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8 [2025 宿迁段考]如图，OA=OB，AB交$\odot O$于点C，D，OE是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$于点F.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）若$CD=8$，$EF=1$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）若$CD=8$，$EF=1$，求$\odot O$的半径.
答案
8. (1) $\because OA=OB,OE⊥ AB,\therefore CF=DF,AF=BF,\therefore AF-CF=BF-DF,\therefore AC=BD$
(2) 如图,连接 OC. 设$\odot O$的半径是r. 由(1),得$AF=BF,CF=DF=\frac{1}{2}CD=4.\because EF=1,\therefore OF=OE-EF=r-1.\because CO^2=CF^2+OF^2,\therefore r^2=4^2+(r-1)^2,\therefore r=\frac{17}{2}$,$\therefore \odot O$的半径是$\frac{17}{2}$
解析
【分析】
（1）要证$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质，结合$OE⊥AB$得到$AF=BF$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到$CF=DF$，最后通过线段作差即可推出结论。
（2）求圆的半径时，可连接半径$OC$构造直角三角形，先由垂径定理求出$CF$的长度，设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OF$的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because OA=OB$，$OE⊥AB$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF=BF$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥$弦$CD$，
$\therefore$ 根据垂径定理，可得$CF=DF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
（2）解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
由（1）得$CF=DF=\frac{1}{2}CD$，已知$CD=8$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}×8=4$。
$\because EF=1$，$\therefore OF=OE-EF=r-1$。
$\because OE⊥AB$，$\therefore ∠ OFC=90°$，在$Rt△ COF$中，由勾股定理得：
$OC^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=17$，解得$r=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) $\because OA=OB,OE⊥ AB,\therefore CF=DF,AF=BF,\therefore AF-CF=BF-DF,\therefore AC=BD$
(2) 如图,连接 OC. 设$\odot O$的半径是r. 由(1),得$AF=BF,CF=DF=\frac{1}{2}CD=4.\because EF=1,\therefore OF=OE-EF=r-1.\because CO^2=CF^2+OF^2,\therefore r^2=4^2+(r-1)^2,\therefore r=\frac{17}{2}$,$\therefore \odot O$的半径是$\frac{17}{2}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础题，结合了等腰三角形性质、垂径定理和勾股定理的应用，解题核心是利用垂径定理得到线段等量关系，通过构造直角三角形、运用方程思想求解半径，掌握这类模型可快速解决同类型的圆中线段计算问题。
【难度系数】
0.7
（1）要证$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质，结合$OE⊥AB$得到$AF=BF$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到$CF=DF$，最后通过线段作差即可推出结论。
（2）求圆的半径时，可连接半径$OC$构造直角三角形，先由垂径定理求出$CF$的长度，设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OF$的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because OA=OB$，$OE⊥AB$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF=BF$。
又$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥$弦$CD$，
$\therefore$ 根据垂径定理，可得$CF=DF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
（2）解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
由（1）得$CF=DF=\frac{1}{2}CD$，已知$CD=8$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}×8=4$。
$\because EF=1$，$\therefore OF=OE-EF=r-1$。
$\because OE⊥AB$，$\therefore ∠ OFC=90°$，在$Rt△ COF$中，由勾股定理得：
$OC^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=17$，解得$r=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) $\because OA=OB,OE⊥ AB,\therefore CF=DF,AF=BF,\therefore AF-CF=BF-DF,\therefore AC=BD$
(2) 如图,连接 OC. 设$\odot O$的半径是r. 由(1),得$AF=BF,CF=DF=\frac{1}{2}CD=4.\because EF=1,\therefore OF=OE-EF=r-1.\because CO^2=CF^2+OF^2,\therefore r^2=4^2+(r-1)^2,\therefore r=\frac{17}{2}$,$\therefore \odot O$的半径是$\frac{17}{2}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础题，结合了等腰三角形性质、垂径定理和勾股定理的应用，解题核心是利用垂径定理得到线段等量关系，通过构造直角三角形、运用方程思想求解半径，掌握这类模型可快速解决同类型的圆中线段计算问题。
【难度系数】
0.7
9 如图，AB为$\odot O$的直径，直线CD与$\odot O$相切于点C，连接AC。若$∠ ACD=50°$，则$∠ BAC$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
（第9题）
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
（第9题）答案
9. B
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC，得到OC⊥CD。先结合已知的∠ACD的度数求出∠OCA的度数，再根据OA和OC都是圆的半径，可得△OAC是等腰三角形，利用等边对等角即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ OCA=∠ OCD-∠ ACD=90°-50°=40°$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握"遇切线，连半径，得垂直"的常用辅助线作法，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC，得到OC⊥CD。先结合已知的∠ACD的度数求出∠OCA的度数，再根据OA和OC都是圆的半径，可得△OAC是等腰三角形，利用等边对等角即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ OCA=∠ OCD-∠ ACD=90°-50°=40°$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，即$OA=OC$，
