弧的关系；圆的半径相等
【点评】
本题是垂径定理的推导证明，核心是通过连接半径将圆的问题转化为等腰三角形问题求解，属于圆性质的基础应用，熟练掌握该推导过程能帮助理解垂径定理，为后续圆相关的计算、证明题目打好基础。
【难度系数】
0.8
要证明垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，首先可以连接圆心与弦的两个端点，利用圆的半径相等构造等腰三角形；再结合直径与弦垂直的条件，通过等腰三角形“三线合一”的性质得到弦被平分，同时得到两组相等的圆心角；最后根据“同圆中相等的圆心角对应相等的弧”，即可证明弦所对的两条弧也被直径平分。
【解析】
已知：如图，CD为$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为M。
求证：$AM=BM$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
证明：连接OA、OB。
∵OA和OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$△ OAB$是等腰三角形。
∵$AB⊥ CD$，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AM=BM$，$∠ AOC=∠ BOC$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
又
∵$∠ AOD=180°-∠ AOC$，$∠ BOD=180°-∠ BOC$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，同理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
已知:如图,CD为$\odot O$的直径,AB为$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,垂足为M. 求证:$AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 如图,连接 OA,OB. $\because OA=OB,\therefore △ OAB$ 是等腰三角形. $\because AB⊥ CD,\therefore AM=BM$,$∠ AOC=∠ BOC,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠ AOD=∠ BOD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；圆心角与弧的关系；圆的半径相等
【点评】
本题是垂径定理的推导证明，核心是通过连接半径将圆的问题转化为等腰三角形问题求解，属于圆性质的基础应用，熟练掌握该推导过程能帮助理解垂径定理，为后续圆相关的计算、证明题目打好基础。
【难度系数】
0.8