∴ $∠ BAC=∠ OCA=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握"遇切线，连半径，得垂直"的常用辅助线作法，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10 [2024广州]如图，在$\odot O$中，弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$，点$C$在$\odot O$上，$OC ⊥ AB$，$∠ ABC=30°$，$\odot O$所在的平面内有一点$P$.若$OP=5$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是
点P在$\odot O$外
.答案
10. 点P在$\odot O$外
解析
【分析】要判断点P与$\odot O$的位置关系，需先求出$\odot O$的半径$r$，再比较$OP$与$r$的大小：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。求半径时，先利用垂径定理求出AB被OC平分的线段长度，再结合圆周角定理得到对应圆心角的度数，最后在直角三角形中利用三角函数即可求出半径。
【解析】设$OC$与$AB$交于点$D$。
1. 由垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理：$\because ∠ ABC=30°$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=2\sqrt{3}$得：
$OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 比较大小：$\because OP=5$，$5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】点P在$\odot O$外
【知识点】垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】本题是圆的基础综合题，解题核心是先求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小判断点与圆的位置关系，解题过程需要熟练运用圆的基础性质。
【难度系数】0.75
【解析】设$OC$与$AB$交于点$D$。
1. 由垂径定理：$\because OC⊥ AB$，$AB=4\sqrt{3}$，$\therefore AD=DB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理：$\because ∠ ABC=30°$是弧$AC$所对的圆周角，$∠ AOC$是弧$AC$所对的圆心角，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=2\sqrt{3}$得：
$OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径$r=4$。
4. 比较大小：$\because OP=5$，$5＞4$，即$OP＞r$，$\therefore$点$P$在$\odot O$外。
【答案】点P在$\odot O$外
【知识点】垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】本题是圆的基础综合题，解题核心是先求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小判断点与圆的位置关系，解题过程需要熟练运用圆的基础性质。
【难度系数】0.75
11 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，$\odot E$是$△ ACD$的内切圆，连接AE，BE，则$∠ AEB$的度数为
$135°$
.答案
11. $135°$
解析
【分析】
解题思路：第一步，根据扇形的性质得CA=CB，结合CD⊥AB，可知CD平分∠ACB，△ACD为直角三角形（∠ADC=90°）；第二步，回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，可得AE平分∠CAB，CE平分∠ACD；第三步，利用直角三角形两锐角互余，得∠CAD+∠ACD=90°，进而求出∠EAC+∠ECA=45°，得到∠AEC=135°；第四步，通过SAS证明△AEC≌△AEB，即可推出∠AEB与∠AEC相等，得到结果。
【解析】
解：
∵扇形ABC的圆心为C，
∴CA=CB，
∵CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB，∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=180°-∠ADC=90°，
∵⊙E是△ACD的内切圆，
∴E是△ACD的内心，
∴AE平分∠CAD，CE平分∠ACD，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ CAD$，$∠ ECA=\frac{1}{2}∠ ACD$，
∴$∠ EAC+∠ ECA=\frac{1}{2}(∠ CAD+∠ ACD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△AEC中，$∠ AEC=180°-(∠ EAC+∠ ECA)=180°-45°=135°$，
在△AEC和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}CA=CB\\∠ CAE=∠ BAE\\AE=AE\end{array} $
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴$∠ AEB=∠ AEC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合了扇形、等腰三角形、三角形内心、全等三角形的相关考点，解题的核心是熟练运用内心是角平分线交点的性质，通过全等三角形实现所求角的等量转化。
【难度系数】
0.65
解题思路：第一步，根据扇形的性质得CA=CB，结合CD⊥AB，可知CD平分∠ACB，△ACD为直角三角形（∠ADC=90°）；第二步，回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，可得AE平分∠CAB，CE平分∠ACD；第三步，利用直角三角形两锐角互余，得∠CAD+∠ACD=90°，进而求出∠EAC+∠ECA=45°，得到∠AEC=135°；第四步，通过SAS证明△AEC≌△AEB，即可推出∠AEB与∠AEC相等，得到结果。
【解析】
解：
∵扇形ABC的圆心为C，
∴CA=CB，
∵CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB，∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=180°-∠ADC=90°，
∵⊙E是△ACD的内切圆，
∴E是△ACD的内心，
∴AE平分∠CAD，CE平分∠ACD，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ CAD$，$∠ ECA=\frac{1}{2}∠ ACD$，
∴$∠ EAC+∠ ECA=\frac{1}{2}(∠ CAD+∠ ACD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△AEC中，$∠ AEC=180°-(∠ EAC+∠ ECA)=180°-45°=135°$，
在△AEC和△AEB中：
$\{\begin{array}{l}CA=CB\\∠ CAE=∠ BAE\\AE=AE\end{array} $
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴$∠ AEB=∠ AEC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合了扇形、等腰三角形、三角形内心、全等三角形的相关考点，解题的核心是熟练运用内心是角平分线交点的性质，通过全等三角形实现所求角的等量转化。
【难度系数】
0.65
12 [2025 山东]如图,在△OAB 中,点 A 在⊙O 上,边 OB 交⊙O 于点 C,AD⊥OB 于点 D,AC 是∠BAD 的平分线.
（1）求证:AB 为⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2,∠AOB=45°,求 CB 的长.
（第12题）
（1）求证:AB 为⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2,∠AOB=45°,求 CB 的长.
（第12题）答案
12. (1) $\because AD⊥ OB$于点D,$\therefore ∠ ADB=90°. \because AC$是$∠ BAD$的平分线,$\therefore ∠ DAC=∠ BAC. \because OA=OC,\therefore ∠ OAC=∠ OCA. \because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$,$∠ OCA=∠ B+∠ BAC,\therefore ∠ OAD=∠ B,\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=180°-90°=90°$,即$AB⊥ OA. \because OA$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线
(2) $\because ∠ OAB=90°$,$∠ AOB=45°$,$\therefore ∠ B=∠ AOB=45°$,$\therefore AB=OA. \because \odot O$的半径为2,$\therefore AB=OA=OC=2$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$,$\therefore CB$的长是$2\sqrt{2}-2$
(2) $\because ∠ OAB=90°$,$∠ AOB=45°$,$\therefore ∠ B=∠ AOB=45°$,$\therefore AB=OA. \because \odot O$的半径为2,$\therefore AB=OA=OC=2$,$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$,$\therefore CB$的长是$2\sqrt{2}-2$
解析
【分析】
（1）要证明AB为⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于半径OA，即证∠OAB=90°。已知AD⊥OB，可得△ADB中∠B+∠BAD=90°，因此只需推导得到∠OAD=∠B，即可推出∠OAB=∠OAD+∠BAD=90°。推导角的等量关系时，先利用角平分线性质得∠DAC=∠BAC，再结合等腰三角形OA=OC得∠OAC=∠OCA，最后通过角的和差、三角形外角性质代换即可得到∠OAD=∠B，完成第一问证明。
（2）由（1）已得∠OAB=90°，结合已知∠AOB=45°，可判断△OAB为等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再用OB的长度减去半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
（1）证明：
∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB=90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC（⊙O的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
又
∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，
∠OCA是△ABC的外角，
∴∠OCA=∠B+∠BAC，
∴∠OAD=∠B，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=180°-∠ADB=180°-90°=90°，即AB⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线。
（2）解：
∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴∠B=90°-∠AOB=45°，即∠B=∠AOB，
∴AB=OA，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=OA=OC=2，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
（1）AB为⊙O的切线，证明成立；
（2）$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，侧重考查切线的证明思路和线段长度的计算方法，解题的关键是熟练掌握切线判定的核心是证垂直，结合角的等量代换、特殊直角三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AB为⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于半径OA，即证∠OAB=90°。已知AD⊥OB，可得△ADB中∠B+∠BAD=90°，因此只需推导得到∠OAD=∠B，即可推出∠OAB=∠OAD+∠BAD=90°。推导角的等量关系时，先利用角平分线性质得∠DAC=∠BAC，再结合等腰三角形OA=OC得∠OAC=∠OCA，最后通过角的和差、三角形外角性质代换即可得到∠OAD=∠B，完成第一问证明。
（2）由（1）已得∠OAB=90°，结合已知∠AOB=45°，可判断△OAB为等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再用OB的长度减去半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
（1）证明：
∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB=90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC（⊙O的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
又
∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC，
∠OCA是△ABC的外角，
∴∠OCA=∠B+∠BAC，
∴∠OAD=∠B，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=180°-∠ADB=180°-90°=90°，即AB⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线。
（2）解：
∵∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴∠B=90°-∠AOB=45°，即∠B=∠AOB，
∴AB=OA，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=OA=OC=2，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
（1）AB为⊙O的切线，证明成立；
（2）$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，侧重考查切线的证明思路和线段长度的计算方法，解题的关键是熟练掌握切线判定的核心是证垂直，结合角的等量代换、特殊直角三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
